7如何认识“数学的基本活动经验”(徐文彬：教育研究与评论,201206)

如何认识“数学的基本活动经验” 徐文彬 (南京师范大学课程与教学研究所,江苏南京 210097) 摘要:“数学的基本活动经验”主要是指数学的直接经验与感性经验,它的学习之于“数学的间接经验”的学习的重要性,可从“多视角的理解”上来确认。从哲学的视角来看,数学的直接经验既是数学的起源,也是数学学习的基础;从数学哲学的视角来看,“数学的基本活动经验”学习不能脱离学生的直观经验,但应努力消除或避免其“模糊性”等;从学习论视角来看,应以社会建构主义心理学为指导来 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 “数学的基本活动经验”的教学;从教学论视角来看,不能只关注学生的数学直接经验的累积,也应指向其直接经验所指向的数学间接经验的感受。 关键词:数学的基本活动经验;哲学;数学哲学;学习论;教学论 学生学习的对象无非就是直接经验和间接经验两类,而数学学习多以间接经验为主。所以,数学的学习与教学历来都是不易的。而2011年版的《义务教育数学课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 》已明确指出[1]:“数学的基本活动经验”应是义务教育数学课程“四基目标”之一。由此可见,学生的“数学的直接经验”之于其对“数学的间接经验”学习的重要性。“数学的基本活动经验”教学有三个基本问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,即如何理解、如何设计其教学和如何具体教授“数学的基本活动经验”。本文仅就第一个问题做些初步的探讨,期望能够为“变不易为易”提供些许借鉴。 就“数学的基本活动经验”的理解而言,可有这样几个视角的思考:哲学的、数学哲学的、学习论的、教学论的等。这些视角的思考可对“数学的基本活动经验”教学产生不同寻常的意义与作用,应认真对待并常作思考。 一、哲学的理解 所谓经验,是指人在同客观事物“直接接触”的过程中通过“感觉器官”所获得的关于客观事物的现象和外部联系的认识,即来源于感官知觉和内在反省而获得的观念。 不同的哲学主张对经验的把握是不一样的,但对经验的理解却有一定的相似性。譬如,经验主义认为,人这一认识的主体,可以通过其感觉来认识“外界”事物,并形成知识,即, 1 知识是通过感觉加以内化而获得的,也即,人类知识起源于感觉,并以感觉的领会为基础。而理性主义则认为,尽管经验可能甚至也是我们认识“世界”的前提与条件,但理性知识与感性经验相比较,肯定前者更为重要。因为,感觉经验可能会通过“错觉”来欺骗或误导我们(如,水中“弯曲”的“直棒”),而理性知识则不会。即,外界事物只有通过同化到我们带入具体情景中的图式,才能被知晓,以致理解。由此可见,不论是经验主义还是理性主义,它们几乎都认为,经验是我们认识的前提、条件或起源。不仅如此,依据认识主体的不同,我们可以把经验区分为直接经验与间接经验。也就是说,只有我们通过自己所经历或从事的活动而获取的经验,才是我们的直接经验,而其他则都属于间接经验。 因此,就“数学的基本活动经验”这一课程目标而言,其对学生的教育意义和教学价值之一在于,它应是学生通过自己所经历或从事的数学活动而获取的感性经验与直接经验;对教师的教学要求之一在于,教师应针对这一课程目标、选择恰当的数学主题、组织适切的数学活动、启发引导学生在数学活动中,通过自己的感觉与反思来获取相关的数学观念[2]。二、数学哲学的理解 就数学的发展历史而言,毫无疑问,初等数学起源于人类的日常生活与生产劳动(活动)经验;19世纪包括微积分在内的近代数学的发展、甚至非欧几何的创立和抽象代数的产生,其来源和主要历程都表明,其经验性本质都没有发生本质的变化;20世纪以来现代数学的发展则表明,数学的真理性需要有两个层面的核实或检验:(1)演绎逻辑的理性裁决,(2)未来事实尤其是未来科学事实的判决。