2011年04月自考《概率论与数理统计（经管类）》真
题
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讲解
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计(经管类)》
2011年04月
真题
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讲解
一、前言
学员朋友们，你们好～现在，对《全国2011年4月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题》进行必要的
分析
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，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考。
三点建议:一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果;二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的
知识点
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，以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲;三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。
一点说明:本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版。
二、考点分析
1.总体印象
对本套试题的总体印象是:内容比较常规，难度不大，个别题目稍麻烦。内容比较常规:? 概率分数偏高，共74分;统计分数只占26分，与一月份考题完全相同，与历年试题相比较，基本一致;? 除回归分析外，对课本中各章内容都有涉及，但有74分集中在前三部分;难度不大，个别题目稍麻烦:与历次试题比较，本套试题难度不大，偏难的题目只有2题，仅占4分，属于课本中没有直接结论而需要进行一定的推理才能得到结果的题目;中等题目占72分，容易题目占24分。但是，有2题稍麻烦。
当然，以上观点只是相对于历年试题而言，是在与历年试题对比中产生的看法。如果只看本套试题，应该说还是无可挑剔的。
2.考点分布
按照以往的分类方法:事件与概率16分，一维随机变量(包括数字特征)28分，二维随机变量(包括数字特征)30分，大数定律2分，统计量及其分布8分，参数估计12分，假设检验4分，回归分析0分。考点分布的柱状图如下
三、试题详解
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
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1.设A，B，C为随机事件，则事件“A，B，C都不发生”可表示为( )
[答疑编号918090101]
『正确答案』A
『答案解析』本题为课本P6习题1.1，2(3)，事件“A，B，C都不发生”意味“时发生”，
即“A不发生”且“B不发生”且“C不发生”，故选择A。
2.设随机事件A与B相互独立，且则P(A?B)=( )
[答疑编号918090102]
『正确答案』B
『答案解析』本题考察两个事件相互独立的性质及加法公式。
相互独立:,由加法公式有
故选择B。
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【提示】(1)注意几个概念的区别:两个事件互不相容(互斥)、对立、相互独立。这是一个高频率的考点;
(2)相互独立两个事件的性质:设事件 ， 相互独立，
? ;
? 相互独立
;
?，其一相互独立，另三对也相互独立。
(3)理解事件相互独立的意义，能够根据“意义”来判定对错。
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(4)加法公式的理解和正确使用。
3.设随机变量X,B(3，0.4)，则P{X?1}=( )
A.0.352
B.0.432
C.0.784
D.0.936
[答疑编号918090103]
『正确答案』C
『答案解析』本题考察二项分布的概率。
故选择C。
【提示】关于二项分布，下面提示中讲解。
4.已知随机变量 的分布律为
则P{-2
标准
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正态分布的上α分位数:X ,N(0，1)，若，为标准正态分布的上α分位数。
在解题中可以直接代公式，不必重新推导。
6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则常数c=( )
[答疑编号918090106]
『正确答案』A
『答案解析』本题考察二维随机变量概率密度的性质及其计算方法。
故选择A.
【提示】(1)二维连续型随机变量概率密度的性质:
? 非负;
? 若在处连续，则有
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(2)二重积分的一个性质:若? 二积分变量的变化范围为常数区间;? 被积函数,1，则此二重积分在数值上等于积分区域的面积;
(3)何时积分值为零,? 定积分:积分区间长度,0或被积函数,0;二重积分:积分区域面积,0或被积函数,0.
