一元二次方程测试
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌
握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．
（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解
决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整
性和深刻性．
（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方
程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．
1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．
2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．
3．教学疑点：“一元二次方程的定义”应是进行合并同类项之后而言．
（一）明确目标
1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截
去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演
示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的
过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼
并用的能力．
2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正
方形，然后做成底面积为1500cm
2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去
的小正方形的边长？
2教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x-70x+825=0，此方程不
会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这
个方程，从而解决上述问题．
板
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和
学习兴趣．
（二）整体感知
通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实
际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数
学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生
感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？
（3）什么叫做分式方程？
问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫． 2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 2．引例：剪一块面积为150cm
2引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x+5x-150=0，此方程和章
2前引例所得到的方程x＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二
次方程的概念．
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．
称为关于未知数的整式．这里a、b、c表示已知数．
一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一元二次方程中的“一
元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”．“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程的定义
是指方程进行合并同类项整理后而言的．这实际上是给出要判定方程是一元二次
方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断．
3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x
2；
2（2）7x＋6＝2x（3x＋1）；
2＝x；
2（5）2x＝5y；
（4）6x2（6）-x＝0
4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元
二次方程的一般形式．
一元二次方程的一般形式：ax22＋bx＋c＝0（a?0）．ax称二次项，bx称一
次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．
2一般式中的“a?0”为什么？如果a＝0，则ax+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．
5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？
教师边提问边引导，板书并
规范
编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载
步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方
程的一般形式．
6．练习1：教材P．5中1，2．
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
多数学生在练习本上笔答，部分学生板
书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．
练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方
程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项．
8mx-2m-1＝0；（4）（b
22＋1）x-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．
教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念
的理解和深化．
（四）总结、扩展
引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上
学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？
1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以
及转化为方程的思想方法．
2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、2＋bx＋c＝0（a?0）的区别和联系．强一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程． 调“a?0”这个条件有长远的重要意义．
3．一元二次方程的意义与一般形式ax
1．教材P．6 A组2（必做）．
2．教材P．6 B组1、2（学有余力的学生做）． 3．思考题：
1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”
2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学
生思考）．
第十二章 一元二次方程 12．1一元二次方
程
1．整式方程：„„ 4．例1：„„ 2．一元二次方程„„： „„ 3．一元二次方程的一般形式：
„„ 5．练习：„„ „„ „„
教材P．6 A2．
教材P．6B1、2．
1．（1）二次项系数：ab 一次项系数：c 常数项：d． （2）二次项系数： m-n 一次项系数：0 常数项：m＋n．
2+（m-n）x＋p-q＝0（m＋n?0）二次项系数：m＋2．一般形式：（m＋n）xn，一次项系数：m－n，常数项：p－q．
思考题
（1）不能．如x32＋2x－4x＝5．
（2）一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3，这样
32的整式方程叫做一元三次方程．一般形式：ax＋bx＋cx＋d＝0（a?0）． 一元四次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是4，这样的整式
432方程叫做一元四次方程．一般形式：ax＋bx＋cx＋dx＋e＝0（a?0）．
什么是一元二次方程？是不是看到一个未知数有一项的次数是二次
的方程就是一元二次方程呢？请看以下几个方程：
?(m-2)x2+mx-1=0；
2 ?(2x-1)(3x+1)=6x+5；
对于这几个方程，如果认为都是一元二次方程，那就错了．判别一个
方程是不是一元二次方程要注意两点：
(1)经过整理化简后，符合ax2+bx+c=0(a?0)的形式．方程?从表面
2上看含有x的项，但是二次项的系数是m-2，由于不能判断m-2是否为零，所以这个方程不能判定必为一元二次方程．方程?经过化简后，成为不含
未知数的二次项，当然不是一元二次方程了．
(2)一元二次方程首先必须是一个整式方程，显然方程?与方程?不
符合这个条件．
熟练判别一元二次方程对于学习解一元二次方程及研究有关一元二
次方程的其他问题很有好处．
题的错误往往是由于对方程的类型判断错误所致．“一把钥匙开一把锁”，
其实这
2解略． -(2a+1)x+(a-1)=0：
a取何值时，方程ax (1)有两个实数根；(2)有实数根．
注意：这里a?0很容易被遗忘，如果不加这个条件，当a=0时原方
程变为x+1=0，是个一元一次方程，不可能有两个实数根．
(2)这题与上一问比较，少了两个字“两个”，不言而喻，解这题时
有两种情况：
一、素质教育目标
22（一）知识教学点：认识形如x＝a（a?0）或（ax+b）＝c（a?0，c?0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．
（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力． （三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新
知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，
化未知为已知．
二、教学重点、难点和疑点 2＝c（a?0，c?0，a，b，c为常数）这样结构特点的一1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程． 元二次方程适用于直接开平方法． 2．教学难点：认清具有（ax＋b）3．教学疑点：一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也
2可能无实数解．如：（ax＋b）=c（a?0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，
c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解． 三、教学步骤
（一）明确目标
2在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x=a（a?0），那么
x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在
2本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如
2（ax＋b）=c（a，b，c常数，a?0，c?0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．
（二）整体感知
通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为
已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及
开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作
用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛
砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的
基础上开发学生的创新意识．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？
（2）平方根的概念及开平方运算？
2．引例：解方程x2-4=0．
2解：移项，得x＝4．
两边开平方，得x＝?2．
? x＝2，x＝-2． 122分析 x＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为?2．求一个数平方根
的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到
直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算． 练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法
的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．
23．例1 解方程9x-16＝0．
2解：移项，得：9x=16，
此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题
负根．
练习：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．
2例2 解方程（x＋3）＝2．
分析：把x＋3看成一个整体y．
例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体， 两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平
方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．
练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有
未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解． 例3 解方程（2-x）2-81＝0．
解法（一）
2移项，得：（2-x）＝81．
两边开平方，得：2-x=?9
? 2-x＝9或2-x＝-9．
? x=-7，x＝11． 12
解法（二）
22? （2-x）＝（x-2），
2? 原方程可变形，得（x-2）=81．
两边开平方，得x-2＝?9．
? x-2＝9或 x-2＝-9．
? x＝11，x＝-7． 12
比较两种方法，方法（二）较简单，不易出错．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，
进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的． 练习：解下列方程：
22（1）（1-x）-18＝0；（2）（2-x）＝4；
在实数范围内解一元二次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学生注意不要丢掉
2负根，例x＋36＝0，由于适合这个方程的实数x不存在，因为负数没有平方根，所以原方
2程无实数根．-x＝0，适合这个方程的根有两个，都是零．由此渗透方程根的存在情况．以
上在教师恰当语言的引导下，由学生得出结论，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．
那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？启发引导学生，抽
2象概括出方程的结构：（ax＋b）＝c（a，b，c为常数，a?0，c?0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数．
（四）总结、扩展
引导学生进行本节课的小节．
1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可
2＝c（a，b，c为常数，a?0，c?0）． 2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次
用直接开平方法来解．如（ax＋b）方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径． 3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．
四、布置作业
1．教材P．17中A组 1（5）（6）（7）（8）； 2．（1）（2）（3）（4）． P．18中B组1、2（学有余力的学生做）．
五、板书设计
12．2 一元二次方程的解法（一）
引例：解方程x22-4＝0 例1 解方程9x-16=0 解：„„ „„
2„„ 例2 解方程（x＋3）＝2 此种解一元二次方程的方法称为直接
开平方法
2形如（ax＋b）＝c（a，b，
c为常数，a?0，c?0）可用直接开平
方法
练习：略
六、作业参考答案
教材P．17A1
教材P．17A2
教材P．18B1
教材P．18B2
一元二次方程的解法（配方法） 一、素质教育目标
2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）22＝n（n?0）类型．2．会用配方法解形如ax＋bx＋c=0（a?0）中的数字系数的一元二次（一）知识教学点： 1．正确理解并会运用配方法将形如x方程．3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．
（二）能力训练点：培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、
分析问题的能力．
（三）德育渗透点：通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解
决某些代数问题的一个很重要的方法．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：用配方法解一元二次方程．
2．教学难点：正确理解把x22＋ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x＋ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式．
3．教学疑点：配方法可以解决许多代数问题，例如：因式分解，将一个代数式配成完全平
方式等等，本节课传授的是用配方法解一元二次方程．
三、教学步骤
（一）明确目标
2学习了直接开平方法解一元二次方程，对形如（ax＋b）＝c（a，b，c为常数，a?0，c?0）
2的一元二次方程便会求解．如果给出一元二次方程x＋2x＝3，那么怎样求解呢？这就是我
22们本节课所要研究的问题．将x＋2x＝3转化为（ax＋b）＝c型是我们本节课一个重要的突破点，攻克此难关，方程的求解问题便迎刃而解了．
（二）整体感知
本节课在直接开平方法的基础上引进了配方法，实现由未知向已知的转化．直接开平方法在
本节课中起到了一个承上启下的作用．它为配方法的引入做了很好的铺垫．如果说平方根的
概念为一元二次方程解法的引进立下了汗马功劳，那么可以说直接开平方法为其他方法的引
进作了坚实的铺垫．
2配方法是初中代数中解决某些代数问题的一个常用方法，方法的实质是将代数式x＋ax配
222成一个完全平方式，它的理论依据是完全平方公式a?2ab＋b＝（a?b）． （三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
