复利-完全攻略篇

复利-完全攻略篇 日期：2009-06-11 想彻底了解复利的读者，一定得详加阅读，本篇对复利有精辟的解说，让你完全了解复利的意义及其计算方式。 单利 了解复利之前一定得先知道单利是什么，因为单利与复利之间有着密不可分的关系。复利一定有付息期间，也就是在当期的最后一天，才将利息加到本金上，在期间内所产生的利息均是以单利计算。例如「每月」付息一次的复利，只有在每月的最后一天才以「单利」算出利息，然后再将此利息加上期初的本金，做为下一期计息的本金。这样的复利也称作月复利。同样道理，若每季计息一次，就称作季复利，意思是当季内产生的利息都是以「单利」计算。 单利的意义：不论付息期间是多久，所兹生的利息均不会加入本金再循环计息，也就是说计息的本金从期初到期末都是一样的。这样单利 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 就变得很简单： 设期初本金为 PV，名目利率为 Rn，期间为"t" 年，所以一年会产生的利息金额就是 PV* Rn，再乘上期间"t"，就是单利的公式了： 利息 = PV*Rn*t 期末终值(FV)  = PV + 利息  = PV + PV*Rn*t  = PV*(1+Rn*t) ---------公式(1) Rn为名目年利率，t 为年数，不足一年以小数或分数表示。例如一季就是(t=1/4)，Rn*t 等于 Rn/4。依此类推一个月(t = 1/12)，一日(t=1/365)，半年(t=1/2)。 上图是100元随着时间(单位：年)以单利成长，可以看出不论时间多长、利率多少，终值或未来值都是以直线上升。 例一：张三跟朋友借款100万元，约定利息以年利率6%『单利』计算，3年后还款。请问3年后张三必须归还朋友本金及利息总共多少钱？ 本金(PV) = 1,000,000 年利率(Rn) = 6% 年数(t) = 3 期末终值(本利和)= 1000000*(1+6%*3) = 1,180,000 例二：李四跟朋友借款10万元，约定利息以年利率10%『单利』计算，借款3个月，请问期末李四必须偿还朋友多少钱？ 本金(PV) = 100,000 年利率(Rn) = 10% 年数(t) = 3/12 期末终值(本利和) =100000*(1+10%*(3/12)) = 102,500 Excel档案下载 这里提供一个Excel档案供读者下载，里面共有四张工作表，都是本篇会用到之试算，分别为： l 单利 l 复利 l 复利次数之影响 l 实质利率 复利 单利的计息方式对贷款者(出借方)似乎不是很公平，因为利息必须等到期末才拿得回来。如果将贷款期间缩短，就可早点拿到利息，这些提早拿回的利息，还可以借给别人生息呢！哈~~~如果世界上只有单利存在的话，那些贷款者将会拼命的将贷款期间缩短，因为那样对他们会比较有利。 其实比较合理的方式是于借贷期间多了一个『付息期间』，就是每间隔多久结算一次利息。也就是每过一个付息期间，借款者就必须支付贷款者利息。这样有时候也很麻烦，借款者支付利息非常频繁，于是就有借款者希望不要每期都支付该笔利息，同意将利息加入本金，做为下期的计息本金。也就是将付息期间一到，变自动将『利息转贷款』的意思，这就是复利的基本精神。 付息期间内以单利计息 付息期间可能是一年、半年、一季或者一个月，甚至于是一个日，全依金融商品而异。付息期间内是以单利计算利息的，只有在付息日才会结算一次利息，然后把利息加入本金当做下一期的本金。例如银行贷款以及定期存款的付息期间都是一个月，就是一个月结算利息一次，也可以说一个月复利一次的意思。又如债券的付息期间都会载明于债券上面，有每年付息一次的，也有半年付息一次。 复利计算公式 假若本金为PV，每一期之利率为rate，那么 n 期后之本利和(FV)： FV = PV*(1+rate)n ---------公式(2) 这公式的意义是说：每经过一期(付息期间)，就将上期之『期末终值(本利和)』乘上(1+rate)。一开始之期初金额为PV，所以经过 n 期后，期末终值就等于将PV乘上(1+rate)的n次方了。 上图是100元随着时间(单位：年)以复利成长，可以看出复利终值并非直线，而是以指数成长的，愈到后面成长力道愈大。尤其当利率愈高时，弯度愈大。用数学的语言说：愈到后面，斜率愈大，也就是愈后面每年所成长金额愈大。举个例子来说：以期初投入100元、2%及18%例，来瞧瞧20年后两者相差多少？ 2% 18% 1年 102 118 20年 149 2,739       到第一年底时只差了16元，可是20年后可是天壤之别，2%利率只有149元，18%却有2,739元。 复利公式推导 期末终值(本利和)：  = 期初本金 + 利息  = 期初本金 + 期初本金 *rate  = 期初本金*(1+rate)。 意思是每期末的终值等于该期之期初本金乘上(1+rate)。下表列出1~n期之『期末本利和』之明细，每期之『期末本利和』又当做下一期的『期初本金』去计息。所以第2期之『期初本金』等于第1期之『期末终值』；第3期之『期初本金』等于第2期之『期末终值』，依此类推。可以看出第 n 期之期末终值(FV) = PV*(1+rate)n。 期数 期初本金 期末终值 (FV) 0   PV 1 PV PV*(1+rate) 2 PV*(1+rate) PV*(1+rate)*(1+rate) = PV*(1+rate)2 3 PV*(1+rate)2 PV*(1+rate)2*(1+rate) = PV*(1+rate)3   ....   