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首页 【中考数学】初中平面几何一题多变(共34页)

【中考数学】初中平面几何一题多变(共34页).doc

【中考数学】初中平面几何一题多变(共34页)

wu惠英
2017-09-18 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《【中考数学】初中平面几何一题多变(共34页)doc》,可适用于高中教育领域

【中考数学】初中平面几何一题多变(共页)平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时有必要对该题的内容、形式、条件、结论做进一步的探讨以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变从变中总结解题方法从变中发现解题规律从变中发现“不变”必将使人受益匪浅。“一题多变”的常用方法有:、变换命题的条件与结论、保留条件深化结论、减弱条件加强结论、探讨命题的推广、考查命题的特例、生根伸枝图形变换、接力赛一变再变、解法的多变等。、(增加题的条件)AE平分BAC交BC于E求证:CE:EB=CD:CB、(增加题的条件)CE平分BCDAF平分BAC交BC于F求证:()BFCE=BEDF()AECF()设AE与CD交于Q则FQ‖BC、已知ABC中ACB=度CDABD为垂足以CD为直径的圆交AC、BC于E、F求证:CE:BC=CF:AC(注意本题和题有无联系)、已知ABC中ACB=度CDABD为垂足以AD为直径的圆交AC于E以BD为直径的圆交BC于F求证:EF是O和O的一条外公切线、已知ABC中ACB=度CDABD为垂足作以AC为直径的圆O和以CD为弦的圆O求证:点A到圆O的切线长和AC相等(AT=AC)、已知ABC中ACB=度CDABD为垂足E为ACD的中点连ED并延长交CB的延长线于F求证:DF:CF=BC:AC、如图O与O外切与点D内公切线DO交外公切线EF于点O求证:OD是两圆半径的比例中项。题解答:因为CD^=ADDBAC^=ADABBC^=BDAB所以AC^BC^=(ADAB)(BDAB)=(ADDB)(ADBDAB)=ABADBDAB=ADBD=CD^题解答:因为M为AB的中点所以AM=MBADDB=AMDM(MBDM)=DMAC^BC^=AD*ABDB*AB=(ADDB)AB=DM*AB、(在题基础上增加一条平行线)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足AE平分BAC交BC于E、交CD于FFG‖AB交BC于点G求证:CE=BG、(在题基础上增加一条平行线)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足AE平分BAC交BC于E、交CD于FFG‖BC交AB于点G连结EG求证:四边形CEGF是菱形、(对题增加一个结论)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足AE平分BAC交BC于E、交CD于F求证:CE=CF、(在题中去掉一个圆)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足作以AC为直径的圆O求证:过点D的圆O的切线平分BC、(在题中增加一个圆)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足AE平分BAC交BC于E交CD于F求证:CED平分线段AF、(在题中增加一个条件)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足A=度求证:BD=AB(沪科版八年级数学第页第题)、(在题基础上增加一条直线)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足作BCE=BCDP为AC上任意一点直线PQ交CD于Q交CB于M交CE于N求证:PQPN=QMMN题证明:作NS‖CD交直线AC与点S则PQPN=CQSN又BCE=BCDQMMN=CQCN(三角形内角平分线性质定理)BCENCS=BCDACDNS‖CDNSC=ACDNSC=NCSSN=CNPQPN=QMMN题在“题一中”延长CB到E使EB=CB连结AE、DE求证:DEAB=AEBE题证明CB^=BDAB因EB=CBEB^=BDABEB:BD=AB:BE又EBD=ABEEBDABEEB:AB=DE:AEDEAB=AEBE题(在题基础上增加一条垂线)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足AE平分CD于FEGAB交AB于点G求证:EG^=BEEC证明:延长AC、GE设交点为HEBGEHCEB:EH=EG:ECEHEG=BEEC又HG‖CDCF=FDEH=EGEG^=BEEC题(在题中增加点F)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足AE平分BCA交BC于点E交CD于F求证:CFFD=AFEF题、(在题中减弱条件删除ACB=度这个条件)已知ABC中CDABD为垂足DEAC于EDFBC于F求证:CEBC=CFAC题(在题中删除ACB=度和CDABD为垂足这两个条件增加D是AB上一点满足ACD=ABC)已知ABC中D是AB上一点满足ACD=ABC又CE平分BCD求证:AE^=ADAB题已知ABC中ACB=度CDABD为垂足PC为ABC的切线求证:PAAD=PBBD题(在题中点E“该为E为BC上任意一点”)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足E为BC上任意一点连结AECFAEF为垂足连结DF求证:ADFAEB题:已知ABC中ACB=度CDABD为垂足求证:SADC:SBDC=AD:DB题已知如图ABC中CDABD为垂足且ADCD=CDBD求ACB的度数。题已知CD是ABC的AB边上的高D为垂足且ADCD=CDBD则ACB一定是度吗,为什么,题:已知ABC中ACB=度CDABD为垂足ADC的内切圆OBDC的内切圆O求证:SO:SO=AD:DB题:已知ABC中ACB=度CDABD为垂足ADC的内切圆O的半径RBDC的内切圆O的半径RABC的内切圆O的半径R求证:RRR=CD题、已知ABC中ACB=度CDABD为垂足作以AC为直径的圆O和以BD为直径的圆O设O和O在ABC内交于P求证:PAD的面积和PBC的面积相等题解:CAP=CDP=DBP(圆周角、弦切角)RtAPCRtBPDAPPD=BPPC又APD和CPB互补(APCBPD=度)SPAD=APPDsinAPDSPBD=BPPCsinCPBSPAD=SPBD题(在题的基础上变一下)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足PC为ABC的切线又CE平分ACB交ABC与E交AB与D若PA=PC=求CDCE的值题在题中求sinPCA题(由题而变)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足AE平分ACB交BC于EEGAB交AB于点G求证:()AC=AG()、AG^=ADAB()、G在DCB的平分线上()、FG‖BC()、四边形CEFG是菱形题题解答:题目(题再变)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足延长CB到E使EB=CB连结AE交CD的延长线于F如果此时AC=EC求证:AF=FE题解:过点E作EMCFM为垂足则AD:DB=AC^:CB^=:又DB:EM=:所以AD:EM=:ADFEMFAF:EF=AD:EM=:AF=EF题目(题中连一线)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足延长CB到E使EB=CB连结AE交CD的延长线于F连结FB如果此时AC=EC求证:ABC=EBF(题的几种解法)解法、作ACB的平分线交AB于点G易证ACGCEFCG=EF证CBGEBFABC=EBF题解法作ACB的平分线交AB于点G交AE于点P则点G为ACE的垂心GF‖CE又AEC=GCE四边形CGFE为等腰梯形CG=EF再证CBGEBFABC=EBF题解法作ACB的平分线交AB于点G交AE于点P则点G为ACE的垂心易证APGCPF(AAS)PG=PF又GPB=FPBPB=PBPBGFBP(SAS)PBG=FBPABC=EBF题解法(原题图)由题得AF=EFAF:EF=AC:BE=又CAF=BEF=度ACFEBFACF=EBF又ACF=CBAABC=EBF题解法作MECE交CD的延长线于M证ABCCME(ASA)ABC=M再证MEFBEF(SAS)EBM=MABC=EBF题解法作点B关于点C的对称点N连结AN则NB=BE又由题AF=EFBF‖ANEBM=N又ABC=N(对称点)ABC=EBF题解法过点C作CH‖BF交AB于MB为CE的中点F为HE的中点又由题AF=EFH为AF的中点又CH‖BFM为AB的中点MCB=MBC又EBM=MCBABC=EBF题目(题、结论的引伸)已知ABE中AC=ECACE=度CDAB交斜边AB于FD为垂足B为CE的中点连结FB求证:()、AF=EF()、ABC=EBF()、EBF=EBAE()、ABF=DAC()、AB:BF=AE:EF()、CD:DF=AE:AF()、AD