计算机数的运算基础

计算机数的运算基础 附录一 计算机数的运算基础 第一节 进位计数制及相互转换 一、进位计数制 按进位的原则进行计数的方法称之为进位计数制，简称进位制。人们日常生活中习惯上使用十进制，而二进制使于实现、存储、传输，所以计算机中采用二进制。但二进制不易书写和阅读，因此又引入了八进制和十六进制。 1(十进制(后缀或下标D 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示) 十进制计数原则:逢十进一 十进制的基数为:10 十进制的数码为:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k 十进制数第K位的权为:10 (第K位的权为基数的K次方，第K位的数码与第K位权的乘积表示第K位数的值)。 ——321612例如:8846.78=8×10+8×10+4×10+6×10+7×10+8×10 该数中共出现三次数码8，但各自的权不一样，故其代表的值也不一样。 2(二进制(后缀或下标B表示) 二进制计数原则:逢二进一 二进制的基数为:2 二进制的数码为:0 1 K二进制数第K位的权为:2 76543210例如:11010101.01B=1×2+1×2+0×2+1×2+0×2+1×2+0×2+1×2+0×2——12+1×2=213.25 N N位二进制数可以表示2个数。例如3位二进制数可以表示8个数，如附表1所示: 附表1 二 进 制 数 000 001 010 011 100 101 110 111 相应的十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 3(八进制(后缀或下标O表示) 八进制计计数原则:逢八进一 228 八进制的基数为:8 八进制的数码为:0 1 2 3 4 5 6 7 K八进制数第K位的权为:8 210例如:127O=1×8+2×8+7×8=87D 4(十六进制(后缀或下标H表示) 十六进制计数原则:逢十六进一 十六进制的基数为:16 十六进制的数码为:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F k十六进制第K位的权为: 16 —101例如:64.4H=6×16+4×16+4×16=100.25D 十六进制数、二进制和十进制数的对应关系如附表2所示: 附表2 二 进 制 数 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 十 进 制 数 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二 进 制 数 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 十 进 制 数 8 9 10 11 12 13 14 15 十六进制数 8 9 A B C D E F 二、不同进位制之间的转换。 1(二进制数转换为十制数。 转换原则:按权展开求和。 76543210例如:10001101.11B=1×2+0×2+0×2+0×2+1×2+1×2+0×2+1×2+1×2——12+1×2=141.75D 八进制十六进制转换为十进制数也同样遵循该原则，不再单独介绍了。 2(十进制数转换为二进制数 十进制数转换为二进制数的原则:?整数部分:除基取余，逆序排列 ?小数部分:乘基取整，顺序排列 例附—1 将十进数186和0.8125转换成二进制数。 229 低位 高位 高位 低位 因此 : 186D = 10111010B 0.8125D = 0.11011B 注意:当十进制小数不能用有限位二进制小数精确表示时，根据精度要求，采用“0舍1入”法，取有限位二进制小数近似表示。 十进制数转换为八进制，十六进制数同样遵循该原则。 3(二进制转换为十六进制 由于十六进制的基数是2的幂，所以二进制与十六进制之间的转换是十分方便的，二进制转换为十六进制的原则:整数部分从低位到高位四位一组不足补零，直接用十六进制数来表示;小数部分从高位到低位四位一组不足补零，直接用十六进制数表示。 例附—2 将二进制数 10011110.00111转换成十六进制数。 1001 1110 . 0011 1000 9 E 3 8 所以10011110.00111B,9E.38H。 4(十六进制数转换为二进制数 十六进制数转换为二进制数的原则:十六进制数中的每一位用4位二进制数来表示。 例如:将十六进制数A87.B8转换为二进制数。 A 8 7 . B 8 1010 1000 0111 1011 1000 所以A87.B8H=101010000111.10111000B。 八进制的基数同样是2的幂，因此二进制与十六进制之间的转换也遵循以上的原则，只是将原则中的四位改成三位。 230 例如:将二进制数11010110.110101B转换成八进制数。 将八进制数746.42O转换成二进制数。 011 010 110 . 110 101 7 4 6 . 4 2 3 2 6 6 5 111 100 110 100 01 所以，11010110.110101B=326.65O， 746.42O=111100110.100010B 三、八进制数和十六进制数运算 1(二进制数的运算 加法法则 乘法法则 0，0,0 0 X 0=0 0，1,1 0 X 1=0 1，0,1 1 X 0=0 1，1,0(进位1) 1 X 1=1 注意:二进制数加法运算中1，1,0(进位1)和逻辑运算中1?1,1的不同含义。 2(十六进制数的运算 十六进制数的运算遵循“逢十六进一”的原则。 ? 十六进制加法: 十六进制数相加，当某一位上的数码之和S小于16时与十进制数同样处理，如果数码之各S?16时，则应该用S减16及进位1来取代S。 例如: 0 8 A 3 H + 4 B 8 9 H 5 4 2 CH ? 十六进制减法 十六进制减法也与十进制数类似，够减时直接相减，不够减时服从向高位借1为16的原则。 例如: 0 5 C 3 H ,3 D 2 5 H C 8 9 E H 十六进制数的乘除运算同样根据逢十六进一的原则处理，这里不再繁述。 231 第二节 计算机中数和字符的表示 一、计算机中有符号数的表示。 计算机中的数是用二进制来表示的，有符号数中的符号也是用二进制数值来表示，0表示“，”号，1表示“,”号，这种符号数值化之后表示的数称之为机器数，它表示的数值称之为机器数的真值。 