《线性代数与空间解析几何》小结
《线性代数》部分小结
:全体
维实向量构成的集合
叫做
维向量空间.
√ 关于
:
称为
的
标准
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正交基;
线性无关;
;
④
;
⑤任意一个
维向量都可以用
线性表示.
行列式的定义
行列式的性质:①按行展开,零行为零,②等行为零,③拆项分和,④初等变换(提取因子,换行变号,倍加不变),比例为零,⑤转置相等.
√ 行列式的计算:
行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
若
都是方阵(不必同阶),则
(拉普拉斯展开式)
上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线:
(即:所有取自不同行不同列的
个元素的乘积的代数和)
⑤范德蒙德行列式:
矩阵的定义 由
个数排成的
行
列的表
称为
矩阵.记作:
或
伴随矩阵
,
为
中各个元素的代数余子式.
√ 逆矩阵的求法:
:
√ 方阵的幂的性质:
√ 设
的列向量为
,
的列向量为
,
则
,
为
的解
可由
线性表示.即:
的列向量能由
的列向量线性表示,
为系数矩阵.
同理:
的行向量能由
的行向量线性表示,
为系数矩阵.
即:
√ 用对角矩阵
乘一个矩阵,相当于用
的对角线上的各元素依次乘此矩阵的
向量;
用对角矩阵
乘一个矩阵,相当于用
的对角线上的各元素依次乘此矩阵的
向量.
√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√ 分块矩阵的转置矩阵:
分块矩阵的逆矩阵:
分块对角阵相乘:
,
分块对角阵的伴随矩阵:
√ 矩阵方程的解法(
):设法化成
1 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
2 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.
3 部分相关,则整体相关;整体无关,则部分无关. (向量个数变动)
4 少维无关,则多维无关;多维相关,则少维相关. (向量维数变动)
5 两个向量线性相关
对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关.
6 向量组
中任一向量
≤
≤
都是此向量组的线性组合.
7 向量组
线性相关
向量组中至少有一个向量可由其余
个向量线性表示.(相关有一被表出)
向量组
线性无关
向量组中每一个向量
都不能由其余
个向量线性表示.(无关无一被表出)
8
维列向量组
线性相关
;
维列向量组
线性无关
.
9 若
线性无关,而
线性相关,则
可由
线性表示,且表示法唯一.(无关加一变相关,后加唯一被表出)
10 矩阵的行向量组的秩
列向量组的秩
矩阵的秩,(三秩相等).行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线,线的下方全为
;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是
时,称为行最简形矩阵
11 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系;(行变不改列相关)
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. (列变不改行相关)
即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:
对
施行一次初等
变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵
乘
;
对
施行一次初等
变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵
乘
.
矩阵的秩 如果矩阵
存在不为零的
阶子式,且任意
阶子式均为零,则称矩阵
的秩为
.记作
向量组的秩 向量组
的最大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作
矩阵等价
经过有限次初等变换化为
. 记作:
向量组等价
和
可以相互线性表示. 记作:
12 矩阵
与
等价
,
可逆
作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.
矩阵
与
作为向量组等价
矩阵
与
等价.
13 向量组
可由向量组
线性表示
有解
≤
.
14 向量组
可由向量组
线性表示,且
,则
线性相关.(多被少表出,多的必相关)
向量组
线性无关,且可由
线性表示,则
≤
.(无关被表出,个数不会多)
15 向量组
可由向量组
线性表示,且
,则两向量组等价;
16 任一向量组和它的最大无关组等价.向量组的任意两个最大无关组等价.
17 向量组的最大无关组不唯一,但最大无关组所含向量个数唯一确定.
18 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
19 设
是
矩阵,若
,
的行向量线性无关;
若
,
的列向量线性无关,即:
线性无关.
√ 矩阵的秩的性质:
①
≥
≤
≤
②
③
④
⑤
≤
⑥
即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦若
;
若
⑧
等价标准型.
⑨
≤
≤
≤
⑩
:
线性方程组的矩阵式
向量式
矩阵转置的性质:
矩阵可逆的性质:
伴随矩阵的性质:
(无条件恒成立)
线性方程组解的性质:
√ 设
为
矩阵,若
一定有解,
当
时,一定不是唯一解
,则该向量组线性相关.
是
的上限.
√ 判断
是
的基础解系的条件:
①
线性无关;
②
都是
的解;
③
.