222（1）完全平方公式a?2ab＋b＝（a?b）．
（2）填空：
221）x-2x+（ ）＝[x＋（ ）]
222）x＋6x＋（ ）＝[x-（ ）]
222．引例：将方程x-2x-3=0化为（x-m）=n的形式，指出m，n分别是多少？
2解：移项，得x－2x＝3．
2配方，得x-2x＋12＝3＋12．
2? （x-1）＝4．
? m＝-1，n＝4．
2对于x+ax型的代数式，只需再加上一次项系数一半的平方即可完成上述转化工作．
2练习：把下列方程化为（x＋m）＝n的形式
2－4x－2＝0．
2上述练习，深化配方的过程，为配方法的引入作铺垫． 解：移项，得x－4x＝2 „„第一步
2223．例1 解方程x配方，得x－4x＋（-2）＝2＋（-2） „„第二步
2? （x－2）＝6．
教师引导、板演，学生回答．分析解方程的步骤，第一步是移项，将含有未知数的项移到方
程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边．第二步是配方，方程的两边同时加上二次
22项系数一半的平方，进行这一步的理论依据是等式的基本性质和完全平方公式a?2ab＋b
2＝（a?b），第三步是用直接开平方法求解．此时，向学生点明：这种解一元二次方程的
方法称为配方法．
学生练习、板演、评价，深刻体会配方法的步骤，通过配方，方程进行了形式上的转化，并
且体会为什么先学直接开平方法，它是配方法的基础，要注意体会推理的严谨性、步骤的完
整性，刚开始配方的过程要细，不要跳步，避免出错．
2例2 解方程：2x＋3＝5x．
2解：移项，得：2x-5x＋3＝0，
例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，必须化二次项系数为1．对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0用配方法求解的步骤是：
第一步：化二次项系数为1；
第二步：移项；
第三步：配方；
第四步：用直接开平方法求解．
练习：1．P．12中2（3）（4）．
222．解方程（1）6x－x＝63 （2）9x－6x＋1＝0．
2学生练习板演，师生共同评价．对于练习2（2）解方程9x＋6x＋1＝0．
2＝0．
? 3x－1＝0． 解法（二）原方程可整理为（3x－1）
比较上面两种方法，让学生体会方法（一）是通法，有时用起来麻烦．方法（二）是据方程
的特点所采用的特殊的方法，较方法（一）简捷，明快．可告诫学生学习不要机械死板，在
熟练掌握通法的基础上，据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养学生灵活运用的能
力．
通过以上练习，让学生能悟出配方法可以解任意结构特点的一元二次方程，它是解一元二次
方程的通法．
（四）总结、扩展
引导学生从所学知识、方法上进行小结．
1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下： （1）化二次项系数为1．
（2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项． （3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数
一半的平方．
（4）用直接开平方法求解．
配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法． 2．配方法的理论依据是完全平方公式：a22?2ab＋b＝（a?b）2，配方法以直接开平方法为基础．
3．要学会通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的
转化思想方法，增强学生的创新意识．
四、布置作业
教材P．17 A组中3、4．
五、板书设计
12．2一元二次方程的解法（二）
1．配方法的理论依据 例1 解方程x2-4x-2＝0 222a?2ab＋b＝（a?b） 解：„„ 2．配方法的步骤 „„
2（1）„„ 例2 解方程2x-3＝5x （2）„„ 解：„„
（3）„„ „„ （4）„„ 练习1„„
练习2„„ 六、作业参考答案 =-2，x＝-4 12教材P．17中3． （2）x＝-6，x＝2 12（1）x（3）x＝4，x＝6 12
（4）x＝3，x＝5 12
（5）x＝-11，x＝9 12
教材P．17中4．
解：移项，得：x2+px=-q
2（1）当p－4q?0时
2（2）当p－4q＜0时
此方程无实数解．
（负数无算术平方根）
一元二次方程的解法 一、素质教育目标
（一）知识教学点：掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程． （二）能力训练点：1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．2．培养学生快速而准确的计算能力．
（三）德育渗透点：1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．2．通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
3．教学疑点：1．推导方程ax22＋bx＋c＝0（a?0）的求根公式与用配方法解方程ax＋bx
＋c＝0（a?0）的异同．2．在求根
的简单延续．
三、教学步骤
（一）明确目标
通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次
方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困
难．能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的
产生极好地解决了这个问题．
（二）整体感知
由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，
大大简化了书写步骤和减小了计算量，使学生能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元
二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种
方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产
生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化．
求根公式的推导过程，蕴含着基本理论的应用，例如：等式的基本性质，配方的含义．完全
平方公式，平方根的概念及二次根式的性质，同时也蕴含着一种分类的思想．
通过公式的推导，深刻理解基本理论和方法，培养学生进行数学推理的严密性和严谨性．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1．复习提问：用配方法解下列方程．
22－7x＋11＝0，（2）9x＝12x＋14．
（1）x通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推
导做第一次铺垫．
22．用配方法解关于x的方程，x＋2px＋q＝0．
2解：移项，得x＋2px＝-q
222配方，得x＋2px＋p＝-q＋p
22即（x+p）＝p-q．
教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫．
23．用配方法推导出一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a?0）的根． 解：因为a?0，所以方程的两边同除以a，
? a?0， ?4a22＞0 当b－4ac?0时．
??两步是学生易忽略的步骤，这两步实质上是为运用等式的基本性质和开方运算准备前提
条件．??步可培养学生有理有据的严谨的数学推理习惯，使学生逐步养成有条件，有根据
才能有结论的推理习惯．
从上面的结论可以发现：
（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a?0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．
2（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b－4ac?0的前提下，把a、
2b、c的值代入x＝（b－4ac?0）中，可求得方程的两个根．
的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
24．例1 解方程x－3x＋2＝0
解：? a＝1，b＝-3，c＝2．
22又? b－4ac＝（-3）－4×1×2＝1＞0，
=2，x=1． 12 在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，
2? x易出错．并引导学生总结步骤 1．确定a、b、c的值．2．算出b-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．
练习：P．16中2（1）—（7），通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．
例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x＝ 1
由此例可以总结出一般一元二次方程求解利用公式法的步骤：1．化方程为一般形式．2．确
2定a、b、c的值．3．算出b－4ac的值．4．代入求根公式求解．
练习：P．16中2（8）．
（四）总结、扩展
引导学生从以下几个方面总结：
?0）．
（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：?化方程为一般式．?确定a、b、c的值．?算出b2－4ac的值．?代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单． 2．（1）在推导求根公式时，注意推导过程的严密性．诸如
22? a?0，? 4a＞0．当 b－4ac?0时，„„
（2）在推导求根公式时，注意弄清楚推导过程所运用的基本理论，如：等式的基本性质，
配方的意义，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质．
22（3）求根公式是指在b－4ac?0对方程的解，如果b-4ac＜0时，则在实数范围内无实数
解．渗透一种分类的思想．
22（4）推导ax＋bx＋c＝0（a?0）的求根公式与解ax＋bx＋c＝0（a?0）（用配方法）的异
22同．前者只求在b－4ac?0的情况下的解即可．后者还要研究在b-4ac＜0的情况． 四、布置作业
教材P．17中A组5．
2参考题：用配方法解一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a?0）（学有余力的学生做）． 五、板书设计
212．2 一元二次方程的解法（三） +bx+c=0 „„ 1．求根公式： 例：用配方法推导出一元 例1„„ (a?0)的根． 练习„„
二次方程ax
2．公式法及其步骤解： 解：„„ „„
（1） „„ （2） „„ （3） （4） 六、作业参考答案
教材P．17中5．
2．用配方法解方程ax
2＋bx＋c＝0（a?0）
一元二次方程的解法 一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．熟练地运用公式法解一元二次方程，掌握近似值的求法． 2．能用公式解关于字母系数的一元二次方程．
（二）能力训练点：培养学生快速准确的计算能力． （三）德育渗透点：
1．向学生渗透由一般到特殊，再由特殊到一般的认识问题和解决问题的方法．
2．渗透分类的思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：在解关于字母系数的一元二次方程中注意判断b2－4ac的正负．
3．教学疑点：对于首项系数含有字母的方程的解要注意分类讨论． 三、教学步骤
（一）明确目标
公式法是解一元二次方程的通法，利用公式法不仅可以求得方程中x的准确值，也可以求得近似值，不仅可以解关于数字系数的一元二次方程，还可以求解关于字母系数的一元二次方
程．
（二）整体感知
这节内容是上节内容的继续，继续利用一元二次方程的求根公式求一元二次方程的解．但在
原来的基础上有所深化，会进行近似值的计算，对字母系数的一元二次方程如何用公式法求
解．由此向学生渗透由一般到特殊，再由特殊到一般的认识问题和解决问题的方法，通过字
母系数一元二次方程的求解，渗透分类的思想，为方程根的存在情况的讨论等打下坚实的基
础．
（三）重点，难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
（1）写出一元二次方程的一般形式及求根公式． 一般式：ax2＋bx＋c＝0（a?0）．
（2）说出下列方程中的a、b、c的值．
2?x-6＝9x；
2?3x＋4x＝7；
2?x＝10x-24；
2＋x-1＝0（精确到0.01）． 通过以上练习，为本节课顺利完成任务奠定基础． 解：? a＝1，b＝1，c＝-1， 2．例1 解方程x
对于近似值的求法，一是注意要求，要求中有精确0.01，有保留三位有效数字，有精确到小
数点第三位．二是在运算过程中精确的位数要比要求的多一位．三是注意有近似值要求就按
要求求近似值，无近似值要求求准确值．练习：用公式法解方程x2＋3x-5＝0（精确到0.01）
2学生板演、评价、练习．深刻体会求近拟值的方法和步骤．例2 解关于x的方程x-m（3x-2m
2＋n）-n＝0．
分析：解关于字母系数的方程时，一定要把字母看成已知数．解：展开，整理，得 222x-3mx＋2m-nm-n＝0．
22? a＝1，b＝-3m，c＝2m-mn-n，
2222又? b-4ac＝（-3m）-4×1×（2m-mn-n），
2＝（m＋2n）?0
? x＝2m+n，x＝m-n． 1222分析过程，b-4ac＝（m＋2n）?0，此式中的m，n取任何实
详细变化过程是：
22-mx-n＝0．
2解：? a=2，b=-m，c=-n 练习：1．解关于x的方程2x222? b-4ac＝（-m）-4×2（-n）
22＝m+8n?0，
学生板书、练习、评价，体会过程及步骤的安排．
练习：2．解：于x的方程abx24433-（a＋b）x＋ab＝0（ab?0）．
4433解：? A＝ab，B＝-a-b，C＝ab
24433? B-4AC＝（-a-b）2-4ab?ab
44244＝（a＋b）-4ab
442＝（a-b）?0
44244442学生练习、板书、评价，注意（a＋b）-4ab＝（a-b）的变化过程．注意ab?0的条件．
2练习3 解关于x的方程（m＋n）x＋（4m-2n）x＋n-5m＝0． 分析：此方程的字母没有任何限制，则m，n为任何实数．所以此方程不一定是一元二次方
程，因此需分m＋n＝0和m＋n?0两种情况进行讨论．
解：（1）当m＋n＝0且m?0，n?0时，原方程可变为
（4m＋2m）x-m-5m＝0．
? m?0解得x＝1，
（2）当m＋n?0时，
? a＝m＋n，b＝4m-2n，c＝n-5m，
? b222-4ac=（4m-2n）-4（m＋n）（n-5m）＝36m?0．
通过此题，在加强练习公式法的基础上，渗透分类的思想． （四）总结、扩展
1．用公式法解一元二次方程，要先确定a、b、c的值，再确定b2－4ac的符号． 2．求近似值时，要注意精确到多少位？计算过程中要比运算结果精确的位数多1位．
23．如果含有字母系数的一元二次方程，首先要注意首项系数为不为零，其次如何确定b－
4ac的符号．
四、布置作业
教材P．17中A组6、7、8．
教材P．18中B3、4（学有余力的同学做），
五、板书设计
12．2 一元二次方程的解法（四） 2＋bx＋c＝0(a?0) „„ „„ 一元二次方程的一般形式及求根公式 例1．„„ 例2．„„ 练习．„„ ax
六、作业参考答案
教材P．17A6（1）x?4.54，（2）x?-1.54 12教材P．17A7
（2）x＝7，x＝3； 12
（4）x＝-29，x＝21； 12
教材P．17B4
解：由题得3x22＋6x-8＝2x-1
2整理得x+6x-7＝0
又? a=1，b=6，c=-7
22? 当x＝1或x＝-7时，3x＋6x-8的值和2x-1的值相等．
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．
（二）能力训练点：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．
（三）德育渗透点：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：用因式分解法解一元二次方程．
式）
3．教学疑点：理解“充要条件”、“或”、“且”的含义． 三、教学步骤
（一）明确目标
学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程．对于有些一元二次方程，例如（x－2）（x
＋3）＝0，如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x－2＝0或x＋3＝0，
解起来就变得简单多了．即可得x＝2，x＝-3．这种解一元二次方程的方法就是本节课要12
研究的一元二次方程的方法——因式分解法．
（二）整体感知
所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是
一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：
2x＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式
分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于
零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分
解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单． （三）重点、难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就
等于零．
“或”有下列三层含义
?A＝0且B?0?A?0且B＝0?A＝0且B＝0
2．例1 解方程x2＋2x＝0．
解：原方程可变形x（x＋2）＝0„„第一步
? x＝0或x＋2＝0„„第二步
? x=0，x=-2． 12
教师提问、板书，学生回答．
分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因
式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是
零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程
的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第
二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想2＋2x－15＝0． 方法． 解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0． 例2 用因式分解法解方程x得，x＋5＝0或x-3＝0．
? x＝-5，x＝3． 12
教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：（一）方程化为一般形式；（二）方程左边因式
分解；（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（四）两个一元一次方程的解
就是原方程的解．
练习：P．22中1、2．
第一题学生口答，第二题学生笔答，板演． 体会步骤及每一步的依据．
例3 解方程3（x-2）-x（x-2）＝0． 解：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0． ? x-2＝0或3-x＝0．
? x＝2，x＝3． 12
教师板演，学生回答．
此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．
练习P．22中3．
22（2）（3x＋2）=4（x-3）.
