初二数学动点问题

初二数学动点问题 1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD?BC，?B=90?，AD=24cm，AB=8cm， BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;动点Q 从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动(P、Q分别从点A、C同时 出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts( (1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形, (2)当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形, (3)当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形, 分析: (1)四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ( (2)四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE( (3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC( 所有的关系式都可用含有t的方程来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，即此题只要解三个方程即可( 解答: 解:(1)?四边形PQCD平行为四边形 ?PD=CQ ?24-t=3t 解得:t=6 即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形( (2)过D作DE?BC于E 则四边形ABED为矩形 ?BE=AD=24cm 1 ?EC=BC-BE=2cm ?四边形PQCD为等腰梯形 ?QC-PD=2CE 即3t-(24-t)=4 解得:t=7(s) 即当t=7(s)时，四边形PQCD为等腰梯形( (3)由题意知:QC-PD=EC时， 四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2 解得:t=6.5(s) 即当t=6.5(s)时，四边形PQCD为直角梯形( 点评: 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中( 2. 如图，?ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN?BC，设MN交?BCA的外角平分线CF于点F，交?ACB内角平分线CE于E( (1)试说明EO=FO; (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论; (3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想?ABC的形状并证明你的结论( 分析: (1)根据CE平分?ACB，MN?BC，找到相等的角，即?OEC=?ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO( (2)利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形( (3)利用已知条件及正方形的性质解答( 解答: 解:(1)?CE平分?ACB， ??ACE=?BCE， ?MN?BC， ??OEC=?ECB， 2 ??OEC=?OCE， ?OE=OC， 同理，OC=OF， ?OE=OF( (2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形( 如图AO=CO，EO=FO， ?四边形AECF为平行四边形， ?CE平分?ACB， ??ACE= ?ACB， 同理，?ACF= ?ACG， ??ECF=?ACE+?ACF= (?ACB+?ACG)= ×180?=90?， ?四边形AECF是矩形( (3)?ABC是直角三角形 ?四边形AECF是正方形， ?AC?EN，故?AOM=90?， ， ?MN?BC ??BCA=?AOM， ??BCA=90?， ??ABC是直角三角形( 点评: 本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论(1)，再利用结论(1)和矩形的判定证明结论(2)，再对(3)进行判断(解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法(是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用( 3. 如图，直角梯形ABCD中，AD?BC，?ABC=90?，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动(过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N(P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度(当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动(设点Q运动的时间为t秒( (1)求NC，MC的长(用t的代数式表示); (2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形; (3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将?ABC的面积和周长同时平分,若存在，求出此时t的值;若不存在，请说明理由; (4)探究:t为何值时，?PMC为等腰三角形( 3 分析: (1)依据题意易知四边形ABNQ是矩形?NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解;?AB?QN，??CMN??CAB，?CM:CA=CN:CB，(2)CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM; 四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解; (3)可先根据QN平分?ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值(然后根据得出的t的值，求出?MNC的面积，即可判断出?MNC的 面积是否为?ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值((4)由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论: ?当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值( ?当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值( ?当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值( 综上所述可得出符合条件的t的值( 解答: 解:(1)?AQ=3-t ?CN=4-(3-t)=1+t 在Rt?ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42 ?AC=5 在Rt?MNC中，cos?NCM= = ，CM= ( (2)由于四边形PCDQ构成平行四边形 ?PC=QD，即4-t=t 解得t=2( (3)如果射线QN将?ABC的周长平分，则有: MN+NC=AM+BN+AB 即: (1+t)+1+t= (3+4+5) 解得:t= (5分) 而MN= NC= (1+t) 4 ?S?MNC= (1+t)2= (1+t)2 当t= 时，S?MNC=(1+t)2= ? ×4×3 ?不存在某一时刻t，使射线QN恰好将?ABC的面积和周长同时平分( (4)?当MP=MC时(如图1) 则有:NP=NC 即PC=2NC?4-t=2(1+t) 解得:t= ?当CM=CP时(如图2) 则有: (1+t)=4-t 解得:t= ?当PM=PC时(如图3) 则有: 在Rt?MNP中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC= (1+t) PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3 ?[ (1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2 解得:t1= ，t2=-1(舍去) ?当t= ，t= ，t= 时，?PMC为等腰三角形 点评: 此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质(考查学生分类 5 讨论和数形结合的数学思想方法( 4. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止(已知在相同时间内，若BQ=xcm(x?0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm( (1)当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形; (2)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形; (3)以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形,如果能，求x的值;如果不能，请说明理由( 分析: 以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC?BC即x+3x?20cm;或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND?AD即2x+x2?20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm(所以可以根据这两种情况来求解x的值( 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧(当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND;当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD(所以可以根据这些条件列出方程关系式( 如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND?AD即2x+x2?20cm，BQ+MC?BC即x+3x?20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x?0(这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形( 解答: 解:(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形( ?当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1(舍去)( 因为BQ+CM=x+3x=4( -1),20，此时点Q与点M不重合( 所以x= -1符合题意( ?当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5( 此时DN=x2=25,20，不符合题意( 故点Q与点M不能重合( 6 所以所求x的值为 -1( (2)由(1)知，点Q只能在点M的左侧， ?当点P在点N的左侧时， 由20-(x+3x)=20-(2x+x2)， 解得x1=0(舍去)，x2=2( 当x=2时四边形PQMN是平行四边形( ?当点P在点N的右侧时， 由20-(x+3x)=(2x+x2)-20， 解得x1=-10(舍去)，x2=4( 当x=4时四边形NQMP是平行四边形( 所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形( (3)过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F( 由于2x,x， 所以点E一定在点P的左侧( 若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF， 即2x-x=x2-3x( 舍去)，x2=4( 解得x1=0( 由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形( 点评: 本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点( 5. 如图，在梯形ABCD中，AD?BC，?B=90?，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s;点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒( (1)当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形, (2)当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形, 分析: 7 (1)根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值; (2)根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可( 解答: 解:(1)?MD?NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形; (2)作DE?BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-(15-t)=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形 点评: 考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容( 6. 如图，在直角梯形ABCD中，AD?BC，?C=90?，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t(s)( (1)设?BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系; (2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形, 分析: (1)若过点P作PM?BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知:s= PM×QB=96-6t; (2)本题应分三种情况进行讨论，?若PQ=BQ，在Rt?PQM中，由 8 PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出; ?若BP=BQ，在Rt?PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出; ?若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出( 解答: 解:(1)过点P作PM?BC于M，则四边形PDCM为矩形( ?PM=DC=12， ?QB=16-t， ?s= •QB•PM= (16-t)×12=96-6t(0?t? )( (2)由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况 : ?若PQ=BQ，在Rt?PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2，解得 ; ?若BP=BQ，在Rt?PMB中，PB2=(16-2t)2+122，由PB2=BQ2得(16-2t)2+122=(16-t)2，此方程无解，?BP?PQ( ?若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=(16-2t)2+122得 ，t2=16(不合题意，舍去)( 综上所述，当 或 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形( 点评: 9 本题主要考查梯形的性质及勾股定理(在解题(2)时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象( 7. 直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止(点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O?B?A运动( (1)直接写出A、B两点的坐标; (2)设点Q的运动时间为t(秒)，?OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式; (3)当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标( 分析: (1)分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标; (2))因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出， 当P在线段OB上运动(或0?t?3)时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动(或3,t?8)时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD?OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案; (3)令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标( 解答: 解:(1)y=0，x=0，求得A(8，0)B(0，6)， (2)?OA=8，OB=6，?AB=10( ?点Q由O到A的时间是 81=8(秒)， ?点P的速度是 6+108=2(单位长度/秒)( 当P在线段OB上运动(或O?t?3)时， OQ=t，OP=2t，S=t2( 当P在线段BA上运动(或3,t?8)时， OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t， 如图，做PD?OA于点D， 由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5( 10 ?S= 12OQ•PD=- 35t2+245t( (3)当S= 485时，? 485,12×3×6?点P在AB上 当S= 485时，- 35t2+245t= 485 ?t=4 ?PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8 AD= 82-(245)2= 325 ?OD=8- 325= 85 ?P( 85， 245) M1( 285， 245)，M2(- 125， 245)，M3( 125，- 245) 点评: 本题主要考查梯形的性质及勾股定理(在解题(2)时，应注意分情况进行讨论， 防止在解题过程中出现漏解现象( 11