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对称式与轮换对称式.doc 八年级实验班竞赛专题 -------对称式与轮换对称式 1( 基本概念 fxxx()，，，【定义1】一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数n12n 式不变，即对于任意的()，都有 1,,,ijnij， fxxxxfxxxx()()，，，，，，，，，，，，,11ijnjin 那么，就称这个代数式为元对称式，简称对称式。 n xy，222例如，xyxyxyzxyyzzx，，，，，，，，，都是对称式。 xy 如果元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为元对称多项式。 nn 由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 33232bxyayaz，式中，若有项，则必有项;若有项，则必有，fxyz()，，axbxz 2222byzbyxbzxbzy，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三n xyz，，个字母的二次对称多项式的般形式是: 222axyzbxyyzzxcxyzd()()()，，，，，，，，， 【定义2】如果一个元多项式的各项的次数均等于同一个常数r，那么称这个多项式n 为元r次齐次多项式。 n fxxx()，，，t由定义2知，元多项式是r次齐次多项式，当且仅当对任意实数有 n12n r。 ftxtxtxtfxxx()()，，，，，，,1212nn 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为: 333222222axyzbxyxzyxyzzxzycxyz()()，，，，，，，，， 。 fxxx()，，， 【定义3】一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数12n 式均改变符号，即对于任意的，都有 1,,,ijnij，，， fxxxxfxxxx()()，，，，，，，，，，，，,,11ijnjin 那么就称这个代数式为n元交代式。 xy,xyxyyzzx,,,,，，()()()例如，均是交代式。 xy， 1 xfxxx()，，，xxx，，，【定义4】如果一个交代数式，如果将字母以代n212n12nxxxxx，，，代代xx，代后代数式不变，即 13n2nn,11 fxxxfxxxx()()，，，，，，，, 12231nn 那么称这个代数式为元轮换对称式，简称轮换式。 n 222axyz()，，显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，是对 222bxyyzzx()，，称式也是轮换式;是轮换式，但不是对称式。 对称式、交代式、轮换式之间有如下性质: (1)两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式; (2)两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式; (3)同字母的对称式与交代式的积、商是交代式; (4)两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式; (5)多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。 【定义5】下面个对称多项式称为元基本对称多项式。 nn n ()xxxx，，，,,,112ni ,1i n ,()xxxxx，，，, ,212nij1,,,ijn … … … n ,()xxxxxx，，，,,12kniii12k,,,,,1iiin12k … … … ,()xxxxxx，，，, nnn1212 例如，二元基本对称多项式是指， xyxy，， 三元基本对称式是指 xyzxyyzzxxyz，，，，，， 当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n元对称多项式都可以表示为基本对称 多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。 2 2(对称式、轮换式、交代式在解题中的应用 为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形， 只需作类似的处理即可。 下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧 (1)若是对称式，则在解题中可设。(为什么,) fxyz()，，xyz,, xy，pxzyz，;，p是对称式，则当满足性质时，也满足性质。 (2)若fxyz()，， (3)若是轮换式，则在解题中可设最大(小)，但不能设。(为fxyz()，，xxyz,, 什么,) xy，pyzzx，;，p (4)若是轮换式，且满足性质，则也满足性质。 fxyz()，， xyyzzx,,,，， (5)若是交代多项式，则是的因式，即fxyz()，，fxyz()，， 其中是对称式。 gxyz()，， fxyzxyyzzxgxyz()()()()()，，，，,,,, 其中是对称式。 gxyz()，， 在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式 是常用的。 齐次对称多项式的一般形式: (1)二元齐次对称多项式 一次:， axy()， 22axybxy()，， 二次: 33axybxyxy()()，，， 三次: (2)三元齐次对称多项式 一次: axyz()，， 222axyzbxyyzzx()()，，，，， 二次: 333222，，axyzbxyzyzxzxycxyz()()()()，，，，，，，，， 三次: ，， 判定是否为多项式fxyz(,,)，的因式的方法是:令mxnyrz，，,0，计mxnyrz，， fxyz()，，fxyz()=0，，fxyz()，，算，如果，那么就是的因式，在实际mxnyrz，，操作时，可首先考虑的如下特殊情形: mxnyrz，， xxyxyxyzxyz，，，，，,，，,， 3 222222fxyzxyxyyzyzzxzx()()()()，，,,，,，,【例1】:已知多项式 (1)求证:是齐次式;(2)求证:是轮换式; fxyz()，，fxyz()，， (3)求证:是交代式;(4)分解因式。 fxyz()，，fxyz()，， (4)? 是交代多项式，? 是它的因式。又因为fxyz()，，xyyzzx,,,，，，，，， 是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式。 fxyz()，，xyz，， 于是，可表示为 fxyz()，， 333fxyzxyzxyz()3，，,，，,【例2】:分解因式。 4 222222444fxyzxyyzzxxyz()2()()，，,，，,，，【例3】:分解因式。 5555fxyzxyzxyz()()，，,，，,,,【例4】:分解因式 5 444fxyxyxy(,)(),，，，【例5】:分解因式。 】:分解因式 【例6 222222()(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)yzxyxzzxyzyxxyzxzy,，，，,，，，,，，。 故 fxyzxyyzzxxyzxyz，，,,,,，，，，，，，，，，，，， 6 对称式与轮换对称式练习题: 555fxyzxyyzzx()()()()，，,,，,，,1(已知 (1)求证:为5次齐次式; (2)求证:为轮换式; ff (3)求证:为交代式; (4)分解因式。 ff2(分解因式 22222fxyxxyyxyxy()()4()，,，，,，(1) 4444444fxyzxyzxyzyzzxxy()()()()()，，,，，，，，,，,，,，(2) 333fxyzxyyzzx()()，，,,，,，,(3) ，，，， (4) fxyzxyyzzxxyzxyz()，，,，，，，,，，，， 444(5) fxyzxyzyzxzxy()，，,,，,，,，，，，，， 3333fxyzxyzxyz()，，,，，,,,(6) ，， 333222222fxyzxyzxyzyzxzxyxyz()2，，,，，,，,，,，，(7) ，，，，，， 222222fxyzxyxyxzxzyzyzxyz()3，，,，，，，，，(8) 222333fxyzxyzyzxzxyxyzxyz()2，，,，，，，，,，，,(9) ，，，，，，，， 2fabcdbcdcdadababcbcadcdabdbac()，，，,，，，,,,,(10) ，，，，，，，， 7 练习答案与提示: 2225()()()()xyyzzxxyzxyyzzx,,,，，,,,1( 2222fkxAxyyxBxyy,，，，，()()2((1)可设，可求得 kAB,,,,11， (2)可设，可求出 fkxyzxyz,，，()k,12(3)可设，可求出 fkxyyzzx,,,,()()()k,3(4)可设，可求出 fkxyyzzx,，，，()()()k,1 222，，AB,,15)fxyyzzxAxyzBxyyzzx,,,,，，，，，()()()()()，可求出 (，， (6) 3()()()xyyzzx，，， (7) ()()()xyzyzxzxy,,,,,, (8) ()()xyzxyyzzx，，，， (9) ()()()xyzyzxzxy，,，,，, (10)当时，，?有的因式，可设 f,0fabcd,,,abcd 2222，，fabcdAabcdBabbccddaacbd,，，，，，，，，，()()， ，， 2fabcdabcd,，，，()可求得，? AB,,12， 8