而演绎逻辑的起点却是已有甚至前在的经验——相比较而言,都是间接经验。所以,数学在本质上是经验性的——尽管对后来者或学习者而言,它可能拥有无穷无尽的“不可思议”之处,但这并不能表明,它没有那“九曲黄河十八弯”的直接经验之源或流。这其实就是关于数学的拟经验论,其主要观点是:(1)数学理论是按照“问题—猜想—反驳或证明”的模式发展的,(2)而其理论真理性的检验则有待潜在的证伪者。也就是说,数学真理是相对的、可错的,没有绝对的、永恒的数学真理——歌德尔不完全性定理[3]就是明证——一个形象的比喻——如果我们把有关算术的真命题(如,“2+3=5”)比喻为“羊”而假命题(如,“2+3≠5”)比喻为“狼”(狼与羊是不能同处一室的,否则,狼会吃掉羊),那么,如果我们能够建构一个羊圈,把所有羊都圈在羊圈里,而羊圈外没有任何一只羊,那么在羊圈中肯定有一只“披着羊皮的狼”;如果我们能够建构一个羊圈,把所有的狼都挡在羊圈外,而羊圈里没有任何一只狼,那么,在羊圈外肯定有一只“落入狼口的羊”。 数学经验可以划分为个体性直观经验、社会性科学经验和抽象性一般化经验[4]:直观经验就是个体对外部世界背景的数学直观反映,其特点是具有模糊性、粗糙性、无法直接确定其内涵与外延(如,点、线、面、角和长方形等,数、计算、算法和算式等);科学经验就是在数学与科学相互联姻过程中,数学研究者或科学研究者或两者共同对科学问题的数学反映,其特点是引申或借鉴(如,概率、无理数、导数、梯度和数学归纳法等);一般化经验就是经过概念化、一般化和理想化的过程,对客观实在的折射,其特点是将前两类经验推广至一般,从而也更贴近现实或具有更广泛应用性的一般集合上,并以逻辑演绎的形式来表达(如,各种代数结构、各种拓扑结构、各种序结构等)。 因此,就“数学的基本活动经验”这一课程目标而言,其对学生的教育意义和教学价值之一在于,学生通过自己的生活实际、社会实际和教师所组织的数学活动,来逐步深入地体会“数学的经验性本质”;对教师的教学要求之一在于,教师应在“普遍联系的观点”引导下,尽可能立足学生的实际生活、社会实际和相关学科的学习,有效组织相关主题的数学活动,消除或避免数学直观经验的“模糊性”等、择要联系数学科学经验、点滴感受数学一般化经验等。 三、学习论的理解 由于人类学习的复杂性和学习类型的多样性,各类理论研究者(包括哲学家、教育学家、心理学家、人类学家、语言学家、神经生理学家、认知科学家和计算机科学家等)对于“学习是什么”与“学习是怎样发生的”这类问题还远远没有达成共识。所以,迄今为止,还没有哪一种学习理论能够解释人类学习的复杂性和所有类型的学习。但就“数学的基本活动经验”的学习而言,社会建构主义心理学的解释可能更适合一些。具体而言,应包括以下几个主要方面[5]:(1)学习即是依赖学习者“主动地做某事”;(2)思考、问题解决等学习活动不仅仅是内在于学习者大脑中的过程,而且手脚、各种学习媒介等也是其有机组成部分,更是学习者与社会、文化、环境、甚至政治互动的“被决定的”结果;(3)为学习一门学科,学习者必须对该学科的动态历程和“某种心智地图”有所感觉。 因此,就“数学的基本活动经验”这一课程目标而言,其对学生的教育意义和教学价值之一在于,围绕某个数学主题,学生通过对自己的生活实际、社会实际进行反省,变无意识为有意识或变被动为主动,以及主动地参与教师所组织的该主题的数学活动,积累数学直接经验,感悟相应的数学间接经验和数学学科的动态发展及其理论结构;对教师的教学要求之一在于,教师应在社会建构主义心理学的引领下,敏锐地感知学生的生活实际、社会实际的真实情况及其文化、社会、环境、甚至政治差异,以及学生的个体差异,并把它们有机地融 入“相关主题的数学活动”的设计、组织与实施当中,吸引学生主动地参与“做数学”,并感觉数学的“某种心智地图”。 