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高中数学大纲.doc

高中数学大纲

李泥生
2017-09-26 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高中数学大纲doc》,可适用于职业岗位领域

高中数学大纲一、集合与简易逻辑:一、理解集合中的有关概念()集合中元素的特征:确定性互异性无序性。集合元素的互异性:如:求()集合与元素的关系用符号表示。()常用数集的符号表示:自然数集正整数集、整数集有理数集、实数集。()集合的表示法:列举法描述法韦恩图。注意:区分集合中元素的形式:如:()空集是指不含任何元素的集合。(、和的区别与三者间的关系)空集是任何集合的子集是任何非空集合的真子集。注意:条件为在讨论的时候不要遗忘了的情况。如:如果求的取值。二、集合间的关系及其运算()符号“”是表示元素与集合之间关系的立体几何中的体现点与直线(面)的关系符号“”是表示集合与集合之间关系的立体几何中的体现面与直线(面)的关系。()()对于任意集合则:()若为偶数则若为奇数则若被除余则若被除余则若被除余则三、集合中元素的个数的计算:()若集合中有个元素则集合的所有不同的子集个数为所有真子集的个数是所有非空真子集的个数是。()中元素的个数的计算公式为:()韦恩图的运用:四、满足条件满足条件若则是的充分非必要条件若则是的必要非充分条件若则是的充要条件若则是的既非充分又非必要条件五、原命题与逆否命题否命题与逆命题具有相同的注意:“若则”在解题中的运用如:“”是“”的条件。六、反证法:当证明“若则”感到困难时改证它的等价命题“若则”成立步骤:、假设结论反面成立、从这个假设出发推理论证得出矛盾、由矛盾判断假设不成立从而肯定结论正确。矛盾的来源:、与原命题的条件矛盾、导出与假设相矛盾的命题、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定二、函数一、映射与函数:()映射的概念:()一一映射:()函数的概念:如:若问:到的映射有个到的映射有个到的函数有个若则到的一一映射有个。函数的图象与直线交点的个数为个。二、函数的三要素:。相同函数的判断方法:(两点必须同时具备)()函数解析式的求法:定义法(拼凑):换元法:待定系数法:赋值法:()函数定义域的求法:则则则如:则含参问题的定义域要分类讨论如:已知函数的定义域是求的定义域。对于实际问题在求出函数解析式后必须求出其定义域此时的定义域要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长为半径为扇形面积为则定义域为。()函数值域的求法:配方法:转化为二次函数利用二次函数的特征来求值常转化为型如:的形式逆求法(反求法):通过反解用来表示再由的取值范围通过解不等式得出的取值范围常用来解型如:换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数化归思想三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数运用三角函数有界性来求值域基本不等式法:转化成型如:利用平均值不等式公式来求值域单调性法:函数为单调函数可根据函数的单调性求值域。数形结合:根据函数的几何图形利用数型结合的方法来求值域。求下列函数的值域:(种方法)(种方法)(种方法)三、函数的性质:函数的单调性、奇偶性、周期性单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)导数法(适用于多项式函数)复合函数法和图像法。应用:比较大小证明不等式解不等式。奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称比较f(x)与f(x)的关系。f(x),f(x)=f(x)=f(x)f(x)为偶函数f(x)f(x)=f(x)=,f(x)f(x)为奇函数。判别方法:定义法图像法复合函数法应用:把函数值进行转化求解。周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(xT)=f(x),则T为函数f(x)的周期。其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(xa)=f(x,a),则a为函数f(x)的周期应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像掌握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释和按向量平移联系起来思考)平移变换y=f(x)y=f(xa),y=f(x)b注意:()有系数要先提取系数。如:把函数y,f(x)经过平移得到函数y,f(x)的图象。()会结合向量的平移理解按照向量(mn)平移的意义。对称变换y=f(x)y=f(,x),关于y轴对称y=f(x)y=,f(x),关于x轴对称y=f(x)y=f|x|,把x轴上方的图象保留x轴下方的图象关于x轴对称y=f(x)y=|f(x)|把y轴右边的图象保留然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数)伸缩变换:y=f(x)y=f(ωx),y=f(x)y=Af(ωxφ)具体参照三角函数的图象变换。一个重要结论:若f(a,x),f(ax)则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称如:的图象如图作出下列函数图象:()()()()()()()()()。五、反函数:()定义:()函数存在反函数的条件:()互为反函数的定义域与值域的关系:()求反函数的步骤:将看成关于的方程解出若有两解要注意解的选择将互换得写出反函数的定义域(即的值域)。