高考训练大
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
之 函数1
1．（本小题满分12分）设
为常数，已知函数
在区间
上是增函数，
在区间
上是减函数．
（1）设
为函数
的图像上任意一点，求点
到直线
的距离的最小值；
（2）若对任意的
且
，
恒成立，求实数
的取值范围．
解：（Ⅰ）∵
在区间
上是增函数，
∴当
时，
恒成立，
即
恒成立，所以
．
又
在区间
上是减函数，
故当
时，
恒成立，即
恒成立，所以
．
综上，
．
由
，得
，
令
，则
，
而
，所以
的图象上
处的切线与直线
平行，
所以所求距离的最小值为
．………………………………………（6分）
（Ⅱ）因为
，
则
，
因为当
时，
恒成立，
所以
，
因为当
时，
，所以
上是减函数，
从而
，
所以当
时，
，即
恒成立，
所以
．
因为
在
上是减函数，所以
，
从而
，即
，
故实数
的取值范围是
．………………………………………………………（12分）
2．设函数
在
处取得极值
．
（1）设点
，求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程．
（2）若过点
可作曲线
的三条切线，求
的取值范围；
（3）设曲线
在点
，
(
)处的切线都过点
，
证明：
19．解：（1）
，由题意可得
，
，解得
经检验，
在
处取得极大值。
………………………2分
设切点为
，则切线方程为
即为
……………………………………………………3分
把
代入可得
，即为
∴
，即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条.
切线方程为
………………………………………………………5分
（2）因为切线方程为
，把
代入可得
，
因为有三条切线，故方程
有三个不同的实根.………………………6分
设
，令
=0，可得
和
+
0
一
0
+
增
极大值
减
极小值
增
因为方程有三个根，故极小值小于零，
，所以
………………10分
（3）假设
，则
，所以
…………11分
由题意可得
两式相减可得
因为
，故
把
代入可得
，所以
所以
……………………………………………………………………………14分
又由
，矛盾。所以假设不成立，即证
………16分
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