22解：原式可变形为（3x＋2）-4（x-3）＝0． [（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0 即：（5x-4）（x＋8）=0．
? 5x-4＝0或x＋8＝0．
学生练习、板演、评价．教师引导，强化． 练习：解下列关于x的方程
6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．
学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度．
练习P．22中4．
（四）总结、扩展
1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知
识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）化方程为一般形式；
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程； （4）两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．
3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过
程．
四、布置作业
教材P．23中A组1、2．
教材P．23中B组1、2（学有余力的学生做）． 五、板书设计
12．2 一元二次方程的解法（五）
例1．„„ 例2„„
二、因式分解法的步骤 （1）„„ 练习：„„ （2）„„ „„ （3）„„ （4）„„ 但要具体情况具体分析 六、作业参考答案
教材P．23中A1 =-6，x=-1 12（1）x（2）x=6，x=-1 12
（3）y=15，y=2 12
（4）y=12，y=-5 12
（5）x=1，x=-11， 12
（6）x=-2，x=14 12
教材P．23中A2
（1）解：原式可变为：（5mx-7）（mx-2）＝0 ? 5mx-7=0或mx-b＝0
又? m?0
（2）解：原式可变形为
（2ax＋3b）（5ax-b）＝0
? 2ax＋3b＝0
或 5ax-b＝0
? a?0
教材P．23中B
1．解：（1）由y的值等于0 2-2x-3=0 得x变形为（x-3）（x＋1）＝0
? x-3＝0或x+1=0
? x＝3，x=-1 12
（2）由y的值等于-4
2得x-2x-3=-4
2方程变形为x-2x＋1=0
2? （x-1）=0
解得 x=x=1 12
? 当x=3或x＝-1时，y的值为0 当x=1时，y的值等于-4
教材P．23中B2
22证明：? x-7xy＋12y＝0
? （x-3y）（x-4y）=0
? x-3y=0或x-4y=0 ? x=3y，或x=4y
一、素质教育目标
（一）知识教学点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方
程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．
（二）能力训练点：通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．
（三）德育渗透点：通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解
决问题，树立转化的思想方法． 二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：熟练掌握用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：用配方法解一元二次方程．
3．教学疑点：对“选择恰当的方法解一元二次方程”中“恰当”二字的理解． 三、教学步骤
（一）明确目标
解一元二次方程有四种方法，四种方法各有千秋，究竟选择什么方法最适当是本节课的目
标．在熟练掌握各种方法的前提下，以针对一元二次方程的特点选择恰当的方法或者说是用
简单的方法解一元二次方程是本节课的目的．
（二）整体感知
一元二次方程是通过直接开平方法及因式分解法将方程进行转化，达到降次的目的．这种转
化的思想方法是将高次方程低次化经常采取的．是解高次方程中的重要的思想方法． 2＝c（a，b，c常数，a?0，c?0）结构特点的方程均适合用直接开平方法．直接开平在一元二次方程的解法中，平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，符合形如（ax方法为配方法奠定了基础，利用配方法可推导出一元二次方程的求根公式．配方法和公式法＋b）
都是解一元二次方程的通法．后者较前者简单．但没有配方法就没有公式法．公式法是解一
元二次方程最常用的方法．因式分解的方法是独立的一种方法．它和前三种方法没有任何联
系，但蕴含的基本思想和直接开平方法一样，即由高次向低次转化的一种基本思想方法．方
程的左边易分解，而右边为零的题目，均用因式分解法较简单． （三）重点、难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
（1）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．
（1）3x2＝x＋4；
2（2）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）＋2；
（3）（x＋3）（x-4）＝-6；
2（4）（x＋1）-2（x-1）＝6x-5．
此组练习尽量让学生眼看、心算、口答，使学生练习眼、心、口的配合． （2）解一元二次方程都学过哪些方法？说明这几种方法的联系及其特点．
2直接开平方法：适合于解形如（ax＋b）＝c（a、b、c为常数，a?0 c?0）的方程，是配方法的基础．
配方法：是解一元二次方程的通法，是公式法的基础，没有配方法就没有公式法． 公式法：是解一元二次方程的通法，较配方法简单，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法：是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元
二次方程．
直接开平方法与因式分解法都蕴含着由高次向低次转化的思想方法． 2．练习1．用直接开平方法解方程．
（1）（x-5）222＝36；（2）（x-a）＝（a＋b）；
此组练习，学生板演、笔答、评价．切忌不要犯如下错误
?不是x-a=a+b而是x-a=?（a+b）；
22-10x-11=0；（2）ax＋bx＋c＝0（a?0） 练习2．用配方法解方程． 配方法是解决代数问题的一大方法，用此法解方程尽管有点麻烦，但由此法推导出的求根公（1）x式，则是解一元二次方程最通用也是最常用的方法． 此练习的第2题注意以下两点：
（1）求解过程的严密性和严谨性．
22（2）需分b-4ac?0及b-4ac＜0的两种情况的讨论． 此2题学生板演、练习、评价，教师引导，渗透． 练习3．用公式法解一元二次方程
练习4．用因式分解法解一元二次方程
2（1）x-3x＋2＝0；（2）3x（x-1）＋2x＝2；
解（2）原方程可变形为3x（x-1）+2（x-1）=0， ? （x-1）（3x＋2）＝0，
? x-1=0或3x+2=0．
如果将括号展开，重新整理，再用因式分解法则比较麻烦． 练习5．x取什么数时，3x22+6x-8的值和2x-1的值相等．
22解：由题意得3x＋6x-8＝2x-1．
2变形为x＋6x-7=0．
? （x＋7）（x-1）＝0．
? x＋7＝0或x-1＝0．
即 x＝-7，x＝1． 1222? 当x＝-7，x＝1时，3x＋6x-8的值和2x-1的值相等． 学生笔答、板演、评价，教师引导，强调书写步骤． 练习6．选择恰当的方法解下列方程
（1）选择直接开平方法比较简单，但也可以选用因式分解法． （2）选择因式分解法较简单．
学生笔答、板演、老师渗透，点拨．
（四）总结、扩展
（1）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法对解某些
一元二次方程是最简单的方法．在解一元二次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方
法去解．
（2）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高
次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法． 四、布置作业
1．教材P．23中A3．
2．解关于x的方程．
222-2ax＋a-b＝0，
2（2）x＋2（p-q）x-4pq＝0． （1）x
4．（1）解方程
2?（3x＋2）＝3（x＋2）；
22（2）方程（m-3m＋2）x＋（m-2）x＋7＝0，m为何值时?是一元二次方程；?是一元一次方程．
五、板书设计
12．2 一元二次方程的解法（六）
四种方法 练习1„„ 练习2„„
1．直接开平方法 „„ „„ 2．配方法 3．公式法 4．因式分解法 六、作业参考答案
1．教材P．23中A组3．
（1）x=1，x=2； 12
（3）x＝-3，x=-9； 12
（4）x＝-9，x=8； 12
（5）t=0，t=3； 12
2．（1）解：原方程可变形为[x-（a＋b）][x-（a-b）]＝0． ? x-（a＋b）＝0或x-（a-b）＝0．
即 x=a＋b，x=a-b． 12
（2）解：原方程可变形为（x+2p）（x-2q）＝0． ? x＋2p=0或x-2q=0．
即 x＝-2p，x=2q． 12
2原方程可化为5x+54x-107=0．
2-3m＋2?0．．
? m?1，m?2． 12（2）解?? m
? 当m?1且m?2时，此方程是一元二次方程． 12
解得：m＝1．
? 当m＝1时此方程是一元二次方程．
一元二次方程的解法
知识要点表解
一元二次方程的解法是本章的重点内容，课本中实际上介绍了四种解法：直接开平方法、配
方法、公式法和因式分解法。
方法 适合方程类型 注意事项
直接开平方法 (x+a)2=b b?0时有解，b<0时无解。
2配方法 X+px+q=0 二次项系数若不为1，必须先系数化为
1，再进行配方。
22公式法 Ax+bx+c=0(a?0) b-4ac?0时，方程有解；
2b-4ac<0时，方程无解。先化为一般
形式再用公式
因式分解法 方程的一边为0，另一边分方程的一边必须是0，另一边可用任何
解成两个一次因式的积。 方法分解因式。 方法主线导析
学法建议
本节篇幅大，本节内容是本章的重要内容，也是中学的主要内容，在初中代数中占有重要地
位。公式法是本节重点。
难点是配方法，学好本节的关键是掌握一元二次方程各种解法适合的类型。公式法是通法，
一定要熟练掌握。
释疑解难
1、“配方法”中，为什么方程的两边要加上一次项系数的一半的平方？
m22?mx可以写成x?2x•．对照完全平方公2答：目的是使方程左边变成一个完全平方式．xmmm2222222式，a+2ab+b=(a?b)可知，x相当于a，2x•相当于2ab,b相当于,b相当于()．既222
m2222然a+2ab再配上b可以配成完平方式，x?mx再配上()就可以配成完全平方式，这就2
是方程的两边要加上一次项系数的一半的平方的原因。值得一提一是，方程两边都加一次项
系数的绝对值的一半的平方更好，这样写成完全平方就不会在符号上出现错误。
732如课本由x-x=-配方得： 22
7737222 x-x+(-)=-+() ． 24242例6 用配方法证明：无论x为何实数，代数式x-4x+4．5的值恒大于零。 分析 本题不是用配方法解一元二次方程，所用的配方法与已学的配方法大同小异。“大同”
指思路一致，好都构造一个完全平方式。“小异”指具体实施方法有区别，前者在等号两边
同加一个相同的数，后者在等号一边加上一个数又减去这个数。具体办法如下：
222解答 x+4x+4．5=(x2+2)-2+4．5
22=(x-2)+0．5 ,?(x-2)?0,
22?(z-2)+0．5>, ?x不论为何实数，代数式x+4x+4．5的值恒大于零。 能力层面训练
1、填空：
22x+6x+________=(x+_______)；
22x-5x+_________=(x-_______)；
22x+2m+________=(x+_______)；
22x-3m+________=(x-_______)．
2、用直接开平方法解下列方程：
2222(1)x=8； (2)3x=0； (3)3x-4x-7=0； (4)4(1-x)-9=0． 3、用配方法解下列方程：
122222(1)x-4x-1=0； (2)3x+x-1=0； (3)3x-4x-7=0； (4)2x-2m=mx． 2
4、用公式法解下列方程：
22222(1)6x-13x-5=0； (2)(x+2)=2x+4 (3)mnx-(m+n)x+mn=0；
2(4)x33-(1+2)x+-3=0．
5、用因式分解法解下列方程：
2222(1)(x+1)-2=0； (2)(x+2)=2x+4； (3)x=5x； (4)x-5x+2=0． 6、用适当方法解下列方程：
222-2(1)(x-1)(2+x)=4； (2)(x+3)=3(4x+3)； (3)(2x+1)-3(2x+1)+2=0； (4)2xmx=m． 7、解方程：(精确到0.01)
222(1)x+x-1=0； (2)x+4x+1=0 (3)2x-8x=7；
8、 x为何值时，下列各组两个代数式的值相等？
2x2,xx,13222(1)x(3x-2)和4(2-3x)； (2)和+； (3)x和x； (4)2x-2m和234
22mx． -5xy+x=0,求证： x=2y或者x=3y．
能力提高 210、若方程x2,3+6x+5a=0的一个根是，求a的值和方程的另一个根。 9、若6y
211、若n(n?0)是关于x的方程x+mx+n=0的一个根，则m+n的值是多少？
2212、Rt?ABC的两直角边是方程x3-px+p-2p+4=0的两个实数根，求?ABC外接圆半径和?ABC的面积。
延伸拓展
13、若(a-2)xa+(a+1)x+3a-1=0是关于x的一元二次方程，则a=_________,原方程化为一般形式为________．若原方程是关于x的一元一次方程，则a=____________． 14、求证：关于x的方程(x-a)(x-a-b)=1的两根中一个大于a，另一个小于a． 教学目标
（一）巩固、掌握解一元二次方程的四种解法；
（二）提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想； （三）培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法。
教学重点和难点
重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法。
难点：选择恰当的解法。要有一定的计算能力和技巧。
教学过程设计
（一）复习
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、不完全的一元二次方程有哪几种？
3、解一元二次方程有哪四种方法？
（二）新课
同一个题目可能会有多种解法，我们应该根据题目的结构选取恰当的解法。在解题过程中应
该根据算理，发挥计算技能，要有毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可能出现的错误。
例1 解方程：x(x-1)= x(x+1)
分析：（启发学生一起想）先化为一般形式。
解：原方程化为（1- ）x
2-（1+ ）x=0,提取公因式x，得x[(1- )x-(1 + )]=0,x=0,(1- )x-(1- )=0.
所以 x=0,x= = = -(2+ ). 12
(二次根式运算的结果，应化为最简二次根式)
故 x=0,x= -(2+ ). 122 例2解方程：（3x+2）-8(3x+2)+=0.
2分析：（启发学生一起想）不宜把（3x+2）和8（3x+2）展开整理为一元二次方程一般形式。
观察题目的结构可见，把3x+2换元为t，则原方程就是t的一元二次方程。
2解：设3x+2=t，原方程变为t-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t=3，t=3,t=5.即3x+2=3或3x+2=5.112故x1= , x=1. 2
= 1
,x=1. 22注：本题也可直接写为[（3x+2）-3][(3x+2)-5]=0,即（3x-1）(3x-3)=0,故x例3 解方程：144x=61-208x.
222解：原方程化为144x+208x-61=0,由a=144,b=208,c=-61.b2-4ac=208-4×144（-61）=208+4
×144×61。
（此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧，分解因数，提取公因数，化为连乘积）
22222b2-4ac=(16×13)2+2×4×9×61=8(4×169+9×61)=8×1225=(8×35)＞0，原方程有实根。
X= = ,所以x= ，x=- . 1222例4 解方程：2（x+1）+3(x+1)(x-2)-2(x-2)=0.
