几何定理证明

几何定理证明 1、 重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 先证明交于一点，如图一中线AD、BE交于G，延长CG交AB于F，即证明F为AB中点即可，延长GD至H使GD=DH，又BD=DC∴BDCG为平行四边形，∴BE∥CH，CF∥BH，又E为AC中点， EG为中位线，∴G为AH中点，又CF∥BH，∴ FG为中位线，即F为AB中点，∴三条中线交于一点。 再证明2倍问题 证明1：如图：△ABC的中线AD、BE交于G（重心），求证：AG＝2GD 取CE的中点F，连接DF， 则 CE＝2EF＝AE ， ∴DF是△BCE的中位线， ∴GE∥DF ， AG／GD＝AE／EF＝2， ∴AG＝2GD 。 证明2：面积法（三条中线将三角形分成6个面积相等的三角形） △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∵D、E、F为中点 ∴S△CAD=S△CDB=S△ABE=S△ACE=S△ABF=S△BCF =S△ABC／2 ∴S△ADG=S△CEG=S△BEG 同理S△BDG=S△BEG ∴S△ABG=2S△BEG ∴AG／GE=2即AG=2GE 证明3：相似三角形 △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。 ∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH/AE=DH/BE=HF/EC, BE=EC, ∴DH=HF) ∴HF=DF/2 , BE=BC/2， 又可由①知HF=BE/2 ∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH。 ∴△BGE∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。∴BG=（2/3）BF 2、外心定理：三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。 已知：如图8-21所示， PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。 求证：PD、NE、MF交于一点O。 思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。然后再证明D是BC的中点。 证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。 ∵ MF⊥AB于F，AF=FB； ∴ OA=OB； ∵ NE⊥AC于E，AE=EC； ∴ OA=OC； ∴ OB=OC； ∵ OD⊥BC于D； ∴ POD是BC边上的中垂线。 ∴ NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。 结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。 3、垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 证明1： 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点H，连接CH并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAH=∠DAC ∠AEH=∠ADC　 ∴ΔAEH∽ΔADC ∴AE/AH=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔHAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立 证明2：（利用外心定理来证明），如图过A、B、C分别做BC、AC、AB的平行线相交于A'、B'、C', ∵AD⊥BC，B'C'//BC ∴DA⊥B'C' ∵B'C'//BC，A' C'//AC ∴四边形BCA C'与四边形BCA B'为平行四边形 ∴AC'=A B' 即A为B'C'中点，又DA⊥B'C' ∴DA为B'C'中垂线 同理可证EB、CF为A' C'、A' B'中垂线 ∴AD、BE、CF交于一点（外心定理） 4、内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。内心到三角 形三边等距，即为三角形内切圆的圆心。 如图，已知：ΔABC中，AI、BI是∠A、∠B的角平分线，ID⊥BC，IE⊥AC,IF⊥AB，求证：∠ACI=∠BCI，IE=IF=ID 证明：∵AI是∠A的角平分线、 ∴∠IAC=∠IAB ∵IE⊥AC,IF⊥AB ∴∠IEA=∠IFA=90° 又IA=IA ∴△AIE≌△AIF ∴IE=IF 同理可证IF=ID 即IE=IF=ID ∵ID⊥BC，IE⊥AC ∴∠IEC=∠IDC =90° 又IC=IC  ∴△CIE≌△CID  ∴∠ECI=∠DCI即∠ACI=∠BCI 5、旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做 三角形的旁心。三角形有三个旁心。 如图，已知OC、OB为ΔABC中∠C、∠B的外角平分线，连接OA，证明:∠OAC=∠OAB 证明：作OD⊥AB、 OE⊥AC、OF⊥BC ∵OC、OB 为∠BCE、∠CBD的平分线，OF⊥BC，OE⊥AC ∴OE=OF ,同理OF=OD ∴OE=OD，又OD⊥AB、 OE⊥AC，OA=OA ∴ΔAEO≌ΔOAD ∴∠OAC=∠OAB 6、中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。 证明 如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。 求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG 又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二：相似法： ∵D是AB中点 ∴AD：AB=1：2 ∵E是AC中点 ∴AE：AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三：坐标法： 设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3） 则一条边长为 ：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2 另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2） 这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法四： 延长DE到点G，使EG=DE，连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 中位线逆定理 逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。 如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。 逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。 如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2 证明：取AC中点E'，连接DE'，则有 AD=BD，AE'=CE' ∴DE'是三角形ABC的中位线 ∴DE'∥BC 又∵DE∥BC ∴DE和DE'重合（过直线外一点，有且只有 一条直线与已知直线平行） ∴E是中点，DE=BC/2 7、角平分线定理及逆定理 定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两条边的距离相等。 逆定理：在一个角的内部（包括顶点），到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 定理2：三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC 注：定理2的逆命题也成立，证明过程见后文。 角平分线的定义 l 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 l 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。 l PS：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 四种证明法 已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB/AC=MB/MC 证明方法一：面积法 S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴S△ABM：S△ACM=AB:AC          又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，  即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB/AC=MB/MC 证明方法二：相似形 过C作CN∥AB交AM的延长线于N 则△ABM∽△NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB/AC=MB/MC 证明方法三：相似形 过M作MN∥AB交AC于N 则△ABC∽△NMC, ∴AB/AC=MN/NC 而在△ABC内，∵MN∥AB ∴AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB/AC=MB/MC 证明方法四：正弦定理 作三角形的外接圆，AM交圆于D(起标明交点作用，对证明无影响） 由正弦定理，得， AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180° sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB/AC=MB/MC