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
√ 若
是
的一个解,
是
的一个解
线性无关
√
与
同解(
列向量个数相同),则:
① 它们的最大无关组相对应,从而秩相等;
② 它们对应的部分组有一样的线性相关性;
③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 两个齐次线性线性方程组
与
同解
.
√ 两个非齐次线性方程组
与
都有解,并且同解
.
√ 矩阵
与
的行向量组等价
齐次方程组
与
同解
(左乘可逆矩阵
);
矩阵
与
的列向量组等价
(右乘可逆矩阵
).
√ 关于公共解的三中处理办法:
1 把(I)与(II)联立起来求解;
2 通过(I)与(II)各自的通解,找出公共解;
当(I)与(II)都是齐次线性方程组时,设
是(I)的基础解系,
是(II)的基础解系,则 (I)与(II)有公共解
基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.
即:
当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时,设
是(I)的通解,
是(II)的通解,两方程组有公共解
可由
线性表示. 即:
3 设(I)的通解已知,把该通解代入(II)中,找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。
标准正交基
个
维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
向量
与
的内积
. 记为:
向量
的长度
是单位向量
. 即长度为
的向量.
√ 内积的性质: ① 正定性:
② 对称性:
③ 双线性:
的特征矩阵
.
的特征多项式
.
√
是矩阵
的特征多项式
的特征方程
.
√
,
称为矩阵
的迹.
√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的
各元素.
√ 若
,则
为
的特征值,且
的基础解系即为属于
的线性无关的特征向量.
√
一定可分解为
=
、
,从而
的特征值为:
,
.
为
各行的公比,
为
各列的公比.
√ 若
的全部特征值
,
是多项式,则:
① 若
满足
的任何一个特征值必满足
②
的全部特征值为
;
.
√ 初等矩阵的性质:
(对换初等阵)
(倍乘初等阵)
(倍加初等阵)
√ 设
,对
阶矩阵
规定:
为
的一个多项式.
√
√
√
的特征向量不一定是
的特征向量.
√
与
有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
与
相似
(
为可逆矩阵) 记为:
与
正交相似
(
为正交矩阵)
可以相似对角化
与对角阵
相似. 记为:
(称
是
的相似标准形)
√
可相似对角化
为
的代数重数
恰有
个线性无关的特征向量. 这时,
为
的特征向量拼成的矩阵,
为对角阵,主对角线上的元素为
的特征值.设
为对应于
的线性无关的特征向量,则有:
.
:当
为
的重特征值时,
可相似对角化
的重数
基础解系的个数.
√ 若
阶矩阵
有
个互异的特征值
可相似对角化.
√ 若
可相似对角化,则其非零特征值的个数(重根重复计算)
.
√ 若
=
,
√ 相似矩阵的性质:
①
,从而
有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
是
关于
的特征向量,
是
关于
的特征向量.
②
③
从而
同时可逆或不可逆
④
⑤
;
(若
均可逆);
⑥
(
为整数);
,
⑦
前四个都是必要条件.
√ 数量矩阵只与自己相似.
√ 实对称矩阵的性质:
① 特征值全是实数,特征向量是实向量;
② 不同特征值对应的特征向量必定正交;
:对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
③一定有
个线性无关的特征向量.
若
有重特征值,该特征值
的代数重数=
;
④必可用正交矩阵相似对角化,即:任一实二次型可经正交变换化为标准形;
⑤与对角矩阵
合同
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,即:任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形;
⑥两个实对称矩阵相似
有相同的特征值.
正交矩阵
√
为正交矩阵
的
个行(列)向量构成
的一组标准正交基.
√ 正交矩阵的性质:①
;
②
;
③ 正交阵的行列式等于1或-1;
④
是正交阵,则
,
也是正交阵;
⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵;
⑥
的行(列)向量都是单位正交向量组.
二次型
,即
为对称矩阵,
与
合同
. 记作:
(
)
正惯性指数 二次型的
规范
编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载
形中正项项数
负惯性指数二次型的规范形中负项项数
符号差
(
为二次型的秩)
√ 两个矩阵合同
它们有相同的正负惯性指数
他们的秩与正惯性指数分别相等.
√ 两个矩阵合同的充分条件是:
√ 两个矩阵合同的必要条件是:
√
经过
化为
标准形.
√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由
唯一确定的.
√ 当标准形中的系数
为-1或0或1时,称为二次型的规范形 .
√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.
√任一实对称矩阵
与唯一对角阵
合同.
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