分析：如果把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太繁。观察题目结构，可换
元。
解：设x+1=m,x-2=n,原方程变形为2m+3mn-2n=0,左边因式分解为（2m-n）(m+2n)=0,2m-n=022
或m+2n=0,即2（x+1）-(x-2)=0或（x+1）+2(x-2)=0,所以x=-4,x（x+2）(x+3)(x-4)(x-5)-44=0=1. 1另解：也可直接写为
[2（x+1）-(x-2)][(x+1)+2(x-2)]=0,
2x+2-x+2=0或x+1+2x-4=0,
故 x1=-4,x2=1.
例5 解方程：（x+2）(x+3)(x-4)(x-5)=44.
分析：从例4的解题过程，我们再一次体会到，解方程的基本思想之一是“降次”。例如把
一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程。
本题是一元四次方程，我们试试能不能用因式分解法把方程（注意，必须等号一边为0）
（x+2）(x+3)(x-4)(x-5)-44=0的左边分解因式。
解：（x+2）(x+3)(x-4)(x-5)-44=0，[(x+2)(x-4)][(x+3)(x-5)]-44=0,(x22-2x-8)(x-2x-15)-44=0,
22令y=x-2x-8,原方程变为y(y-7)-44=0,即y-7y-44=0,(y-11)(y+4)=0,y-11=0或y+4=0,即
22x-2x-8-11=0或x-2x-8+4=0.
22由x-2x-19=0,得x=1?2 ；由x-2x-4=0,得x=1? . 1,23,4
所以 x=1+2 ,x=1-2 ,x=1+ ,x=1- . 1234
(三)课堂练习
21、解方程：（ -x）-(x- )( -x)=0.
22、解方程：x+ x-1=0.
1.x= ,x= . 2. X=- ? ) 12
（四）小结
1.换元、降次是解方程的重要思路。
2.计算过程应尽可能简捷、合理，尽可能避免大乘大除。 （五）作业
1.用适当方法解方程：
22（1）x+2=3x; (2)x=3x+2;
22(3)(x-1)(x+2)=70; (4)(3-x)=9-x;
22(5)(y+3)-2=0; (6)(3x-2)=2(3-x);
2(7)x+(1-3 )x+4+ =0; (8)2(x+1)(x+2)=3x(x+2);
(9)(x+7)(x-7)=2x-50; (10)(3x-1)(x+3)=1;
2x(11)(2x-3)x，1=(x+1)(x-1); (12)( )2- =2;
2(13)(x+3)=15-2(x+3); (14)( +1)x2- x+(2- )=0; 223332(15)(3-2 )x+2( -1)x-3=0.
22
2.解关于x的方程：
222222（1）abc+(a+b)x+ab=0; (2)ax-(bc+ca+ab)x+bc+bc=0.
课堂
教学设计
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说明
1、例2，例4例5都渗透了换元、降次的思想。
2、例3说明了在具体计算时，要合理计算即尽量利用数学公式、性质，使计算简捷。
1 一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．了解根的判别式的概念，2．能用判别式判别根的情况． （二）能力训练点：1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．2．进一步考察学生思维的全面性．
（三）德育渗透点：1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．2．进一步渗透转化和分类的思想方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：会用判别式判定根的情况．
2．教学难点：正确理解“当b22-4ac＜0时，方程ax＋bx＋c＝0（a?0）无实数根．”
223．教学疑点：如何理解一元二次方程ax＋bx＋c＝0在实数范围内，当b-4ac＜0时，无解．在
2高中讲复数时，会学习当b-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根． 三、教学步骤
（一）明确目标
22在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b-4ac?0时，可以求出两个实数根．那么b-4ac
22＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b-4ac＞0，b-4ac
2＝0，b-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．
（二）整体感知
22在推导一元二次方程求根公式时，得到b-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b-4ac
为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情
况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解
决许多其它问题．
在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及
分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）平方根的性质是什么？
（2）解下列方程：
?x222-3x＋2＝0；?x-2x＋1＝0；?x＋3＝0．
问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．
22．任何一个一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a?0）用配方法将
2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根． （1）当b
2（3）当b-4ac＜0时，方程没有实数根．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
2答：b-4ac．
223．?定义：把b-4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“?”表示．
2?一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a?0）．
当?＞0时，有两个不相等的实数根；
当?＝0时，有两个相等的实数根；
当?＜0时，没有实数根．
反之亦然．
注意以下几个问题：
2（1）? a?0，? 4a＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，
随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的
理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．
22（2）当b-4ac＜0，说“方程ax+bx+c=0（a?0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．
4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
22（1）2x＋3x-4＝0；（2）16y＋9＝24y；
2（3）5（x＋1）-7x＝0．
解：（1）? ?＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0， ? 原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可变形为
216y-24y＋9＝0．
? ?＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
? 原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可变形为
25x-7x+5=0．
2? ?＝（-7）-4×5×5＝49-100＜0，
? 原方程没有实数根．
学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）
2计算b-4ac的值；（3）判别根的情况．
强调两点：（1）只要能判别?值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不
必求出方程的根．
练习．不解方程，判别下列方程根的情况：
22（1）3x+4x-2=0；（2）2y+5=6y；
2（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）＋2（x-2）-8＝0；
2＋2y-8=0根的情况，由
学生板演、笔答、评价． 此判别原方程根的情况．
（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y
又? 不论k取何实数，??0，
? 原方程有两个实数根．
教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从
而确定b2-4ac的取值．
练习：不解方程，判别下列方程根的情况．
22（1）ax-ax-1＝0（a?0）；
22（3）（2m＋1）x－2mx＋1=0．
学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．
22（3）解：?＝（-2m）-4（2m＋1）×1
22＝4m-8m-4
2＝-4m-4．
2? 不论m取何值，-4m-4＜0，即?＜0． ? 方程无实数解．
由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．
（四）总结、扩展
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
22?定义：把b-4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判别式．用“?”表示
2?一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a?0）．
当?＞0时，有两个不相等的实数根；
当?＝0时，有两个相等的实数根；
当?＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
四、布置作业
教材P．29中 A1—6．
五、板书设计
12．3 一元二次方程根的判别式（一）
一、定义：„„ 三、例„„ „„ „„ 二、一元二次方程的根的情况„„ 练习：„„ （1）„„ „„ （2）„„ 四、例„„ （3）„„ „„ 六、作业参考答案
教材P．28中 A
1．原方程没有实数根；
2．原方程有两个相等的实数根；
3．原方程有两个不相等的实数根
4．原方程有两个相等的实数根；
5．原方程有两个不相等的实数根
6．原方程有两个相等的实数根．
2 一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．
（二）能力训练点：1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．2．培养学生的推理论证能力．
（三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围． 2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a?0），当?＞0时，有
两个不相等的实数根；当?=0时，有两个相等的实数根；当?＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是
本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．
三、教学步骤
（一）明确目标
2上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax+bx+c=0（a?0），
当?＞0时，有两个不相等的实数根；当?=0时，有两个相等的实数根；当?＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以
反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利
用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明． （二）整体感知
本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课
的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道
根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严
密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项． （2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？ 2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元
二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则?＞0；如果方程有两个相等的实数根，则?=0；如果方程没有实数根，则?＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定
?值的符号，‘?’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：
22例1 已知关于x的方程2x-（4k+1）x+2k-1＝0，k取什么值时 （1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（1）方程无实数根．
2-1，
222? b-4ac＝（-4k-1）-4×2×（2k-1）
解：? a＝2， b＝-4k-1，c＝2k＝8k+9．
方程有两个不相等的实数根．
方程有两个相等的实数根．
方程无实数根．
本题应先算出“?”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚． 练习1．已知关于x的方程x22＋（2t＋1）x＋（t-2）＝0． t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方
程没有实数根？
学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．
教师评价，纠正不精练的步骤．
假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？ 练习2．已知：关于x的一元二次方程：
2kx+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围． 和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k?0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到??0．由k?0且??0确定k
的取值范围．
22解：? ?＝[2（k＋1）]-4k＝8k＋4．
原方程有两个实数根．
学生板书、笔答，教师点拨、评价．
例 求证：方程（m222＋1）x-2mx＋（m＋4）＝0没有实数根． 分析：将?算出，论证?＜0即可得证．
222证明：?＝（-2m）-4（m+1）（m+4）
242＝4m-4m-20m-16
42＝-4（m＋4m＋4）
22＝-4（m＋2）．
22? 不论m为任何实数，（m＋2）＞0．
22? -4（m＋2）＜0，即?＜0．
222? （m＋1）x-2mx＋（m-4）＝0，没有实根．
本题结论论证的依据是“当?＜0，方程无实数根”，在论证?＜0时，先将?恒等变形，得
22222222，a＋2，（a＋2），-a，-（a＋2），-（a＋2），„„
从而得到判断．
到判断．一般情况都是配方后变形为：a本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨． 此种题型的步骤可归纳如下：
（1）计算?；（2）用配方法将?恒等变形；
（3）判断?的符号；（4）结论．
2练习：证明（x-1）（x-2）=k有两个不相等的实数根．
提示：将括号打开，整理成一般形式．
学生板书、笔答、评价、教师点拨．
（四）总结、扩展
1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有
关的证明．须注意以下几点：
2（1）要用b-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件． （2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知?＞0，还是要证明?＞0．
22（3）要证明??0或?＜0，需将?恒等变形为a＋2，-（a＋2）„„从而得到判断．
2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力． 四、布置作业
1．教材P．29中B1，2，3．
222．当方程x+2（a+1）x+a+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．
（2、3学有余力的学生做．）
五、板书设计
12．3 一元二次方程根的判别式（二）
一、判别式的意义：„„ 三、例1„„ 四、例2„„
2?=b-4ac „„ „„
2二、方程ax＋bx＋c＝0(a?0) （1）当?＞0，„„ 练习1„„ 练习2„„ （2）当?＝0，„„ （3）当?＜0，„„ 反之也成立． 六、作业参考答案
方程没有实数根．
B3．证明：? ?＝（2k＋1）22－4（k－1）＝4k＋5
22?0，则4k＋5＞0
? ?＞0
2当k无论取何实数，4k? 方程x+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
2．解：? 方程有实根，
2? ?＝[2（a＋1）]-4（a＋4a-5）?0
即：a?3，a的正整数解为1，2，3
22? 当a＝1，2，3时，方程x＋2（a＋1）x＋a＋4a-5＝0有实根． 3．分析：“方程”是一元一次方程，还是一元二次方程，需分情况讨论：
（2）当2m-1?0时，
? 无论m取何实数8（m-1）2?0，即??0．
? 方程有实数根
教学目标
(一)使学生更且元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么； (二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。 教学重点和难点
重点：一元二次方程的根的判别式的运用。
难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解。
教学过程设计
(一)复习
1、请同学们回想一下，我们用求根公式法想一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，
必须写出哪两步？为什么要先写这两步？
例 用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)
2x2+10x－7=0．
解：因为a=2,b=10,c= -7, ?
2b－4abc=102－4×2×(-7)=156＞0， ?