四、教学论的理解 由以上论述可推知,“数学的基本活动经验”的教学就是,以学生的数学直接经验为基础,以学生“做数学”活动为其主要载体,并通过学生个体的感悟,来促使他们进一步获取数学的直接经验及其所指向的数学的间接经验的教育活动。 譬如,我们在较为系统地学习10进制算术之后,为使6年级小学生进一步理解算术运算的“一般意义”可设计如下的“做数学”活动(可能需要3-4课时): (1)异质分组:略; (2)单组做数学:归纳、总结10进制算术运算的有关概念、原理、规则和运算律、及其实际应用,并尽可能有层次地把它们组织在一起,形成一定的结构; (3)全班组间交流:略; (4)单组做数学:在全班就(2)达成基本共识的基础上,单组选择“2进制算术运算”或“7进制算术运算”,自行“制定”2进制或7进制算术运算的有关概念、原理、规则和运算律,并考虑其实际应用案例; (5)同类组间交流:略; (6)异类组间交流:略; (7)全班组间交流:略; (8)学生总结、教师质疑; (9)教师概括、学生质疑; (10)遗留问题、继续学习。 显而易见,学生在主动参与上述“数学活动”中所获得的就不仅仅是“算术运算的一般意义”,可能还有对“算术结构”的感受与反省,乃至对“某类数学对象的概念——该类数学对象的基本性质——该类数学对象的运算——该类数学对象的扩展性质——该类数学对象及其性质与运算的应用或推广”的数学的逻辑发展或表达规律的体悟。 因此,“数学的基本活动经验”的学习不是与数学知识、数学技能和数学思想并列的“平行学习”,而是数学活动的整体实践,也就是数学的“整体学习”或“综合学习”。因此,“数学的基本活动经验”的获得与积累就不仅仅是直观经验的简单累积,可能更应指向对一般化经验的感受乃至感悟。这或许可作为我们设计“数学的基本活动经验”教学的一个基本原理。 注释: [1] 教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2011:8. [2] 这里的“数学观念”可以是“数学自身的”:数学知识、数学技能、数学思想、数学方法等,也可以是“关于数学的”:数学的抽象、数学的严谨、数学的应用、数学的美丑、数学的辩证等,还可以是“关于数学学习的”:对数学的兴趣与爱好、对数学学习的自信与投入等,但这些都是学生个体的直接经验与感性经验。因而,就“数学的基本活动经验”教学而言,应该有所指向——指向“课程标准”所确定的课程目标或课程内容——相对于学生而言,这些都是间接经验。 [3] 通俗地说就是,在任何一个包含算术系统在内的形式系统中,都至少存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明也不能被否定;任何一个包含算术系统在内的形式系统,其自身都不能证明其本身的无矛盾性。 [4] 张俊青,陈旭清.论数学的经验性本质[J].数学教育学报,2010(1):67-70. [5] (美)D.C.菲利普斯,乔纳斯F.索尔蒂斯.学习的视界[M].尤秀译.北京:教育科学出版社,2006:36-89. 基金项目: [1] 2009年度教育部重点课题“和谐学校文化建设与课程教学的关系研究”(DHA090189) [2] 2011年度江苏省教育科学规划重大课题“基础教育课程改革重大理论与实践问题的深入研究”(A/2011/08) [3] 2012年度教育部人文社会科学研究规划基金项目“基础教育课程改革重大理论与实践问题的深入研究”(12YJA880139) 作者简介: 徐文彬(1966-),安徽宣城人,南京师范大学课程与教学研究所常务副所长,教授,博士生导师,主要研究领域为课程与教学论、数学教育和小学教育。