:DB=AF:EF()、CDDFFAAEEBBC=题目(题的一部分)已知如图、AC=CE、ACCE、CB=BE、CFAB求证:、AF=EF、ABC=EBF(题的个逆命题中是真命题的请给出证明)题目(题的逆命题)已知如图、AF=EF、ACCE、CB=BE、CFAB求证:、AC=CE、ABC=EBF平面几何一题多变题目(题的逆命题)已知如图、AC=CE、AF=EF、CB=BE、CFAB求证:、ACCE、ABC=EBF题目(题的逆命题)已知如图、AC=CE、ACCE、AF=EF、CFAB求证:、CB=BE、ABC=EBF题目(题的逆命题)已知如图、AC=CE、ACCE、AF=EF、CB=BE求证:、CFAB、ABC=EBF题目(题的逆命题)已知如图、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、CFAB求证:、AF=EF、AC=CE题目(题的逆命题)已知如图、AC=CE、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证:、AF=EF、ACCE题目(题的逆命题)已知如图、AC=CE、ACCE、ABC=EBF、CFAB求证:、AF=EF、CB=BE题目(题的逆命题)已知如图、AC=CE、ACCE、CB=BE、ABC=EBF求证:、AF=EF、CFAB题目(题的逆命题)已知如图、AF=EF、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证:、AC=CE、ACCE题目(题的逆命题)已知如图、ACCE、AF=EF、CFAB、ABC=EBF求证:、AC=CE、CB=BE题目(题的逆命题)已知如图、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、AF=EF求证:、AC=CE、CFAB题目(题的逆命题)已知如图、AC=CE、AF=EF、CFAB、ABC=EBF求证:、ACCE、CB=BE题目(题的逆命题)已知如图、AC=CE、AF=EF、CB=BE、ABC=EBF求证:、ACCE、CFAB题目(题的逆命题)已知如图、AC=CE、ACCE、AF=EF、ABC=EBF求证:、CB=BE、CFAB题目已知如图ABC中ACB=度CDABD为垂足CM平分ACB如果SACM=SDCM=求SBCD=,(题解答)解:设SBCD=x,则SACMSCMB=(x)=AMMBSACDSCDB=x=ADDB又AC^=ADABBC^=BDABAC^BC^=ADBDCM平分ACB(AMBM)^=ADBD(x)^=x解方程得x=或x=SBCD=或SBCD=题目已知如图ABC中ACB=度D为斜边AB上一点满足AC^=ADAB求证:CDAB题目已知如图ABC中AC>BC,ACB=度CM平分ACB且CMCB=AC求证:ACBC=题证明:过点M作MDBCD为垂足作MDACE为垂足设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=xAE=bx,由AEAC=MEBC得(bx)b=xa,x=ab(ab)又CMCB=ACxa=b,ab(ab)=(ba)整理得:b^a^=ab两边都除以ab,ACBC=题目(依题变)已知如图ABC中(AC>BC)ACB=度CDABD为垂足CM平分ACB,且BC、AC是方程x^x=的两个根求AD、MD的长。题目解:显然方程x^x=的两根为和又AC>BCAC=BC=由勾股定理AB=ACDABC得AC^=ADABAD=CM平分ACBAMMB=ACCB解得AM=MD=ADAM=题目已知如图ABC中ACB=度AB=AC现在将它折成如右图的形状这时顶点A正好落在BC上而且A'MN是正三角形求A'MN与ABC的面积之比。题解:ACB=度AB=ACB=度由题意四边形AMA'N是菱形A'BMABCA'MAC=BMAB设AM=x,AB=AC=axa=(ax)ax=a由三角形面积公式得SA'MN:SABC=:题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足求证:ABCD>ACBC题的证明:由三角形面积公式得ABCD=ACBCABCD=ACBC又勾股定理得AB^=AC^BC^AB^ABCD=AC^BC^ACBC(等式性质)AB^ABCD=(ACBC)^AB^ABCDCD^>(ACBC)^(ABCD)^>(ACBC)^又AB、CD、AC、BC均大于零ABCD>ACBC题目已知ABC中ACB>度CDABD为垂足求证:ABCD>ACBC题证明:如图作CB’AC交AB于B’,于是有AB’CD=ACB’CAB’CD=ACB’C又勾股定理得AB’^=AC^B’C^AB’^AB’CD=AC^B’C^ACB’C(等式性质)AB’^AB’CD