[数学]《用数轴标根法解一元二次不等式》
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用数轴标根法解一元二次不等式
摘要:解一元二次不等式是我们的职业高中的学生普遍遇到的难题，它对于我们整个职业高中数学来说，既是基础又是工具。同集合、函数、数列、三角函数、直线与圆和圆锥曲线等内容都有很大的联系。因此解一元二次不等式就成了我们的重中之重。本文就是在这个基础上探索讨论用数轴标根法来解一元二次不等式。通过教学的几个例子来阐述数轴标根法能及取得的效果。
关键词:一元二次不等式;数轴标根法;
数学是学生很难掌握的一门学科。因为一来学生的数学基础差;二来数学对于大多数学生来说是一门比较枯燥的学科，就不愿意学，更不要说掌握的很好了。所以我就一直在思考如何提高学生学习数学的兴趣，知识不能因为难而就不用学了，我发现再难的题你只要有方法就行了。比如解一元二次不等式是我们的职业高中的学生普遍遇到的难题，它对于我们整个职业高中数学来说，既是基础又是工具。对集合、函数、数列、三角函数、直线与圆和圆锥曲线等内容都有很大的联系。因此解一元二次不等式就成了我们的重中之重。我就谈一谈我在教学生解一元二次不等式的教学体会——用数轴标根法解一元二次不等式。
一、传统方法解一元二次不等式
我们拿到一个一元二次不等式,首先就是判断它有没有根,所以先用一元二次方
程根的判别式来判断根的情况，
(1)?>0 方程有两个不相等的实数根(
(2)?,0 方程有两个相等的实数根(
(3)?<0 方程没有实数根(
2若有根，就求出它的根。下面我就举例说明一下:解不等式:x-x-6>0
2?=1-4×(-6)=25>0,所以这个方程x-x-6=0有两个不相等的实根。我们一般用因式2分解法(十字相乘法)求根。所以，x-x-6>0等价于(x-3)(x+2)>0,因为不等号为大22于号，所以不等式x-x-6>0的解集为{x|x>3或x<-2}。若不等式为x-x-6<0那么它22的解题过程同x-x-6>0基本相同，通过因式分解法求根，x-x-6<0等价于(x-3)(x+2)2<0,因为不等号为小于号，所以不等式x-x-6>0的解集为{x|-2
0或x-x+6<0这两种不等式学生就2很难理解:方程x-x+6=0，这个方程?<0 方程没有实数根(那么解集为什么会是空集还是全体实数呢,学生怎么教都很难理解，除了个别成绩好点的还能掌握一下，其它学生就是靠死记硬背。所以这种解不等式的解法的弊端就在这了，那能不能找到一种通用的方法，让学生更容易理解的。
二、数轴标根法解一元二次不等式
我也是在不停的思考，如何让学生在解一元二次不等式上有个通用的方法，这两年在教高三升大的数学，学生是愿意学的，关键是如何教好它，使得学生就更容易理解。刚开学不久，我同往常一样，教学生解一元二次不等式，用传统的方法教，慢慢222地教。但是像x-x+6>0或x-x+6<0这两种不等式中方程x-x+6=0，这个方程?<0 方程没有实数根的情况我先不讲，看看有什么好的方法给他们。有一天上课，我在讲高次不等式如:a0或(x-a)123n123n1(x-a)(x-a)„(x-a)<0的解法如下图(即“数轴标根法”) 23n
例如:不等式(x-1)(x+1)(x-2)>0的解集
解:-1<1<2用数轴法为:
所以它的解集为:{x|-12}这种问题我们的学生很容易掌握并且很快能够写出它的解集。我就想，我们的一元二次不等式可不可以也用这种方法来解决呢,在一次课堂上，我就用这种方法讲。将一元二次不等式，如果是有根的都要写成几个因式2相乘的式子。例1:x-x-6<0
解:先用十字相乘法或
公式
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法分解因式得到:(x-3)(x+2)<0
数轴标根法:-2<3
20
先用十字相乘法或公式法分解因式得到:(x-4)(x+2)>0
数轴标根法:-2<4
它的解集为:{x|x>4或x<-2}。上了几堂课以后，发现学生对这种方法求解不等式比较容易掌握，于是我就在课堂上就采取这种方法教学生求解不等式。如果是有两个根的情况只要画这个图就可以了x0、x-x+6>0和x-x+6<0的效果。从特殊到一般是我们发现问题、寻求规律、提示问题本质最常用的方法之一。我就让学生多练习，在学生熟2知数轴标根法的基础上，我同学生一起来探究交流对于这两种不等式x-2x+1>0、2222x-x+6>0和x-x+6<0。问题的关键在于这个图怎么画。方程x-2x+1=0、x-x+6=0和2x-x+6=0是一个根或者无根怎么画图。
2例3:x-2x+1>0
2通过解方程我们可以得到:方程x-2x+1=0，求根得:x= x=1 12
2它的解集为:{x|x>1或x<1}也就是{x|x?1}。那么x-2x+1<0，我就画了一个图给给学生，让学生自己去判断，小于0也就是在x轴的下方，然后问学生下方有什么,
,学生就回答说x轴的下方没有图像，我说这就对了，没有图像说明它的解集就是。
2例4:x-x+6>0
2通过判断这道题，这个方程x-x+6=0，?<0 方程没有实数根，图像我也给学生画好了，
通过观察，大于0图像在x轴的上方，而无根的情况，这个图像是全部都在x轴的上
2方，所以马上得出结论:解集为R。随之不等式x-x+6<0它的图像也是这样画，小于0图像要在x轴的下方学生就回答说x轴的下方没有图像，我说这就对了，没有图像
,说明它的解集就是。然后给学生相应的题型来练习。熟能生巧，学生自然而然地就掌握画图的规律了。而多年来困在我心上的难题也得到了解决。
四、数轴标根法延伸和推广
2学完这个一元二次不等式以后，我发现我忽视了一个问题，我讲的例题都是x2的系数大于0。那么对于这种-x-x+6>0怎么办呢,所以在这里说明一下，我们的不等22式是这样的ax-bx+c>0 和ax-bx+c<0，在这里规定:a>0。如果你的不等式是a<0的情况，你就要在不等式的左右两边同时乘以-1还要变号。那么你的不等式就可以用我们的数轴标根法来求解了。那么对于大于或等于、小于或等于的不等号，应该作如何的改变呢,
2例:x-x-6?0
解:先用十字相乘法或公式法分解因式得到:(x-3)(x+2)?0
数轴标根法:-2<3
它的解集为:{x|-2?x?3}
2例:x-2x-8?0
先用十字相乘法或公式法分解因式得到:(x-4)(x+2)?0
数轴标根法:-2<4
它的解集为:{x|x?4或x?-2}。
因此，对于所有的不等号数轴标根法都可以应用，
以前总是同学生讲“数学不难”，但学生就是很难掌握这个“不难”，尤其是我们职业高中的学生。通过这个例子，我确实体会不少，数学是不难，但是你要教会学生就很难。重在方法。数轴标根法虽然取得了一些效果，但是在以后的数学教学中，我们还是要善于发现问题，找出规律，及时总结，我想我们的数学教学一定会再上新台阶。
[参考文献]
[1] 汪江松，《高中数学解题方法与技巧》[M].湖北:湖北教育出版社. [2]张一民，《中学数学教法研究》[M].云南:云南教育出版社. [3]宛军民，《高中数学基础知识及常见规律》[M].广州:中山大学出版社.
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