2．为什么在把系数代入求根公式前，要先写?式、?式这两步？ 答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下a,b,c的取值，这是要先写?式的原因；
2因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b-4ac的值，如果2b-4ac的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写?式的
原因。
(二)新课
221．从上面的解释可见，在一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)中，代数b-4ac起着重要的作用，
22-4ac(注意不是?=) b,4ac我们把它叫做根的判别式，通常用记号?表示，即
2．教师紧接着提问学生：提的判别根的什么？ ?=b3．把课本P27黑体字(实际上就是定理)用三个定理来表示(我们通常把记号AB表示为A,是命题的条件，B是命题的结论)于是有：
2定理1 ax+bx+c=0(a?0)中，?＞0方程有两个不等实数根 ,
2定理2 ax,+bx+c=0(a?0)中，?=0方程有两个相等实数根
2定理3 ax+bx+c=0(a?0)中，?＜0方程没有实数根 ,
注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，我信平炉处到三个定理，那就是
2定理4 ax,+bx+c=0(a?0)中，方程有两个不等实数根?＞0
2定理5 ax,+bx+c=0(a?0)中，方程有两个相等实数根?=0
2定理6 ax,+bx+c=0(a?0)中，方程没有实数根?＜0
显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理，定理3与定理6，互为逆定理。
定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。
定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字
母的值。
运用根的判别式解题举例
例1 不解方程，判别下列方程根的情况。
(1)2x222+3x-4=0； (2)16y+9=24y； (3)5(x+1)-7x=0
2解：(1)因为?=3-4×2(-4)=9+32>0；所以原方程有两个不相等的实数根。 (注意：?老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式。?只要知道?>0，?=0，?<0就可以了，所以课本没有算出9+32=41)
22(2)原方程变形为16y-24y+9=0，因为?=(-24)-4×16×9=576-576=0，所以原方程有两个相等实数根。
22(3)原方程变形为5x-7x+5=0,因为?=(-7)-4×5×5=49-100<0,所以原方程没有实数根。
22例2 已知方程2x+(k-9)x+(k+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的根。
2222解：因为方程有两个相等实数根，所以?=0，即(k-9)-8(k+3k+4)=0,k-18k+81-8k-24k-32=0,
2化简，得k+6k-7=0,(k+7)(k-1)=0．
所以k=-7,k=1． 12当k=-7时，原方程为２x-16x+32=0,得x=x=4； 12
2当k=1时，原方程为２x-8x+8=0,得x=x=2． 34
(问：本题的算理是什么？答：是定理5)
22例3 若关于x的方程x+2(a+1)x+(a+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值。 分析：要注意两个条件：?有实数根，?a是正整数。
22解：由方程有实根,??0，得[2(a+1)]-4×1×(a+4a-5)?0，不等式两边同除以正数4，
22不等号的方向不变，得a+2a+1-a-4a+5?0,-2a+6?0,所以a?3
因为a是正整数，所以a=1,2,3
(注意：本题的算理是根据定理4，5，而不是定理1，2)
(三)课堂练习
1．关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是-1a2
-1且k?0； 2．无实数根) 2．当
(四)小结
1．根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，是
两个相等实根，还是不相等实根。
2．运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a,b,c的值．
3．在解题时，应明确何时用定理1，2，3何时用定理4，5，6．
(五)作业
1．下列方程中，有两个相等实数根的方程是
[ ]
(A)7x22-x-1=0 (B)9x=4(3x-1)
3222(C)x+7x+15=0 (D)x-x+1=0 22
223．若方程(k-1)x-6(3k-1)x+72=0 有两个不同的正整数根，则整数k的值是( )。
22224．若a,b,c互不相等，则方程(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0[ ]
(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)没有实数根 (D)根的情况不确定
5．不解方程，判别下列方程的根的情况：
322(1)2x+4x+35=0； (2)4m(m-1)+1=0； (3)0．2x-5=x； 2
11222(4)4(y352+0．09)=2．4y； (5) x-=x； (6)2t=(t+) 25226．已知关于x的方程x+(2m+1)x+(m-2)=0． m取什么值时，
(1)方程有两个砂相等的实数根？(2)方程有两个相等的实数根？(3)方程没有实数根？
27．K取什么值时，方程4x-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。
28．求证：关于x的方程x+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根。 作业的答案或提示
22224．(C)因为?=4(a+b+c)-12(a+b+c)
222222=4(-2a-2b-2c+2sb+2ac+2bc)=-4[(a-b)+(b-c)+(c-a)]<0．
25．(1) ?=4-4×2×35<0，原方程没有实数根；
222(2)4m-4m+1=0, ?=(-4m)-16m=0,原方程有两个相等的实数根；
2(3)0．4x-3x-10=0,?=9-4×0．4×(-10)>0,原方程有两个不相等的实数根；
22(4)4y-2．4y+0．36=0, ?=(-2．4)-4×4×0．36=0，原方程有两个等的实数根；
22(5)x3232-2x-2=0, ?=(-2)-4×(-2)>0,原方程有两个不相等的实数根；
2(6)55555t-10t+=0, ?=100-4×5×=0,原方程有两个相等实数根；
226．?=(2m+1)-4(m-2)=5(4m-3)
3时，原方程有两个不相等的实数根； 4
33(1)当4m-3>0,即m>(2)当m=时，原方程有两个相等的实数根；(3)当m<时，原方程没有实数根。 44227．令?=(k+2)-4×4(k-1)=0,k-12k+20=0,k=2,k=10． 12
12当k=2时，原方程为4x-4x+1=0,x=x=； 122
32当k=10时，原方程为4x-12x+9=0,x=x=． 122228．因为?=(2k+1)2-4(k-1)=4k+4k+1-4k+4=4k+5>0,所以原方程有两个不相等的实数根．
课堂教学设计说明
1．为了很自然地引入新课的课题，在本节课开始请学生回忆上节课用求根公式法解一元二
2次方程的书写步骤，特别要问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b-4ac的值。
2由此引入b-4ac的名称和作用。
222．在新课中，提出一元二次方程ac+bx+c=0(a?0)中的b-4ac叫做根的判别式后，提醒学
2生要注意两点：(1)根的判别式不是；(2)判别根的什么性质。 b,4ac
3．教学设计中，把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件与
结论划分得明确，使学生易于接受及记忆。
4．上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判定方程根的情况，为
此教学设计中，安排了例1；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的值
或求字母间的关系式，为此教学设计中，安排了例2，例3。为了强化这两类问题的功能，在题目安排中，并提问了解题所依据的算理是什么。
教学目标
(一)使学生既会由根的判别式的值断定方程的根的情况；又会由已知根的情况，找出系
数中某些字母的取值范围；
(二)使学生会运用根的判别式，作出推理证明；
(三)培养学生计算能力与严密的推理能力．
教学重点和难点
重点：运用根的判别式求系数中字母的值或证明某个结论．
难点：解较为复杂的方程、不等式或证明题．
教学过程设计
(一)复习
通过填下面的表格，复习根的判别式性质：
(二)新课
2 例1 讨论下面的关于x的方程的根的情况 ＋2mx＋(m－2)＝0． (m－1)x 分析：因为二次项系数是m－1，有可能为零，所以要分类讨论．
解：若m?1时，原方程是一元二次方程，
2?＝(2m)－4(m－1)(m－2)＝4(3m－2)．
例2 已知两个关于x的方程
mx2－2(m＋2)x＋(m＋5)＝0， ?
2 (m－5)x－2(m＋2)x＋m＝0． ?
求：使方程?没有实数根且方程?有两个不相等的实数根的m的取值范围．
分析：这两个方程的二次项系数都是含有字母的，那么是不是都要对二次项系数分类讨
论呢？
请仔细审题，如果方程?中m＝0，则方程?为－4x＋5＝0，是有实数根的，所以必是m?0．所以方程?是一元二次方程
应有 ?＝[－2(m＋2)] 2－4m(m＋5)＝－4(m－4)＜0， ?
又条件之二是“方程?有两个不相等的实数根”，所以?必是二次方程，应有
?＝[－2(m＋2)]2－4(m－5)m＝4(9m＋4)＞0， ?
并且还须加上一个条件m－5?0． ?
解：由分析，应列出条件组：
答：m＞4且m?5．(注意提醒学生要写出m?5)
222222x＋(b＋c－a)x＋c＝0没有实数根 例3 a，b，c是三角形的三条边，
分析：此题需证出?＜0．已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a＞0，b＞0， 求证：关于x的方程b
c＞0．还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”．
222222 证明：因为?＝(b＋c－a)－4bc
222222 ＝[(b＋c－a)＋2bc][(b＋c－a)－2bc]
2222 ＝[(b＋c)－a][(b－c)－a]
＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)．
(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)
因为b＋c＞a，即b＋c－a＞0，
同理b－c＋a＞0，又c＋a＞b，即b－c－a＜0．
又a＋b＋c＞0，所以?＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＜0．
所以，原方程没有实数根．
(三)课堂练习
1．已知m，n是实数，且方程x2+mx-n＝0没有实数根，求证：m+n＜1．
22 2．已知m，n是实数，且m＋n＜0，求证：方程x＋mx－n＝0没有实数根．
答案或提示
2．由m22＋n＜0，得n＜－m?0．即n＜0．
222 因为方程x＋mx－n＝0的根的判别式?＝m＋4n＝(m＋n)＋3n．
222 已知m＋n＜0，又n＜0，得3n＜0，所以(m＋n)＋3n＜0．即?＝m＋4n＜0．故方程2x＋mx－n＝0没有实数根．
(四)小结
2 1．只有当方程是一元二次方程时，才有根的判别式b－4ac．所以使用根的判别式时应注意二次项系数不为零这个条件．
2．应分清题目的条件和结论，解题时所用算理是复习提问所填表格中的哪一个．
3．综合题要求推理严密(例3)，且要求解方程、解不等式、解不等式组能力较强．这是
同学们应该不断努力提高的．
2－2(k－3)x＋k＝0[ ]．
(五)作业 (A)没有实数根 (B)有两个相等的实数根 1．对于k＜9的一切实数，关于x的方程(k－5)x (C)有两个不相等的实数根 (D)不能肯定实数根的个数
2 2．已知a，b，c是?ABC的三条边长，且方程(c－b)x＋2(b－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形是 [ ]．
(A)等边三角形 (B)等腰三角形
(C)不等边三角形 (D)直角三角形
3．不解方程，判断下面方程的根的情况：
22x－(a＋b)x＋(ab－c)＝0(a，b，c是实数)．
2 4．已知方程3x＋2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ac＝0有两个相等的实数根，其中a，b，c是一个三角形的三条边，求证：这个三角形是等边三角形．
22 5．m为何值时，关于x的方程(m－1)x＋2(m＋1)x＋1＝0有实数根．
作业的答案或提示
2 1．在k?5的前提下，?＝4(k－3)－4k(k－5)＝4(9－k)，当k＜9且
2 2．选(B)，因为由已知?＝0，即?＝4(b－a)－4(c－b)(a－b)＝0，4(b－a)(b－a＋c－b)＝0，(b－a)(c－a)＝0，故a＝b或a＝c．
2222222 3．?＝(a＋b)－4(ab－c)＝a＋2ab＋b－4ab＋4c＝(a－b)＋4c．(1)当a＝b，c＝0时，原方程有两个相等实根；(2)当a?b或a＝b且c?0时，有两个不等实根．
222 4．(a－b)＋(b－c)＋(c－a)＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0．所以a＝b＝c．
课堂教学设计说明
1．通过填表格，强调了“条件”和“结论”．要使学生明确地知道在解题时运用的是这
六个命题中的哪一个．
2．例1、例2的二次项系数都是含有字母m(即参数)的式子．只当二次项系数值不是零
时，才是二次方程(这个条件不能忽略)．例2中的m需要同时满足几个条件，在找这些条件
的公共解时，在数轴上数形结合来找较为直观，应培养学生这种方法．见图．
3．例3需要用到三角形的三边关系、因式分解等知识，是培养严密推理，综合运用各
种知识的题目．
1 一、素质教育目标
（一）知识教学点：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． （二）能力训练点：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． （三）德育渗透点：1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数
的关系．
三、教学步骤 2-5x+6=0的两个根是x=2，x=3，可以发现x＋x=5恰是方程一次项系数-51212（一）明确目标 的相反数，xx＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这12一元二次方程x就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与
方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系． （二）整体感知
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次
方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这
部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进
一步学习方程理论打下基础．
本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去
推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律
是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问
（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程?x22-5x＋6＝0，?2x＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这
样的规律吗？
2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．
2设x、x是方程ax+bx+c=0（a?0）的两个根． 12
以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导． 由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）
2+bx+c=0（a?0）的两个根是x，x，那么x 121 结论1．如果ax
2我们就可把它写成x+px+q=0
2结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x，x，那么x＋x＝-p，x?x=q． 121212结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． 练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
22（1）x-2x＋1＝0； （2）x-9x＋10＝0；
22（3）2x-9x＋5＝0；（4）4x-7x＋1＝0；
22（5）2x-5x＝0； （6）x-1＝0
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．
3．一元二次方程根与系数关系的应用．
（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．
验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项
（2）已知方程一根，求另一根．
例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．
此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生
展现下列方法，并且作比较．
方法（二）? 2是方程5x2+kx-6=0的根，
2? 5×2＋k×2-6＝0，? k＝-7．
2? 原方程可变为5x-7x-6=0
学生进行比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．
练习：教材P．34中2．
学习笔答、板书，评价，体会．
（四）总结、扩展
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与
积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，
为进一步使用打下基础．
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡
积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．
四、布置作业
1．教材P．35中A1．2．推导一元二次方程根与系数关系． 五、板书设计
12．4 一元二次方程根与系数的关系（一）