为将减法变为加法，以方便运算简化CPU的硬件结构，机器数有三种表示方法:即原码、反码和补码。 1(原码 最高位为符号位，符号位后表示该数的绝对值。 例如: [+112]原=01110000B [—112]原=11110000B 其中最高位为符号位，后面的7位是数值(字长为8位，若字长为16位，则后面15位为数值)。 原码表示时，112和,112的数值位相同，符号位不同。 说明: ? 0的原码有两种表示法: [+0 ]原=00000000B [,0]原=10000000B N—1 N—1? N位原码的表示范围为:1,2,2,1。 例如8位原码表示的范围为:,127,+127 2(反码 最高位为符号位，正数的反码与原码相同，负数的反码为其正数原码按位求反。 [+112 ]反=01110000B [–112]反=10001111B 说明: ? 0的反码有两种表示法: [+0 ]反=00000000B [,0]反=11111111B 232 n—1n—1? N位反码表示的范围为: 1,2,2,1; 例如8位反码表示的范围为 –127,+127。 ? 符号位为1时，其后不是该数的绝对值。 例如反码11100101B的真值为–27，而不是–101。 3(补码 最高位为符号位，正数的补码与原码相同;负数的补码为其正数原码按位求反再加1。 例如: [+112]补 =01110000B [—112]补 =10010000B 说明: ? 0的补码只有一种表示法:[+0]=[—0]=00000000B; n—1n—1? n位补码所能表示的范围为—2,2—1; 例如8位补码表示的范围为,128,+127。 ? 八位机器数中:[—128]补=10000000B，[,128]原，[,128]反不存在。 ? 符号位为1时，其后不是该数的绝对值。 例如:补码11110010B的真值为–14，而不是–114。 有符号数采用补码表示时，就可以将减法运算转换为加法运算。因此计算机中有符号数均以补码表示。 例如: X,84,16,(，84)，(–16)?[X]补=[+84]补+[–16]补 (+84)补 =01010100B (–16)补=11110000B 0 1 0 1 0 1 0 0B + 1 1 1 1 0 0 0 0B 0 1 0 0 0 1 0 0B 1 所以 [X]补=01000100B，即X=68。 在字长为8位的机器中，第7位的进位自动丢失，但这不会影响运算结果。 机器中这一位并不是真正丢失，而是保存在程序状态字PSW中的进位标志Cy中。 233 又如:X,48,88,(，48)，(,88)?[X]补=[+48]补+[—88]补 [+48]补 =00110000B [,88]补=10101000B 0 0 1 1 0 0 0 0B + 1 0 1 0 1 0 0 0B 1 1 0 1 1 0 0 0B 所以 [X]补=11011000B，即X=,40。 为进一步说明补码如何将减法运算转换为加法运算，我们举一日常的例子:对于钟表，它所能表示的最大数为12点，我们把它称之为模，即一个系统的量程或所能表示的最大的数。若当前标准时间为6点，现有一只表为9点，可以有两种调时方法: ? 9,3,6(倒拨) ? 9，9,6(顺拨) 即有9，9,9，3，6,12，6,9,3 因此对某一确定的模，某数减去小于模的一数，总可以用加上该数的负数与其模之各(即补码)来代替。故引入补码后，减法就可以转换为加法。 补码表示的数还具有以下特性: [X，Y]补,[X]补，[Y]补 [X,Y]补,[X]补，[,Y]补 附表3为n,8和n,16时n位补码表示的数的范围。 234 附表3 n位二进制补码数的表示范围 十进制数 二进制数 十六进制数 十进制数 十六进制数 N=8 n=16 +127 01111111 7F +32767 7FFF +126 01111110 7E +32766 7FFE . . . . . +2 00000010 02 +2 0002 +1 00000001 01 +1 0001 0 00000000 00 0 0000 -1 11111111 FF -1 FFFF -2 11111110 EE -2 FFFE . . . . . -126 10000010 82 -32766 8002 -127 10000001 81 -32767 8001 -128 10000000 80 -32768 8000 二、无符号整数 在某些情况下，处理的全是正数时，就不必须再保留符号位。我们把最高有效位也作为数值处理，这样的数称之为无符号整数。8位无符号数表示的范围为:0,255。 计算机中最常用的无符号整数是表示存储单元地址的数。 三、字符表示 字母、数字、符号等各种字符(例如键盘输出的信息或打印输出的信都是按字符方式输出输出)按特定的规则，用二进制编码在计算中表示。字符的编码方式很多，最普遍采用的是美国标准信息交换码ASC?码。 ASC?码是7位二进制编码。计算机中用一个字节表示一个ASC?码字符，最高位默认为0，可用作校验位，见附录二。 235 附录二 美国标准信息交换码,ASCII,字符表 低 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 位 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 高 位 0 0000 NUL SON STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF CR SO SI 1 0001 DLE DCI DC2 DC3 DC4 SYN ETB SYN CAN EM SUB ESC FS GS RS US 2 $ ～ ” ， ( ) ， 。 0010 SP # % * + - / , 3 : : 0011 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = ? , , 4 0100 A B C D E F G H I J K L M N O @ 5 0101 P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] , , 6 、 0110 a b c d e f g h I j k l m n o 7 ( 0111 P q r s t u v w x y z { l } DEL 236 237