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22 7.设随机变量X,N(-1,2)，Y,N(-2,3)，且X与Y相互独立，则X-Y,( )
A.N(-3，-5) B.N(-3,13)
C.N (1，) D.N(1，13)
[答疑编号918090107]
『正确答案』D
『答案解析』本题考察课本P83，例3,28后的一般结论――相互独立的正态分布随机变量的可加性:设X ，Y相互独立，且X,N，Y,N，则Z=X+Y仍服从正态分布，且。
故选择D。
【提示】课本中介绍了两个“相互独立随机变量的可加性”:一个是本题的正态分布随机变量，另一个是课本P80，例3,25介绍的泊松分布的随机变量的可加性:X,Y相互独立，且
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8.设X,Y为随机变量，D(X)=4，D(Y)=16，Cov(X,Y)=2，则ρ=( ) XY
[答疑编号918090108]
『正确答案』D
『答案解析』本题考察二维随机变量的数值特征:方差、协方差、相关系数。
由相关系数定义
故选择D。
【提示】理解方差、协方差及相关系数的意义。
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( )
C.F(2，3) D.F(3,2)
[答疑编号918090109]
『正确答案』C
『答案解析』本题考察统计量的分布。
根据课本P138，定义6,7，F,分布的定义得答案，选择C。
【提示】(1)关于“统计量分布”应该从总体和样本容量两个方面来理解:
? “大样本”:正态总体 非正态总体的样本均值渐近
地服从上述分布;(课本P134，定理6,1)
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? “小样本”:正态总体的抽样所构成的三种统计量，分别服从三种不同的分布:
。对于这三种分布，只要求掌握定义、记住其概率密度函数图像的大致形状及自变量取值范围，不要求了解密度函数的解析式。
(2)定义:设的分布为自由度为
, 其中称为分子自由度，称为分母自由度.
10.在假设检验中，H为原假设，则显著性水平α的意义是( ) 0
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A.P{拒绝H| H为真} 00
B.P{接受H| H为真} 00
C.P{接受H| H不真} 00
D.P{拒绝H| H不真} 00
[答疑编号918090110]
『正确答案』A
『答案解析』本题考察假设检验“两类错误”内容。选择A。
【提示】这是高频考点。
二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设A,B为随机事件，P(A)=0.6，P(B|A)=0.3，则P(AB)=______.
[答疑编号918090201]
『正确答案』0.18.
『答案解析』根据事件的乘法公式有
故填写0.18.
【提示】注意乘法公式的条件:
12.设随机事件A与B互不相容，______.
[答疑编号918090202]
『正确答案』0.4
『答案解析』本题考察互不相容事件的性质及加法公式。
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故填写0.4.
13.设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则P{X=2}=______.
[答疑编号918090203]
『正确答案』
『答案解析』本题考察泊松分布。
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2 14.设随机变量X,N(0，4)，且P{X >1}=0.4013，φ(x)为标准正态分布函数，则 φ(0.25)=_____.
[答疑编号918090204]
『正确答案』0.5987.
『答案解析』本题考察正态分布“标准化”及分布函数的定义。
故填写0.5987.
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【提示】正态分布的计算都需要查“标准正态分布表”，由于正态分布的重要地位，必须掌握正态分布“标准化”，并且了解“标准正态分布表”的构成。
15.设二维随机变量(X,Y)的分布律为 则P{X=0,Y=1}=______.
[答疑编号918090205]
『正确答案』0.1
『答案解析』本题考察二维离散型随机变量联合分布律的性质。显然，填写0.1.
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【提示】
? 利用联合分布律可求两个随机变量的边缘分布;
? 二维随机变量在不同点处的事件是互不相容的。
16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则P{X+Y >1}=______.
[答疑编号918090206]
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『答案解析』本题是课本P81，例3,27(2)的简化变形。
【提示】二重积分的计算如6题的提示所述。
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17.设随机变量X与Y相互独立,X在区间[0，3]上服从均匀分布，Y服从参数为4的指数分布，则D(X+Y)
=______.
[答疑编号918090207]
『正确答案』
『答案解析』本题考察两个随机变量之和的方差的性质。
由已知
又随机变量X与Y相互独立，所以
【提示】(1)理解方差的意义，并能够应用之;
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2 18.设X为随机变量，E(X+3)=5，D(2X)=4，则E(X)=______.
[答疑编号918090208]
『正确答案』5
『答案解析』本题考察期望的性质，方差的性质及计算公式。
故填写5.
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19.设随机变量X，X，„，X, „相互独立同分布，且12n
= __________.
[答疑编号918090209]
『正确答案』0.5
『答案解析』本题考察“独立同分布序列的中心极限定理”。课本P120，定理5,4如下:
定理5,4:独立同分布随机变量序列
分布函数为 ，则
故填写0.5.