一元二次方程根与系数关系 关系的推导 应用（1）验根 （1）„„ „„ （2）已知一根， （2）„„ „„ 求另一根 六、作业
2
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；2．灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
（二）能力训练点：提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力． （三）德育渗透点：知识来源于实际，最后应用于实际． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用．
2．教学难点：某些代数式的变形．
3．教学疑点：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系
数关系给解决数学问题带来的方便．
三、教学步骤
（一）明确目标
一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅
在验根，已知一根求另一根及待定系数k的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的应用，
本节课将学习如下两个问题中的应用：（1）不解方程，求某些代数式的值；（2）已知两个数，求作以这两个数为根的新的一元二次方程．
（二）整体感知
本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，
求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，
大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，
已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问
题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅
能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂
的数学问题的能力．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）一元二次方程根与系数的关系及应用．
2．本节课继续学习它的应用
（1）不解方程，求某些代数式的值． 2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 例：不解方程，求方程2x分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求
22不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x、x，则两个根的平方和便可表示为x+x，1212
如果将此代数式用x+x，xx表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决． 1212
解： 设方程的两个根是x，x，那么 12
222（1）? （x+x）=x+2xx+x． 121122
教师板书，引导，学生回答，体会．
启发学生，总结以下两点：
1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x+x12
和xx表示的代数式． 12
2．格式、步骤要求规范
第一步：求出x+x，xx的值． 1212
第二步：将所求代数式用x+x，xx的代数式表示． 1212
第三步：将x+x，xx的值代入求值． 12122练习：设x，x是方程2x+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 1222（1）（x+1）（x+1）；（2）xx+xx； 121212
233（4）（x-x）；（5）x+x． 1212
学生板书、笔答、评价．
（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
2如果方程x+px+q=0的两个根是x，x，那么x+x=-p，xx=q， 121212? p=-（x+x），q=xx． 12122? x-（x+x）x+xx=0． 12122由此得到结论：以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x（-x+x）x+xx=0． 121212
解：所求方程是
教师引导、板书，学生回答．
练习：教材P.34中4．
学生笔答、板书、评价．
例 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
，x，则12分析：此题可以通过列方程求得． 2x+x=8，xx=9．又?方程x-（x+x）x+xx=0的两个根为x，x．所以这两个数x、x121212121212但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x2是方程x-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．
2解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x-8x+9=0的两个根． 解这个方程，得
教师板书，学生回答，评价，体会．
以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元
2二次方程x+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），
后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．
练习：教材P.34中5．
学生板书、笔答、体会、评价，教师引导．
通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关
系较好地熟悉并掌握起来．
（四）总结、扩展
1．本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程„„ 2．通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养
了学生逻辑思维能力．
四、布置作业
教材P.35中A2、3、4；B1．
教材P.34中B2（学有余力的同学做）．
五、板书设计
12.4 一元二次方程根与系数关系（二）
应用1．验根 例：„„ 例：„„ 2．已知一根，求另一根． 解：„„ 解：„„ 3．求某些代数式值． 4．求作一个新方程． 六、作业
教材P.35中 A2
3
一、教学目的
1．复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理．
2．学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”．
3．通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力．
二、教学重点、难点
重点：已知方程求关于根的代数式的值．
难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．
三、教学过程
复习提问
1．一元二次方程根与系数关系的定理是什么？
2．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？
(1)x22－3x－18＝0；(2)x＋5x＋4＝5；
22 (3)3x＋7x＋2＝0；(4)2x＋3x＝0．
引入新课
考虑下列两个问题；
2 1．方程5x＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？
解：依题意，得x＝－x． 12
?k＝－5(x＋x)＝0． 122 2．方程2x＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？
解：依题意，设x＝0，则 1
k＝2x?x＝0． 12
我们可以从这两题中看出，根与系数之间的运算是十分巧妙的．本课我们将深入探讨这
一问题．
新课
2 例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．
以便将根与系数的关系代入．
在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x2＋px＋q＝0中的p，q的值．
例4 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：
(1)运用定理构造方程；
(2)解方程求两根；
(3)得出所欲求的两个数．
小结
本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法：(1)已知方程求两根的各种代数式的值；(2)已知两根的代数式的值，构造新方程；(3)已知两根的和与积，构造方程，解方程，
求出与根对应的数．
练习：略． 2＋kx＋21＝0的两个根的平方和是58，求k的值． 作业：略．
(答案：k＝10或－10．) 补例 已知方程x
四、教学注意问题
在教学过程中，要突出讲代数式变形的灵活性．要强调使用韦达定理时的符号问题．
4
教学目标 (韦达定理和它的逆定理)
(一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根
据；
(二)使学生会运用根与系数关系解题．
教学重点和难点
重点：根与系数关系的推导．
难点：根与系数关系的运用．
教学过程设计
(一)引言
我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a?0)的各项系数a，b，c
2决定的．我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b－4ac决定．今天我们来研究方程的两根之和及两根之积与a，b，c有什么关系？先填表，归纳出规律，然后给予严
密的证明．
(二)新课
从表格中找出两根之和x＋x与两根之积x?x和a，b，c的关系： 1212
＋x，xx的值与一次项系数及常数项的1212
关系．(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项) 1．先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x
2．再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x＋x，xx的值与系数的关系．(在把1212方程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律)
2 3．猜想ax＋bx＋c＝0(a?0)的x＋x，xx与a，b，c的关系(引导学1212
4．怎样证明上面的结论．启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证
明就可以了．
2 证明：设ax＋bx＋c＝0(a?0)的两根为x，x， 12
5．读课文相关的黑体字，要求把这段黑体字(实际上就是定理)读出来，以强化印象．
6．为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方
程”．
读课本相关的黑体字．
如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x，x，那么x＋x＝－p，xx＝q． 121212
教师必须要求学生能用语言表达上述定理．
“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”．(这个定理又叫做韦达定理)
7．再要求读课本(也要求学生用语言表达此定理)．
“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之
积”．(这是韦达定理的逆定理)
例题讲解
例1 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
另解：因为2是原方程的根，所以5(2)2＋k×2－6＝0，2k＝－14，k＝
2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．
例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和
与两根之积．如果我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把
方程的系数代入，算出结果了．
分析：先让学生用语言表达P31倒数第3行～第1行的黑体字：
“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之
积”．
例4 已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数．
分析：我们可以用多种方法来解决这个问题．
解法1：设两个数中的一个为x，因为两数之和为8，所以另一个数为8－x．
再根据“两数之积为9”，可列出方程x(8－x)＝9．
们将在课本P61学到．
解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个简化二次方程．x
－8x＋29＝0．这就是方法1得到的方程．
(三)课堂练习
2 1．已知方程x－12x＋m＝0的一个根是另一个根的2倍，则m＝______．
2 2．已知关于x的一元二次方程(k－1)x－(k＋1)x＋1＝0的两根互为倒数，则k的取值2
是 [ ]．
2＋3x＋k＝0的两根之差为5，则k＝_______． (四)小结
3．已知方程x 1．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式．
2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实数的条件，即在初中
代数里，当且仅当b－4ac?0时，才能应用根与系数关系． 2
3．已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号．
(五)作业
2 1．设方程3x－5x＋q＝0的两根为x和x，且6x＋x＝0，那么q的值等于 [ ]． 1212
2．若关于x的方程3(x－1)(x－2m)＝x(m－12)的两根之和等于两根之积，则此方程的
两根为 [ ]．
2 3．已知关于x的二次方程x＋2px＋2q＝0有实数根，其中p，q都是奇数，那么它的根 [ ]．
(A)一定都是奇数 (B)一定都是偶数
(C)有可能是真分数 (D)有可能是无理数
4．(1)如果－5是方程5x＋bx－10＝0的一个根，求方程的另一个根及b的值． 2
2 5．设x，x是方程2x＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： 12
7．已知两个数的和等于－6，积等于2，求这两个数．
作业的答案或提示
3．选(B)．因为方程有实根，所以?＝4p22－8q?0得p?2q，又x＋x＝－2p，xx＝1212
，x都是奇数，则乘积xx也是奇数，与xx＝2q矛盾．故(A)不成立．若x，x12121212都是真分数，则乘积xx也是真分数，与xx＝2q矛盾，故(C)不成立．若xx有一个是无121212
2q．若x理数，则乘积xx为无理数，与xx＝2q矛盾；若x，x两个都是无理数，则其和x＋x12121212为无理数或0，与x＋x＝－2p矛盾，所以(D)不成立 12
4．(1)解法1：把－5代入原方程的x处，得125－5b－10=0，b=23，由
6．(1)x22－(4－7)x＋4(－7)＝0，即x＋3x－28＝0；
课堂教学设计说明
1．观察、归纳、证明是研究事物的科学方法．此节课在研究方程的根与系数关系时，
先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系
数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a?0)的根与系数关系，最后
对此猜想的正确性作出证明．这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值．
2．教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方
便些．教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同
功能．韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出此方程的两根之和的值
及两根之积的值．而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程．
教学目标
(一)使学生更深刻的体会根与系数的关系的意义；
(二)培养学生解综合题的分析问题与解决问题的能力．
教学重点和难点
重点：运用根与系数关系解综合题．
难点：分析问题的能力．
教学过程设计 2＋5x－7＝0，填空并说出理由： (一)新课 (1)这个方程有没有实根？_______ 例1 已知方程3x (2)这个方程两根同号还是异号？________
(3)这个方程的绝对值较大的根是正的还是负的？________
答案提示：(1)因为?＞0，所以有两个不相等的实根；(2)因为在简化二次方程
例2 一元二次方程的两根之和为正值且两根之积也是正值，那么这两个根是不是都是
正的？
答：这两个根不一定是正的，例如方程x22－x＋1＝0，两根之和x1＋x＝1＞0，两根之
22积x1x＝1＞0，但是?＝(－1)－4＝－3＜0，原方程没有实数根，而正数、负数都是实数，
所以原方程不可能有正根．
由两根之和求出k值．
例4 α，β是方程x2－3x－5＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值：
分析：如果一个含有字母α，β的式子，把α处换为β，把β处换为α，其结果与原式相同，那么这个式子叫做关于α，β两个字母的对称式．式子α＋β与αβ是最基本的对称式，较为复杂的对称式都可转化为用基本对称式来表示的形式．而基本对称式与方程的系数
有关．所以，关于两根的对称式，可以用方程系数来代入后、算出．
解：α＋β＝3，αβ＝－5．
3322＋β＝(α＋β)(α－αβ＋β)
2 ＝(α＋β)[(α＋β)－3αβ] (2)α2 ＝3[3－3(－5)＝72；
4422222 (3)α＋β＝(α＋β)－2αβ
222 ＝[(α＋β)－2αβ]－2(αβ)
222 ＝[3－2(－5)]－2(－5)
2 ＝19－50
＝311．
2 例5 已知方程2x＋4x－3＝0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根是已
知方程两根之和的倒数，另一个根是已知方程两根差的平方．
分析：应先求出已知方程的两根之和的倒数及已知方程两根差的平方，然后再用已知两
根写出方程的方法，写出所求方程．
(二)课堂练习
1．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根，一个负根，且正根的绝对值小于负根的绝对值，那么 [ ]．
(A)a，b同号，且a，c同号
(B)a，b同号，且a，c异号
(C)a，b异号，且a，c同号
(D)a，b异号，且a，c异号
22 2．已知a，b，c，d都不是零，且a，b是方程x＋cx＋d＝0的解，c，d是方程x＋ax
＋b＝0的解，则a＋b＋c＋d的值为________．
答案或提示：
22 1．设方程两根为x1,x．已知x1,x一正一负，且负根绝对值大．因为x1+x2
2．由题意
由?得a＋b＋c＝0． ?
?＋?得
a＋b＋c＋d＝－a－c． ?