n PV*(1+rate)n-1 PV*(1+rate)n       例如：张三跟朋友借款100万元，约定利息以年利率6%复利计算，3年后还款，每年计息一次。请问3年后张三必须归还朋友本金及利息总共多少钱？ FV =1000000*(1+6%)3 =1000000*(1+6%)^3 =1,191,016 第1年 = 1000000*(1+ 6%) = 1,060,000 第2年 = 1060000*(1+ 6%) = 1,123,600 第3年 = 1123600*(1+ 6%) = 1,191,016 通用复利公式 公式(2)比较容易令人混淆的是每期利率(rate)及期数(n)。因应付息期间的不同，每期利率及期数算法均有些不同。有无一个通用的式子可以全部都适用呢？例如一般金融机构所都是使用年利率(或称名目利率 Rn)，名目利率就是去银行时挂在墙壁上让大家看的利率表，又名挂牌利率(现在利率变动频繁，很多银行现在都改成了LED显示)。那么，可以直接使用『名目利率(Rn)』换算成『每期利率(rate)』吗？ 是的，或许那些财务专家们听到了大家的问题，就另外写了一个公式，全部以名目利率为基础。因为付息期间可能是一年、半年或一个月，那么每期利率就可以用名目利率除上每年计息的次数来换算。每年计息次数一般会以 m 来代表，以半年计息一次为例，等于每年计息2次(m = 2)，也就是说以『半年』为一期，一年有两期。 每期利率 = Rn / m 可以直接这样除的原因是：这半年内都以单利计算。依此类推，一月计息一次(m=12)，rate 等于是月利率(Rn / 12)。 期数(n)也得随着rate的付息期间来改变，例如半年计息一次(m=2)，两年到期，那么就得使用半年利率(rate = Rn / m = Rn / 2)。因为一年有两期，所以两年就有4期了，所以期数(n)就变成『每年付息次数(m)』乘上『年数(t)』，也就是：n = m*t。 将公式(2)的rate换成(Rn/m)，n换成(m*t)就可写成通用的复利未来值或终值公式： FV = PV*(1+Rn/m)m*t ---------公式(3) l PV：期初金额 l Rn：名目年利率 l m：每年计息次数(复利次数) l t：年数 Rn/m的意义是每期的利率，例如Rn / 2 就是半年利率；Rn / 4 就是季利率；Rn / 12 就是月利率。m*t就是总计息次数，也就是俗称的复利次数，例如每月复利一次(m=12)，3年(t=3)总共复利36次 (12*3)。 例如100元存入银行，名目年利率6%，每月复利一次，每年12次 (m=12)，求3年后之未来值FV？ 每月计息一次，就是一年复利12次，所以m = 12。期间为3年(n=3)，所以总共计息次数m*n = 12*3。 FV = 100*(1+6%/12)36  以Excel表示 =100*(1+6%/12)^36 = 119.67 同上例但是改成每季计息一次，求半年之未来值FV？ 每季计息一次，就是一年计息4次，所以m = 4。期间为半年(n=1/2)，所以总共计息次数4*(1/2) = 2。 FV = 100*(1+6%/4)2 以Excel表示 =100*(1+6%/4)^2 = 103.02 复利试算 窗体顶端 期初金额(PV) 元 名目利率(Rn) % 复利次数(m) 次 年数(t) 年       窗体底端     复利次数对未来值之影响 每年复利的次数愈多，实质年利率就愈高，终值就愈高。但是差别到底有多少呢？在下载的Excel档中，『复利次数之影响』这工作表，期初以100元投入(读者可自行更改单元格B1)，分别以名目利率6%、20%两组，每组均以年复利(1年复利1次)及日复利(1年复利365次)分别计算终值。下面有两张图，上图为6%，下图为20%。可以看出年利率“6%”的部份，不论每年复利一次或365次，20年之间差别不大。可是再看年利率“20%”(下图)，这两者差别可就大了。 所以说利率愈高，每年复利次数的影响愈大。由下图的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，可以看出名目利率不大的话，终值对复利次数的敏感度不大。 实质年利率 根据公式(3)，相同本金、相同年利率、相同期间，只是每年的复利次数不一样时，就会有不同的结果。而且每年复利愈多次，应该得到更多钱才是。没错，复利次数愈多，一年后期末未来值就愈高，但不是等比例的提高，而是愈趋近于饱和。以100元存银行，年利率6%，来看看不同的计息次数结果会有何不同： 计息次数 Excel公式 未来值(FV) 实质年利率 1 =100*(1+6%/1)^1 106.00 6.00% 2 =100*(1+6%/2)^2 106.09 6.09% 4 =100*(1+6%/4)^4 106.14 6.14% 12 =100*(1+6%/12)^12 106.17 6.17% 365 =100*(1+6%/365)^365 106.18 6.18% ∞ =100*exp(6%) 106.18 6.18%         由上表可以看出计息次数由每年一次到12次时，实质年利率由6.00%升到6.17%，而且愈来愈平。复利次数由12次到365次时，实质年利率却只由6.17%升到6.18%。也就是说每月复利一次跟每日复利一次没差多少啦，我想这也是银行复利次数以月复利为主的原因吧。