=(ACB’C)^AB’^AB’CDCD^>(ACB’C)^(AB’CD)^>(ACB’C)^又AB’、CD、AC、B’C均大于零AB’CD>ACB’C……在ABB’中,BB’>CBCB’……得AB’BB’CD>ACB’CCBCB’ABCD>ACBC题目已知如图ABC中CDABD为垂足CT平分ACBCM为AB边上的中线且ACD=DCT=TCM=MCB求证:ACB=度题目的证明:延长CT交三角形ABC的外接圆于N连结MN则N为弧AB的中点所以MNAB又CDABMN‖CDDCT=TNM又DCT=TCMTCM=TNMCM=NMCN的垂直平分线必过点M又CM为AB边上的中线MNABAB的垂直平分线必过点M即M为两条弦的垂直平分线的交点M为三角形ABC的外接圆的圆心因此AB为ABC的外接圆的直径。ACB=度题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足ACB的平分线CG交AB边上的中垂线于点G求证:MC=MG题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足CM为AB边上的中线CD是ACB的平分线AC=cm,BD=cm,求CD、CM、CE的长题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足E为ABC上一点且弧AC=弧CE又AE交CD于M求证:AM=CM题目(题再变)已知ABC中ACB=度CDABD为垂足E为ABC上一点且弧AC=弧CE又BC交AE于G连结BE求证:BG^=ABBEAGGE题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足E为ABC上一点且直线DC于直线BE交于P求证:CD^=DMDP题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足E为ABC上一点且直线DC于直线BE交于P如果CD平分AE求证:DMDP=BEEP题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足E为ABC上一点且弧AC=弧CE又直线AC与直线BE交于H求证:AB=BH题目(由题变)求证:直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足MN切ABC与C点求证:BC平分DCN题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足MN切ABC与C点AFMNF为垂足AEMNE为垂足求证:CD=CE=CF题目已知ABC中ACB=度以BC为直径的圆交AB于点D以AC为半径的圆交AB于点E求证:BCE=DCE题目(由题图而变)求证:和两定点距离之比等于定比(不为)的点的轨迹是一个圆周。(提示:从()完备性、()纯粹性两方面来证明。)题目作图题:已知两线段之和及积求作这两条线段。已知:两线段m和n求作:两线段x及y,使xy=mxy=n^补个图(题作法参考)AD、BD即为求作线段x、y题目(由题变)已知梯形ABCD如图求作一直线平行于梯形的底边且平分面积。题目利用下图证明:两个正数之和为定值则这两个数相等时乘积最大。题目作法:如图作两腰的延长线交于点O作PBAB使PB=OA连结OP以OP为直径作半圆M由圆心M作MNOP交半圆于点N再以O为圆心ON为半径画弧交AB于点E作EF‖BC交CD于F则EF即为所求线段。题(题变)设a、b、c、d都是正数满足ab=cd,且a最大求证:ad>bc题(人教版数学八年级下页)在RtABC中ACB=度CDABD为垂足ACD=BCDE是斜边AB的中点ECB是多少度,题(题变)已知cosAcosB=,sinA=sinB,且A、B都是锐角求AB的值。题目解:(构造法)分别以、为边作ABC使AC=BC=CD为AB边上的高在RtADC中AD=cosA在RtBDC中BD=cosBCD=sinA=sinB而AB=ADDB=cosAcosB=AC=AB,B=ACB,AB=度AB=度。题已知如图ABC的C的平分线交AB于D交ABC的外接圆于E若CDCE等于ABC面积的倍求证:ACB=度题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足CM平分ACB交AB于M若AC>BC求证:DCM=(BA)题目已知ABC中ACB=度CDABD为垂足CE为AB边上的中线且DE=DC求ABC中较小的锐角的度数。题目已知ABC中ACB=度CE平分ACB交AB于E且ECBC=AC求ACBC题解:设BC=a,AC=b,过点E作EH‖BC交AC于点H作EF‖BC交BC于点F则四边形CHEF为正方形设EH=x则CE=x,由AHEH=ACBC得(bx)x=ba,x=(ab)(ab)由题意得ax=bx=(ba)a,(ab)(ab)=(ba)a,得b^aba^=ba=()即ACBC=()题目已知ABC中ACB=度两直角边的差为CDABD为垂足BDAD=求ABC中的三边长。