【提示】正确理解中心极限定理的意义:在随机试验中，不管随机变量服从何种分布，当试验次数趋于无穷大时，它的极限分布都是正态分布，经标准化后成为标准正态分布。可见正态分布在概率统计中是如何重要的～
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[答疑编号918090210]
『正确答案』
『答案解析』本题考察几种分布的(上)α分位数的概念。
【提示】除本题的,分布的α分位数外，还有自由度为，标准正态分布的上侧α分位数，它们在区间估计和假设检验中都有应用。
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21.设总体X,N(μ,64)，x，x，„，x为来自总体X的一个样本，=______. 128
[答疑编号918090211]
『正确答案』8
『答案解析』本题考察正态总体样本均值的方差的计算。
根据9题的提示，
故填写8.
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22 22.设总体X,N(μ,σ)，x，x，„，x为来自总体X的一个样本，为样本均值，s为样本方差，12n
则_____.
[答疑编号918090212]
『正确答案』
『答案解析』本题考察课本P140，定理6,4的推论6,1，即此推
论是正态总体、方差未知，均值的区间估计的理论基础。
故填写。
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23.设总体X的概率密度为为来自总体X的一个样本,为样本均
值.若c为θ的无偏估计,则常数c=______.
[答疑编号918090213]
『正确答案』
『答案解析』本题考察“矩估计”与“无偏估计量”。
【提示】(1)矩估计:用样本矩估计总体矩;用样本矩的函数估计总体矩的函数;
(2)点估计:的评价标准:无偏性、有效性和一致性(相合性)的理解和判定。
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22 24.设总体X,N(μ,σ)，σ已知,x，x，„，x为来自总体X的一个样本,为样本均值,则参数μ12n
的置信度为1-α的置信区间为______.
[答疑编号918090214]
『正确答案』
『答案解析』本题考察正态总体、方差已知，均值的区间估计。
【提示】(1)平时学习时，注意理解区间估计的统计量的选择和估计区间的求法，考试前，按已知条
件“背”“估计表”;(2)注意:估计区间是闭区间。
25.设总体X,N(μ,4)，x，x，„，x为来自总体X的一个样本,为样本均值,则检验假设1216
H:μ=1,H:μ?1 时应采用的检验统计量为______. 01
[答疑编号918090215]
『正确答案』
『答案解析』本题考察正态总体、方差已知，对均值的假设检验。
由已知，检验统计量为
故填写
【提示】假设检验的总结见课本P181的列表;其他提示与上题同。
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三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
26.盒中有3个新球、1个旧球，第一次使用时从中随机取一个，用后放回，第二次使用时从中随机取两个，事件A表示“第二次取到的全是新球”，求P(A).
[答疑编号918090301]
『答案解析』本题考察用全概率公式计算概率。
27.设总体X的概率密度为x，x，„，x为来自总12n体X的一个样本.求θ的极大似然估计.
[答疑编号918090302]
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计(经管类)》 『答案解析』本题考察极大似然估计，系课本P151，习题7.1，2的变形。
由已知，构造似然函数为
【提示】极大似然估计的关键是构造似然函数，本题根据连续性随机变量的概率密度函数构造似然函数的方法，另外，还有根据离散型随机变量构造似然函数的方法，见课本P147，例7,5.
四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)
28.设随机变量x的概率密度为
求:(1)常数a,b;(2)X的分布函数F(x);(3)E(X).
[答疑编号918090303]
『答案解析』本题为概率密度函数、分布函数及数学期望的综合题目。
(1)由概率密度的性质有
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【提示】注意分布函数的定义:的意义。
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29.设二维随机变量(X，Y)的分布律为
求:(1)(X，Y)分别关于X,Y的边缘分布律;(2)D(X)，D(Y)，Cov(X，Y).
[答疑编号918090304]
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计(经管类)》 『答案解析』本题属于二维离散型随机变量的综合题目。
(1)为求关于X，Y的边缘分布律，列表如下
则得到关于X，Y的边缘分布律
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五、应用题(10分)
30.某种装置中有两个相互独立工作的电子元件，其中一个电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从参数的指数分布，另一个电子元件的使用寿命Y(单位:小时)服从参数的指数分布.试求:(1)(X，Y)的概率密度;(2)E(X)，E(Y);(3)两个电子元件的使用寿命均大于1200小时的概率.