()互为反函数的图象间的关系:()原函数与反函数具有相同的单调性()原函数为奇函数则其反函数仍为奇函数原函数为偶函数它一定不存在反函数。如:求下列函数的反函数:七、常用的初等函数:()一元一次函数:当时是增函数当时是减函数()一元二次函数:一般式:对称轴方程是顶点为两点式:对称轴方程是与轴的交点为顶点式:对称轴方程是顶点为一元二次函数的单调性:当时:为增函数为减函数当时:为增函数为减函数二次函数求最值问题:首先要采用配方法化为的形式、若顶点的横坐标在给定的区间上则时:在顶点处取得最小值最大值在距离对称轴较远的端点处取得时:在顶点处取得最大值最小值在距离对称轴较远的端点处取得、若顶点的横坐标不在给定的区间上则时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得最大值在距离对称轴较远的端点处取得时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得最小值在距离对称轴较远的端点处取得有三个类型题型:()顶点固定区间也固定。如:()顶点含参数(即顶点变动)区间固定这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内何时在区间之外。()顶点固定区间变动这时要讨论区间中的参数(二次方程实数根的分布问题:设实系数一元二次方程的两根为则:根的情况等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件注意:若在闭区间讨论方程有实数解的情况可先利用在开区间上实根分布的情况得出结果在令和检查端点的情况。()反比例函数:()指数函数:指数运算法则:。指数函数:y=(a>o,a)图象恒过点()单调性与a的值有关在解题中往往要对a分a>和<a<两种情况进行讨论要能够画出函数图象的简图。()对数函数:指数运算法则:对数函数:y=(a>o,a)图象恒过点()单调性与a的值有关在解题中往往要对a分a>和<a<两种情况进行讨论要能够画出函数图象的简图。注意:()与的图象关系是()比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数若底数不相同时转化为同底数的指数或对数还要注意与比较或与比较。()已知函数的定义域为求的取值范围。已知函数的值域为求的取值范围。六、的图象:定义域:值域:奇偶性:单调性:是增函数是减函数。七、补充内容:抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型:正比例函数三、导数(求导法则:(c)=这里c是常数。即常数的导数值为。(xn)=nxn,特别地:(x)=(x,)=()=,x(f(x)g(x))=f(x)g(x)(k•f(x))=k•f(x)(导数的几何物理意义:k,f(x)表示过曲线y=f(x)上的点P(x,f(x))的切线的斜率。V,s(t)表示即时速度。a=v(t)表示加速度。(导数的应用:求切线的斜率。导数与函数的单调性的关系一与为增函数的关系。能推出为增函数但反之不一定。如函数在上单调递增但是为增函数的充分不必要条件。二时与为增函数的关系。若将的根作为分界点因为规定即抠去了分界点此时为增函数就一定有。当时是为增函数的充分必要条件。三与为增函数的关系。为增函数一定可以推出但反之不一定因为即为或。当函数在某个区间内恒有则为常数函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质也是高中阶段研究的重点我们一定要把握好以上三个关系用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题都一律用开区间作为单调区间避免讨论以上问题也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题要谨慎处理。四单调区间的求解过程已知()分析的定义域()求导数()解不等式解集在定义域内的部分为增区间()解不等式解集在定义域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析前提条件都是函数在某个区间内可导。求极值、求最值。注意:极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。f(x),不能得到当x=x时函数有极值。但是当x=x时函数有极值f(x),判断极值还需结合函数的单调性说明。导数的常规问题:()刻画函数(比初等方法精确细微)()同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)()应用问题(初等方法往往技巧性要求较高而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。(关于函数特征最值问题较多所以有必要专项讨论导数法求最值要比初等方法快捷简便。(导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型也是高考中考察综合能力的一个方向应引起注意。四、不等式一、不等式的基本性质:注意:()特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法此法尤其适用于不成立的命题。()注意课本上的几个性质另外需要特别注意:若ab>则。即不等式两边同号时不等式两边取倒数不等号方向要改变。如果对不等式两边同时乘以一个代数式要注意它的正负号如果正负号未定要注意分类讨论。图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象)直接比较大小。