题目圆内接三角形ABC中直径AB=AB边上的高CD=求A的度数。题目已知ABC中CDABD为垂足B=A求证:CB=ADBD题目已知AB是的直径AB=D是OB的中点过点D的弦CEAB求弦CE的长。(题的解答)已知如图、AF=EF、ACCE、CB=BE、CFAB求证:、AC=CE、ABC=EBF证明:过点E作EMCF如图由ADFEMF得AD:EM=AF:FM=又BD为CEM的中位线则BD:EM=:AD:DB=:=AC^:CB^AC:CB=:又CB=BEAC=CE(再由的解答即有ABC=EBF成立)题的解答已知如图、AC=CE、AF=EF、CB=BE、CFAB求证:、ACCE、ABC=EBF证明:过点E作EMCF如图由ADFEMF得AD:EM=AF:FM=又BD为CEM的中位线则BD:EM=:AD:DB=:不妨设DB=xCD=y,则AD=x由勾股定理得AC=(x)^y^,BC=(x^y^)又AC=BC得y^=x^即CD^=ADDBCD:AD=DB:CDADC=CDB=度RtADCRtCDBACD=CBD又BCDCBD=度BCDACD=度即ACB=度(再证ABC=EBF成立)圆中常见的辅助线的作法(遇到弦时(解决有关弦的问题时)常常添加弦心距或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。作用:利用垂径定理利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形根据勾股定理求有关量。(遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角。作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。(遇到度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用:利用圆周角的性质可得到直径。(遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点构成等腰三角形还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用:可得等腰三角形据圆周角的性质可得相等的圆周角。(遇到有切线时()常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)作用:利用切线的性质定理可得OAAB得到直角或直角三角形。()常常添加连结圆上一点和切点作用:可构成弦切角从而利用弦切角定理。(遇到证明某一直线是圆的切线时()若直线和圆的公共点还未确定则常过圆心作直线的垂线段。作用:若OA=r则l为切线。()若直线过圆上的某一点则连结这点和圆心(即作半径)作用:只需证OAl则l为切线。()有遇到圆上或圆外一点作圆的切线(遇到两相交切线时(切线长)常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用:据切线长及其它性质可得到:角、线段的等量关系垂直关系全等、相似三角形。(遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点或过内心作三角形各边的垂线段。作用:利用内心的性质可得:内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线内心到三角形三条边的距离相等。(遇到三角形的外接圆时连结外心和各顶点作用:外心到三角形各顶点的距离相等。(遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线或平移连心线。利用解直角三角形的有关知识。作用:利用切线的性质(遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用:利用连心线的性质、解直角三角形有关知识利用圆内接四边形的性质利用两圆公共的圆周的性质垂径定理。(遇到两圆相切时常常作连心线、公切线。作用:利用连心线性质切线性质等。(遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线。作用:可利用连心线性质。(遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。作用:以便利用圆的性质。

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