由?代入?，左边＝0＋d，右边＝b，所以d＝b，代入?得ab＝b．又b?0，所以a＝1．把
b＝d代入?，得c＝1．所以a＋b＋c＋d＝－a－c＝－1－1＝－2．
(三)小结
一元二次方程根与系数关系有很广泛的用途．目前，可解决以下几类问题
1．已知二次方程的一个根，可求另一个根．
2．已知两根，可写出这个二次方程．
3．求已知二次方程的根的对称式．
4．与根的判别式结合起来，可不解方程判断两根的性质和正负号．
在运用韦达定理时，应先化为简化二次方程，并牢记两根之和是一次项系数的相反数而
不是一次项系数本身．
2 (四)作业 －ax＋2b＝0中，两根的和为4，两根之积为－3，那么a，b的值是 [ ]．
1．方程2x (A)a＝8，b＝－6 (B)a＝4，b＝－3
(C)a＝3，b＝8 (D)a＝8，b＝－3
[ ]．
(A)2或－4 (B)－2或4
3．已知方程x22＋2(m－2)x＋m＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方之和比两根之积
大21．求m的值．
2 4．m为何值时，方程2x＋3x－m＝0
(1)有一个根为零；(2)两个实根互为倒数；
(3)有两个负实数根．
作业的答案或提示
课堂教学设计说明
1．在根与系数关系的问题中，常见的错误之一是：两根之和为正数且两根之积为正数
时这两根必是正数．(缺少了??0这一条件)，为此教学设计中编排了例2．
2．在根与系数关系的习题中，求两根的对称式的值的题目占很大比重．为此安排了例22与x1x来表示，这个结论对解题指出4特别是指明了根的对称式都可用基本对称式x1＋x
了明晰的思路．
一、素质教育目标
（－）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题． （二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力． （三）德育渗透点：通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题
的优越性．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题． 2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系．
3．教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解． 三、教学步骤
（一）明确目标
初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，
从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，
这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用——有关数字方面的问题． （二）整体感知：
本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）
解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能
用算术方法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性与必
要性．
从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题
类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答
案．列出一元二次方程解应用问题，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大
量问题存在；其数量关系也比可以用一元一次方程解决的问题复杂的多．
通过本节课的学习，渗透设未知数、列方程的代数方法，领略知识从实践中来到实践中去．
例1是已知两个连续奇数求这两个数的问题，讲清这个问题的关键是搞清楚“两连续奇数”
的意义，能用代数式分别表示出两个连续奇数，问题就可以解决，启发学生用不同的方法去
解，并加以对比，从而开拓思路．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程 1．复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
?审题，?设未知数，?列方程，?解方程，?答． （2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；„„（n表示整数）．
2．例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数．
．设 分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）
较小的奇数为x，则另一奇数为x+2，设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1；设
较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1．
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种
方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法．
解法（一）
设较小奇数为x，另一个为x+2，
据题意，得x（x+2）=323．
2整理后，得x+2x-323=0．
解这个方程，得x=17，x=-19． 12
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17， 答：这两个奇数是17，19或者-19，-17． 解法（二）
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1． 据题意，得（x-1）（x+1）=323．
2整理后，得x=324．
解这个方程，得x=18，x=-18． 12
当x=18时，18-1=17，18+1=19．
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17．
答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17． 解法（三）
设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1． 据题意，得（2x-1）（2x+1）=323．
2整理后，得4x= 324．
解得，2x=18，或2x=-18．
当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19．
当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：两个奇数分别为17，19；-19，-17．
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数．3．选出三种方法中最简单的一种．
练习
1．两个连续整数的积是210，求这两个数．
2．三个连续奇数的和是321，求这三个数．
3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数．
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法．例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数． 分析：数与数字的关系是：
两位数=十位数字×10+个位数字．
三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字．
解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x． 2-17x+20=0， 据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
整理，得3x
当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24．
答：这个两位数是24．
以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价． 注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验．
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．（35，53）
2．一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积
为976，求这个两位数．
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会．
（四）总结，扩展
1．列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基
础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为
正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验． 2．奇数的表示方法为 2n+1，2n-1，„„（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），
连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数．
数与数字的关系
两位数=（十位数字×10）+个位数字．
三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字． „„
3．通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，
深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．
四、布置作业
教材P.43中A1、2、3．
五、板书设计
12.6 一元二次方程的应用
奇数、偶数的代数式表示： 例1„„ 例2„„ 2n+1，2n-1，„（n为整数） 解：略 解：略 2n（n为整数） 数与数字的关系 两位数：„„ 练习„ 练习„ 三位数：„„ 六、作业参考答案
教材P.43中 A1
解：设一个数为x，另一个数为x+6，由题意，得x（x+6）=16． 2+6x-16=0， 整理，得x
（x+8）（x-2）=0，
解得x=-8，x=2． 12
? x+6=-2，x+6=8． 12
答：两个数是-2，-8或8，2．
教材P.43中A2
2解： 设个位数字是x，十位数字为：x-3，由题意可得10（x-3）+x=x，
2整理，得x-11x+30=0，
解得x=5，x=6， 12
x-3=2，x-3=3．从而两位数可以是25或36． 12
答：这个两位数是25或36．
教材P.43中A3
解：设三个连续整数分别为x-1，x，x+1，
由题意可得：x（x-1）+（x-1）（x+1）+x（x+1）=362， 整理，得3x-1=362， 2
解得x=11，x=-11， 12
x-1=10，x+1=12；x-1=-12，x+1=-10． 1122
答：各数为10，11，12或-12，-11，-10．
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能
力，培养用数学的意识．
（三）德育渗透点：进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法、渗透数形结合的思想．
1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．
2．教学难点：找等量关系．
3．教学疑点：列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此
求解后一定要检验，以确定适合题意的解．例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数
等．
（一）明确目标
初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，
从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，
这就是我们本节课要研究的一元二次方程的应用——有关面积和体积方面的实际问题．
（二）整体感知
本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）
解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能
用算术法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要
性．
从列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类
似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意，作出正确的答案．列
出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；本节
课的内容是关于面积、体积的实际问题． 通过本节课学习，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化
的思想、方程的思想及数形结合的思想． （三）重点、难点的学习和目标完成过程 1．复习提问
（1）列方程解应用题的步骤？
（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？ 2．例1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做2的无盖长方体型的纸盒？ 成底面积为77cm
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）
cm，
据题意：（19-2x）（15-2x）=77．
整理后，得x2-17x+52=0，
解得x=4，x=13． 12
? 当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去．） 答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子．
本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题．
2（1）因为要做成底面积为77cm的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含
未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．
（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形边长为13时，得
到底面的宽为-11，则不合题意，所以x=13舍去． （3）本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了一
元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此
提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识． 练习1．章节前引例．
学生笔答、板书、评价．
练习2．教材P.42中4．
学生笔答、板书、评价．
注意：全面积=各部分面积之和． 3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及剩余面积=原面积-截取面积．
宽应该各是多少（精确到0.1cm）？ 例2 要做一个容积为750cm
分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含
有未知数的等式——方程．
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm， 据题意，6x（x+5）=750，
整理后，得x2+5x-125=0．
解这个方程x=9.0，x=-14.0（不合题意，舍去）． 12
当x=9.0时，x+17=26.0，x+12=21.0． 答：可以选用宽为21cm，长为26cm的长方形铁皮． 教师引导，学生板书，笔答，评价．
（四）总结、扩展
1．有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量
的相互关系．
2．要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能
为负．
3．进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力．
教材P.43中A4、5、6、7．
教材P.43中B1．
12.6 一元二次方程的应用（二）
例1．略 例2．略
解：设„„„ 解：„„„„ „„„„ „„„„
教材P.43中A4
解：? x?（x-1）=（x+2）?3
? （x-1）（x+2）=3x（比例的基本性质） ? x
2+x-2=3x
2? x-2x-2=0
2教材P.43中 A5 =27×48
解：设27和48的比例中项为x ? x=?36
? x答：27和48的比例中项为36和-36．
（线段的比例中项为正，数字的比例中项可有正负）教材P.43中A6 解：设剩下的周围宽度为x厘米
2x-250x+7500=0
? x?35（厘米），x?215（厘米）（不合题意） 12
答：所求的宽度为35厘米
教材P.43中A7
解：设渠深为x米，上口宽为（x+2）米，渠底宽为（x+0.4）米
2x+1.2x-1.6=0
x=0.8，x=-2（不合题意） 12
（2）1.6×750?48=25
答：渠道的上口宽2.8米，渠底宽1.2米；需25天挖完． 教材 P.43中 B1
解：设鸡场的两对边之一长为x米，另一边长为（35-2x）米， 据题意得x（35-2x）=150
35-2x1=15，35-2x=20（超过18，舍去）
答：鸡场的宽为10米，长为15米．
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能
力，培养学生用数学的意识．
（三）德育渗透点：进一步使学生深刻体会转化及设未知数列方程的思想方法．
1．教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题． 2．教学难点：有关增长率之间的数量关系．
3．教学疑点：下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了．
（一）明确目标
初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，
从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，
这就是本节课要研究的一元二次方程的应用——有关增长率的应用题． （二）整体感知
本小节是一元一次方程的应用的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的
应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算
术法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性．
从列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类
似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意，作出正确的答案．列
出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；日常
生活及生产实际中经常遇到增长率，下降率及求百分率问题，列一元二次方程就可以解决这
方面的问题．
通过本节课学习，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化
的思想，方程的思想．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1．复习提问
（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
2．例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：设平均每月的增长率为x．
则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨）．
3月份的产量是[5000（1+x）+5000（1+x）x] 2（吨）． =5000（1+x）解：设平均每月的增长率为x，据题意得：
25000（1+x）=7200
2（1+x）=1.44
1+x=?1.2．
x=0.2，x=-2.2（不合题意，舍去）． 12
取x=0.2=20％．
教师引导，点拨、板书，学生回答．
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x． （2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系． （3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
练习1．教材P.42中5．
学生分析题意，板书，笔答，评价．
练习2．若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程． （1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率． （1+x）2=b（把原来的总产值看作是1．）
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．
2（a（1+x）=b）
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．