中介值法:先把要比较的代数式与“”比与“”比然后再比较它们的大小二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。若则(当且仅当时取等号)基本变形:若则基本应用:放缩变形求函数最值:注意:一正二定三取等积定和小和定积大。当(常数)当且仅当时当(常数)当且仅当时常用的方法为:拆、凑、平方如:函数的最小值。若正数满足则的最小值。三、绝对值不等式:注意:上述等号“,”成立的条件四、常用的基本不等式:()设则(当且仅当时取等号)()(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)()五、证明不等式常用方法:()比较法:作差比较:作差比较的步骤:作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。注意:若两个正数作差比较有困难可以通过它们的平方差来比较大小。()综合法:由因导果。()分析法:执果索因。基本步骤:要证„„只需证„„只需证„„()反证法:正难则反。()放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有:添加或舍去一些项如:将分子或分母放大(或缩小)利用基本不等式如:利用常用结论:、、(程度大)、(程度小)()换元法:换元的目的就是减少不等式中变量以使问题化难为易化繁为简常用的换元有三角换元和代数换元。如:已知可设已知可设()已知可设已知可设()构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式六、不等式的解法:()一元一次不等式:、:若则若则、:若则若则()一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的同解变形为二次项系数大于零注:要对进行讨论:()绝对值不等式:若则注意:()几何意义:::()解有关绝对值的问题考虑去绝对值去绝对值的方法有:对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值若则若则若则()通过两边平方去绝对值需要注意的是不等号两边为非负值。()含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。()分式不等式的解法:通解变形为整式不等式()不等式组的解法:分别求出不等式组中每个不等式的解集然后求其交集即是这个不等式组的解集在求交集中通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上取它们的公共部分。()解含有参数的不等式:解含参数的不等式时首先应注意考察是否需要进行分类讨论如果遇到下述情况则一般需要讨论:不等式两端乘除一个含参数的式子时则需讨论这个式子的正、负、零性在求解过程中需要使用指数函数、对数函数的单调性时则需对它们的底数进行讨论在解含有字母的一元二次不等式时需要考虑相应的二次函数的开口方向对应的一元二次方程根的状况(有时要分析)比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数要分、、讨论。五、数列本章是高考命题的主体内容之一应切实进行全面、深入地复习并在此基础上突出解决下述几个问题:()等差、等比数列的证明须用定义证明值得注意的是若给出一个数列的前项和则其通项为若满足则通项公式可写成()数列计算是本章的中心内容利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算是高考命题重点考查的内容()解答有关数列问题时经常要运用各种数学思想善于使用各种数学思想解答数列题是我们复习应达到的目标函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为及已知求时也要进行分类整体思想:在解数列问题时应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势运用整体思想求解()在解答有关的数列应用题时要认真地进行分析将实际问题抽象化转化为数学问题再利用有关数列知识和方法来解决解答此类应用题是数学能力的综合运用决不是简单地模仿和套用所能完成的特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错一、基本概念:、数列的定义及表示方法:、数列的项与项数:、有穷数列与无穷数列:、递增(减)、摆动、循环数列:、数列{an}的通项公式an:、数列的前n项和公式Sn:、等差数列、公差d、等差数列的结构:、等比数列、公比q、等比数列的结构:二、基本公式:、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=、等差数列的通项公式:an=a(n)dan=ak(nk)d(其中a为首项、ak为已知的第k项)当d时an是关于n的一次式当d=时an是一个常数。、等差数列的前n项和公式:Sn=Sn=Sn=当d时Sn是关于n的二次式且常数项为当d=时(a)Sn=na是关于n的正比例式。、等比数列的通项公式:an=aqnan=akqnk(其中a为首项、ak为已知的第k项an)、等比数列的前n项和公式:当q=时Sn=na(是关于n的正比例式)当q时Sn=Sn=三、有关等差、等比数列的结论、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、SmSm、SmSm、SmSm、„„仍为等差数列。、等差数列{an}中若mn=pq则、等比数列{an}中若mn=pq则、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、SmSm、SmSm、SmSm、„„仍为等比数列。