[答疑编号918090305]
『答案解析』本题着重讨论两个相互独立的随机变量的有关问题。
由已知
(1)因为两个随机变量相互独立，所以(X，Y)的概率密度为
(2)由连续性随机变量期望的定义及课本上关于指数分布期望的推导结果有
(3)两个相互独立电子元件的使用寿命均大于1200小时的 概率为
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所以，两个相互独立电子元件的使用寿命均大于1200小时的 概率为。
【提示】(1)在积分计算上，“分部积分法”不要求掌握，如本题解(2)直接使用了课本的推导结果:参数为λ的指数分布其期望为，但是，简单的“换元积分法”(第一换元法或“凑微分法”)是需要掌握的，如本题解(3)的计算方法。
(2)关于“独立性”。课本介绍了两种“独立性”:? 事件的独立性，课本P18，定义1,4(两事件独立性)及其性质，以及定义1,5(三事件独立性)，同时，应该明了两事件独立的实际意义;? 随机变量的独立性，课本P73，定义3,9，也应该明了两随机变量独
立的实际意义;? 两种独立性是统一的。
(3)正确理解二维事件的意义:。
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四、简要总结
1.关于本套试题
(1)所有题目均可在课本上找到其原型在讲解中，指出了一些题目在课本上的出处。其实，每一道题都可以在课本上找到出处，所以，可以断言，本套试题所有题目均可在课本上找到其原型。
(2)两种类型的试题
所有的考试，包括中考、高考及考研，试题不外乎两种类型:知识型和能力型。两类试题的分数分布决定了整套试题的难度。本套试题知识型题目约占80分左右，所以，本套试题属于难度不大的类型。
2.关于复习的建议
(1)认真看书，全面复习
在多次串讲中，我一再强调全面复习，本套试题的考察内容再次验证了这一观点的正确性。今天，再次强调这一观点，希望能够引起学员朋友们足够的重视。如何全面复习，只有认真看书。
当然, 在全面复习的基础上, 也要注意重点复习。从本套试题的考点分布可以看出，前三部分占74%，后三部分占26%，与历年试题情况基本一致，但绝不能因此而否认全面复习的重要性。事实上，概率统计考试的考点分布一直是比较稳定的，不同试题的分数分布只有比较小的调整，试题的覆盖面始终几乎囊括课本的全部主要内容。
(2)加深理解，强化记忆
从历次的考试内容可以看出，每次考试的绝大多数题目是考察记忆的。我相信朋友都知道，所谓知识，首先是头脑中记忆的东西，其次才是记忆中的东西的运用。所以，无论从哪个角度来说，准确记忆是非常重要的。本课程的学习也不例外，准确的记忆意味着接近成功。
当然，记忆的方法很多，最好的方法是在理解的基础上，总结归纳记忆。所以，在本次串讲中对考生普遍感到比较困难的第五章做了一定地讲解，帮助考生实现“理解”，另外，也在两处分别对“六种分布”
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计(经管类)》 和“独立性”做了“跨章节”的归纳总结，以便实现“归纳记忆”。
3. 关于选作习题
(1) 重视例题和习题
每套试题中，几乎都有根据课本的例题改编的题目，本套试题中有课本原题，也有根据的习题或例题
改编的题目。改编例题一种比较稳妥的命题方式，命题人所承担的风险也比较小，因此，我再次提醒学员朋友们注意课本例题的题目条件、结论及解题方法与步骤，力求理解掌握。
同样，利用习题编制考题也是命题方法之一，如有可能适当多做一些习题，如不能，一定在考试之前看看习题中的证明题的结论，以便应对试题中的理论性质的题目。
(2)正确选作课外题
选作课外题有新鲜感，许多朋友在应试复习时都愿意这样做。我的建议首先是，选题范围应该是历年考题的真题，一位自考的成功者说过:“把历年试题做三遍，包你通过。”这也是我多年来在“面授班”教学中一直实践的、而且比较成功的做法。至于是整套做题还是从中选作，可以根据每个人的具体情况来确定。
提醒考生，不要押题，更不要相信某些“模拟试题”或自称命中率极高的“猜题”，以免上当受骗。
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