2（（1+x）=b+1把原来的总产值看作是1．）
以上学生回答，教师点拨．引导学生总结下面的规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），
2n增长两次后的产值为a（1+x） ，„„„„增长n次后的产值为S=a（1+x）．
规律的得出，使学生对此类问题能居高临下，同时培养学生的探索精神和创造能力． 例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
分析：设每次降价为x．
第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）?x
=600（1-x）2（元）． 2=384． 解：设每次降价为x，据题意得
600（1-x）
答：平均每次降价为20％．
教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结． 引导学生对比“增长”、“下降”的区别．如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）22=b（或a（1-x）=b）． （四）总结、扩展
1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培
养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
3．我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4
年„„，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方
程．
教材P.43中A8；B2．
12.6 一元二次方程应用（三）
1．数量关系： 例1 „„ 例2„„ （1）原产量+增产量=实际产量 分析：„„ 分析„„ （2）单位时间增产量=原产量×增长率 解„„ 解„„ （3）实际产量=原产量（1+增长率） 2．最后产值、基数、平均增长率、时间 的基本关系： M=m（1+x）n n为时间 M为最后产量，m为基数，x为平均增长率
教材P.43中A8
解：设平均每月增长率为x．
2据题意：50+50（1+x）+50（1+x）=175
22（1+x）+2（1+x）-5=0
舍去负值，得x?0.16＝16％．
答：每月的平均增长率为16％．
教材P.43中B2 2＝195 解：设每次降低成本的百分率为x． 1-x??0.81 据题意，得300（1-x）x?0.19＝19％，x?1.81＝181％（不合题意，舍去）． 12
答：每次降低成本的百分率为19％．
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关行程和浓度方面的问题．
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的
能力，培养学生用数学的意识．
（三）德育渗透点：更进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法．
1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关行程和浓度方面的应用题．
2．教学难点：浓度问题．
3．教学疑点：学生对浓度问题中一些量的正确理解．
（一）明确目标
初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，
从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，
这就是我们本节课要研究的一元二次方程的应用——有关行程和浓度方面的问题．
（二）整体感知
本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）
解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能
用算术法来解的．所以，讲解本节课可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要
性．
从列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类
似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，判断根是否适合题意，作出正确的答案．列
出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在．本节
课的内容是关于行程、浓度方面的实际问题． 通过本节课的学习，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，进一步
渗透转化思想，方程的思想．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程 1．复习提问
（1）路程、速度、时间三者的关系．
（2）浓度、溶液、溶剂、溶质之间关系．
以糖水为例．溶液=溶质+溶剂，即糖水=糖+水．
2．例1 A、B两地相距56千米，甲乙两辆汽车同时分别从A、B两地出发相向而行，甲车速度为每小时36千米，乙车在遇到甲车后又开30分钟才到达A地，求两车从出发到相遇所用的时间．
分析：设两车从出发到相遇的时间为x小时，设甲、乙两车在C点
x的一个方程．
解：设两车从出发到相遇所用的时间各x小时，根据题意，得
整理，得 18x2+9x-14=0．
以上引导学生分析、板书、练习，评价．
注意两个问题：
（1）这是一道行程问题中的相遇问题；有这样的等量关系，甲走的路程+乙走的路程=甲乙
之间的距离．
（2）深刻理解速度、路程、时间之间的关系．
例2 一个容器装满40升纯酒精，第一次倒出若干升后，用水注满，第二次倒出第一次倒出
量的一半的液体，已知两次共倒出纯酒精25升，问第一次倒出纯酒精多少升？ 分析：设第一次倒出纯酒精为x升．在第二次倒出以前液体的浓度
解：设第一次倒出纯酒精为x升．
2-120x+2000=0，
解得：x整理得x=100，x=20． 12
x=100不合题意，舍去，取x=20．
答：第一次倒出纯酒精为20升．
以上教师引导学生分析板书、笔答、评价．
注意在浓度方面的问题中，要紧紧抓住浓度、溶液、溶质、溶剂几个量之间的关系． （四）总结、扩展
1．在行程问题中，要紧紧抓住路程、速度、时间三个量的关系： 路程=速度×时间．
在浓度方面的问题中，要紧紧抓住浓度、溶液、溶剂、溶质这四个量的关系：
2．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．由
此培养学生用数学的意识，渗透转化与方程的思想方法． 3．仍然要据方程的特点，注意巧算；据实际题意，注意方程两根的取舍．
1．教材P.77中A21．
2．列方程解应用题
?甲、乙两人绕城而行，甲绕城一周需要3小时．现在两人同时同地背向出发，乙自遇到甲
后再走4小时才能到达原出发点，求乙绕城一周所需要的时间．?某人存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出
2750元，求得利率．
12.6 一元二次方程的应用（四）
1．行程问题 例1„„„ 例2„„„„
„„ „„
分析„„ 分析„„„
解：„„ 解：„„ 2．浓度问题 溶液=溶剂+溶质
1．教材P.77中 A21
解：设每次倒出液体x升，则第一次倒出一部分后剩下的纯药液为
x=21， x=105（舍去）
答：每次倒出液体为21升．
2．?解：设甲乙两人相遇的时间为x小时，
整理，得 x2+4x-12=0．
解得：x=2，x=-6（不合题意舍去）． 12
答：乙绕城一周所用的时间为6小时． ?分析：这是日常生活中经常遇到的实际问题，也是适应现代商品经济所必须具备的数学知
识，为正确计算出年利率，现列表进行分析． 设年利率为x，则有
解：设年利率为x．
根据题意，得
（2000+5000x）+（2000+5000x）x=2750． 整理，得 20x2+28x-3=0．
答：年利率为10％．
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式
分解与解一元二次方程的关系．2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实
数范围内将二次三项式分解因式．
（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力．
（三）德育渗透点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的教育，进一步渗透
认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解． 2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．
3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件． 三、教学步骤 2+8x-1因式分解．在学习了一（一）明确目标 元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项2都可以求出．那么一元二次方程ax+bx+c=0（a?0）的两个根与二次三项式式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2ax+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和
探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法． （二）整体感知
2一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0（a?0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，
我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式
22ax+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax+bx+c=0的两个根x，x，然后写122成ax+bx+c=a（x-x）（x-x）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，12
对学生进行辩证唯物主义思想教育．
2公式ax+bx+c=a（x-x）（x-x）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程122根与系数的关系为公式ax+bx+c=a（x-x）（x-x）的得出奠定了基础．通过因式12
分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的
兴趣，提高他们研究问题的能力．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．
?x2222-2x+1；?x-5x+6；?6x+x-2；?4x+8x-1．
由?感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．
2．?引入：观察上式?，?，?方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式
分解之关系．
2?x-2x+1=0；
解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．
? x=x=1， 122?x-5x+6=0；
解原方程可变为
（x-2）（x-3）=0
? x=2，x=3． 122?6x+x-2=0
解：原方程可变为 22-3x+2=0的两个根，而x-3x+2=（x-1）（2x-1）（3x+2）=0．
（x-2），„„所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三
项式． ?推导出公式 观察以上各例，可以看出，1，2是方程x
=a（x-x
）（x-x）． 122这就是说，在分解二次三项式ax+bx+c的因式时，可先用公式求出方程
2ax+bx+c=0的两个根x，x，然后写成 122ax+bx+c=a（x-x）（x-x）． 12
教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数
的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由
一般到特殊．
?公式的应用
例1 把4x2+8x-1分解因式
2解：? 方程4x+8x-1=0的根是
教师板书，学生回答．
由?到?是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简?．
练习：将下列各式在实数范围因式分解． （1）x
22+20x+96；（2）x-5x+3
学生板书、笔答，评价．
2解2 用两种方程把4x-5分解因式．
2方法二，解：? 4x-5=0，
222 -8x+1；（2）27x-4x-8；（3）25x+20x+1；
22方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法． （4）2x-6x+4；（5）2x-5x-3．
练习：将下列各式因式分解． 学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点： （1）4x2（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x-6x-4=0，
2可变形为x-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为2x-2x-4．
（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-
2（3）一元二次方程ax+bx+c=0（a?0）当??0时，方程有两个实根．当?＜0
2时，方程无实根．这就决定了：当b-4ac?0时，二次三项式ax+bx+c在实数范12围内可以分解；当b-4ac＜0时，二次三项式ax+bx+c在实数范围内不可以分解． 2
（四）总结与扩展
22（1）用公式法将二次三项式ax+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax+bx+c=0
2（a?0）的两个根，再将ax+bx+c写成a（x-x）（x-x）形式． 12222（2）二次三项式ax+bx+c因式分解的条件是：当b-4ac?0，二次三项式ax+bx+c
2在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax+bx+c在实数范围内不可以分解．
（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，
激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般
规律．
四、布置作业
教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．
五、板书设计
12.5 二次三项式的因式分解（一）
结论：在分解二次三项式 例1．把4x2+8x-1分解因式 2ax+bx+c的因式时 解：„„„
可先用公式求出方程： „„
2ax+bx+c=0的两个根
x，x，然后写成 练习：„„„ 122ax+bx+c=a（x-x）（x-x） 12
六、作业参考答案
教材 P.38中A1
（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）； （3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）； （5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）； （7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）； A2
教学目标
(一)使学生深刻领会在实数范围内利用一元二次方程的求根公式分解二次
2三项式的公式：2x+bx+c=a(x-x)(x-x)(a?0)的意义； 12
(二)会运用此公式解较复杂的题目．
教学重点和难点
重点：进一步掌握此公式的运用．
难点：知识的综合联系及较复杂的运算．
教学过程设计
(一)复习
1．写出二次三项式的一般形式和一元二次方程的一般形式．
(ax22+bx+c，ax+bx+c=0)
2．从形式上看，它们的不同是什么？
(方程是等式，二次三项式是一个代数式，没有等号)
3．从x的取值来看，它们的不同是什么？
(一元二次方程的x值有两个，也可能没有．而二次三项式中的x可以取任
意值)
4．在解方程ax2+bx+c=0(a?0)的过程中，用二次项系数除方程各项，变形
为
理的，而且这种变形十分必要，它可使方程的系数值简单，以便于代入求根公式
或各种有关计算)
2+bx+c(a?0)用求根公式法分解因式的步骤．
2 (第一步：写出ax+bx+c=0；?
第二步：求出方程?的两个根x，x； 12 6．说出二次三项式ax22 第三步：写出公式ax+bx+c=a(x-x)(x-x)并把x，x的值代入公式中的x，1121
x处) 22 7．让全班学生做-2x+6x-4的因式分解．
2 (正确答案是-2x+6x-4=-2(x-1)(x-2)，可能出现的错误是得出2(x-1)(x-2)，或是(x-1)(x-2)
(二)新课
22 例1 分解因式：4x-4xy-3y-4x+10y-3．
22 解法1：把此式看作关于x的二次三项式4x-4(y+1)x-(3y-10y+3)．
22 因为关于x的方程4x-4(y+1)x-(3y-10y+3)=0的根
解法2：原式=(4x
22-4xy-3y)-(4x-10y)-3
=(2x+y)(2x-3y)-(4x-10y)-3
=(2x+ y-3)(2x-3y+1)．
讲述：解法1虽然计算步骤繁一些，但它是有固定的操作程序，因而容易学
会和运用．解法2的书写简单，但需要两次用到十字相乘，从第二步到第三步使
用十字相乘法时，技巧要求较高，因而不易掌握
例2 如果a＞0且b22-4ac=0，求证：二次三项式ax+bx+c是完全平方．
22，x是方程ax+bx+c=0的两根，因为b-4ac=0，所以x=x 1212
证明：设x
分析：此二次三项式的b2-4ac应等于零．
2 得 m-m-6=0，m=-2，m=3． 12
答：m=-2或m=3时，原式是完全平方．
说明：我们不妨把m代入原式来检验答案是否正确．把 m=-2代入原式，得
分析：应将分子、分母都分解因式，
(三)课堂练习
2+2kx+k-3在实数范围内可分解因式．(提
222 求证：k为任何实数时，二次三项式x示：因为方程x+2kx+(k-3)=0的根的判别式?=4k-4(k-3)=(2k-1)+11＞0)
(四)小结
2 1．二次三项式ax+bx+c (a?0)的分解因式，应先用十字相乘法试试，如果
确实不易分解，再试用求根公式法，要注意，有些二次三项式，在实数范围内是
不可分解的．
2 2．二次三项式ax+bx+cc(a＞0)可以成为完全平方的条件是 b2-4ac=0．
(五)作业
22 1．把(x+3x-2)(x+3x+4)-16分解因式的结果是 [ ]．
22 (A)(x+3x+6)(x+3x-2)
22 (B)(x+3x-4)(x+3x+4)
2 (C)(x+3x+6)(x+4)(x-1)
2 (D)(x+3x+4)(x+4)(x-1) 222 2．把(x+5x+6)(x++7x+6)-3x分解因式的结果是 [ ]．
22 (A)(x+4x+6)(x+8x+6)
22 (B)(x+2x+6)(x+16x+6)
2 (C)(x+2)(x+3)(x+8x+6)
2 (D)(x+1)(x+6)(x+4x+6)
22 3．将x-4xy+4y-6x+12y+8分解因式得到的结果是 [ ]．
(A)(x-2y+2)(x-2y+4)
(B)(x-2y-2)(x-2y-4)
(C)(x+2y+2)(x+2y+4)
(D)(x+2y-2)(x-2y+4)
4．如果100x22-kxy+64y是一个完全平方式，那么大的值等于 [ ]．
(A)?6400 (B)?12800
(C)?160 (D)?80
2 5．若(2x+3)与(7x-1)都是代数式14x+kx-3的因式，则k等于 [ ]．
(A)2 (B)19
(C)11 (D)-19
2 6．若x-ax+2a-3是完全平方式，则 a =______．
2 7．因式分解：x-m(a+b)x-ab(a-m)(b+m)．
22 8．因式分解x-5xy+6y-x+y-2．
22 9．m是什么值时，关于x的二次三项式x+3x-y-7y+m能分解成两个一次式的乘积．
作业的答案或提示
22 1．(C)．(x+3x-2)(x+3x+4)-16
222 =(x+3x)+2(x+3x)-8-16
222 =(x+3x)+2(x+3x)-24
22 =(x+3x+6)(x+3x-4) 2 =(x+3x+6)(x+4)(x-1)．
2．(A)．
3．(B)．
2 4．(C)令?=0，k-4×100×64=0，k=?160．
5．(B)．
6．a=2或6，提示：成为完全平方式的条件是?=0
=a(m+b)，x=b(m-a)所以原式=(x-am-ab)(x-bm+ab) 1222 8．原式整理为x-(5y+1)x+6y+y-2
x
x=3y+2，x=2y-1．故原式=(x-3y-2)(x-2y+1) 12
(必须使根号下的式子是完全平方)
所以?=28222-4×4(9-4m)=0，即m=-10．这时原式为x+3x-y-7y-10．原式
=(x-y-2)(x+y+5)
课堂教学设计说明
1．为了加深对“方程的同解变形”与“恒等变形”的分辨能力，在本节课
开始的复习旧知识时，提出1～7七个问题．在第7小问中，指出了初学者常犯
的两个错误．
2．例1中指出了两种解法，分析其利弊．开拓了解题思路．
3．二次三项式ax22+bx+c成为完全平方的条件是?=b-4ac=0．这个结论经常要用到，为此，设计了例2，例3及作业的第4题和第6题．
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