、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{anbn}、{anbn}仍为等差数列。、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、、仍为等比数列。、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。、三个数成等差的设法:ad,a,ad四个数成等差的设法:ad,ad,,ad,ad、三个数成等比的设法:aq,a,aq四个数成等比的错误设法:aq,aq,aq,aq(为什么,)、{an}为等差数列则(c>)是等比数列。、{bn}(bn>)是等比数列则{logcbn}(c>且c)是等差数列。在等差数列中:()若项数为则()若数为则在等比数列中:()若项数为则()若数为则四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。、分组法求数列的和:如an=nn、错位相减法求和:如an=(n)n、裂项法求和:如an=n(n)、倒序相加法求和:如an=、求数列{an}的最大、最小项的方法:anan=„„如an=nn(an>)如an=an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=、在等差数列中,有关Sn的最值问题常用邻项变号法求解:()当>,d<时满足的项数m使得取最大值()当<,d>时满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。六、平面向量(基本概念:向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。(加法与减法的代数运算:()(()若a=(),b=()则ab=()(向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD则两条对角线的向量=,=,,=,且有,,,,,,,,,,,(向量加法有如下规律:=(交换律)(c)=()c(结合律)=(,)=(实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。(),,=,,,,()当,时与的方向相同当,时与的方向相反当=时=(()若=()则=()(两个向量共线的充要条件:()向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数使得b=(()若=(),b=()则‖b(平面向量基本定理:若e、e是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数使得=ee((P分有向线段所成的比:设P、P是直线上两个点点P是上不同于P、P的任意一点则存在一个实数使=叫做点P分有向线段所成的比。当点P在线段上时,当点P在线段或的延长线上时,分点坐标公式:若=的坐标分别为(),(),()则(,)中点坐标公式:((向量的数量积:()(向量的夹角:已知两个非零向量与b作=,=b,则AOB=()叫做向量与b的夹角。()(两个向量的数量积:已知两个非零向量与b它们的夹角为则b=,,,b,cos(其中,b,cos称为向量b在方向上的投影(()(向量的数量积的性质:若=(),b=()则e=e=,,cos(e为单位向量)bb=(b为非零向量),,=cos==(()(向量的数量积的运算律:b=b()b=(b)=(b)(b)c=cbc(主要思想与方法:本章主要树立数形转化和结合的观点以数代形以形观数用代数的运算处理几何问题特别是处理向量的相关位置关系正确运用共线向量和平面向量的基本定理计算向量的模、两点的距离、向量的夹角判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查是知识的交汇点。七、立体几何平面的基本性质:掌握三个公理及推论会说明共点、共线、共面问题。能够用斜二测法作图。空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念会求异面直线所成的角和异面直线间的距离证明两条直线是异面直线一般用反证法。直线与平面位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。直线与平面垂直的证明方法有哪些,直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影范围是{}三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量如:证明异面直线垂直确定二面角的平面角确定点到直线的垂线平面与平面()位置关系:平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)()掌握平面与平面平行的证明方法和性质。()掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直一般是依据性质定理可以证明线面垂直。()两平面间的距离问题点到面的距离问题()二面角。二面角的平面交的作法及求法:定义法一般要利用图形的对称性一般在计算时要解斜三角形垂线、斜线、射影法一般要求平面的垂线好找一般在计算时要解一个直角三角形。射影面积法一般是二面交的两个面只有一个公共点两个面的交线不容易找到时用此法

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新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

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