第三节 无穷小量与无穷大量
教学目标：1.了解无穷小量和无穷大量的概念
2.理解无穷小量的性质
教学重点：无穷小量、无穷大量的概念
教学难点：无穷小量的性质
教学课时：2学时
教学方法：讲授法
教学过程：
1.3.1无穷小量
定义1.12：如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小
特别地 以零为极限的数列{xn}称为n时的无穷小
例如
因为
所以函数
为当x时的无穷小
因为
所以函数为x1当x1时的无穷小
因为
所以数列{
}为当n时的无穷小
讨论 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？
提示 无穷小是这样的函数 在xx0(或x)的过程中 极限为零 很小很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零
说明：
1.无穷小量对函数中对
都适用
2.无穷小量的定义对数列也适用
3.无穷小量是以0为极限的变量，不能把很小的常数看做无穷小量。（0是唯一可以作为无穷小量的常数）
4.无穷小量是对某一个变化过程而言的
5.无穷小是以绝对值而言的
无穷小与函数极限的关系
定理1 在自变量的同一变化过程xx0(或x)中 函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)A 其中是无穷小
证明：设
0 ? 0 使当0|xx0|?时 有
|f(x)A|ε
令f(x)A 则是xx0时的无穷小 且
f(x)A
这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小之和
反之 设f(x)A 其中A 是常数 是xx0时的无穷小 于是
|f(x)A|||
因是xx0时的无穷小 0 ? 0 使当0|xx0|? 有
||ε 或|f(x)A|<ε?
这就证明了A 是f(x) 当? xx0时的极限
简要证明 令f(x)A 则|f(x)A|||
如果 0 ? 0 使当0|xx0|? 有f(x)A|<ε??就有||ε
反之如果 0 ? 0 使当0|xx0|? 有||ε???就有f(x)A|<ε
这就证明了如果A 是f(x) 当? xx0时的极限 则是xx0时的无穷小 如果是xx0时的无穷小 则A 是f(x) 当? xx0时的极限
类似地可证明x时的情形
1.3.2 无穷大量
定义：1.13 如果在x的某一变化过程中，
是无穷小量，则在该变化过程中，
为无穷大量，简称无穷大，记作：
如果在x的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大（函数） 就称函数 f(x)为当xx0(或x)时的无穷大 记为
(或
)
应注意的问题 当xx0(或x)时为无穷大的函数f(x) 按函数极限定义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述函数的这一性态 我们也说“函数的极限是无穷大” 并记作
(或
)
讨论 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?
提示
M0 0 当0|x
| 时 有|f(x)|M
正无穷大与负无穷大
例2 证明
证 因为M0
当0|x1| 时 有
所以
提示 要使
只要
铅直渐近线
如果
则称直线
是函数yf(x)的图形的铅直渐近线
例如 直线x1是函数
的图形的铅直渐近线
定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)
在自变量的同一变化过程中 如果f(x)为无穷大
则
为无穷小 反之 如果f(x)为无穷小 且f(x)0 则
为无穷大
简要证明
如果
且f(x)0 那么对于
0 当0|x
| 时
有
由于当0|x
| 时 f(x)0 从而
所以
为xx0时的无穷大
如果
那么对于
0当0|x
| 时
有
即
所以为xx时的无穷小
简要证明
如果f(x)0(xx0)且f(x)0 则 0 0
当0|x x0| 时 有|f(x)| 即 所以f(x)(xx0)
如果f(x)(xx0) 则M0 0当0|x x0| 时
有|f(x)|M 即 所以f(x)0(xx0)
1.3.3无穷小量的性质
性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，
性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，
性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，
性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
例：求
1.3.4无穷小量的阶（阶：理解为无穷小量趋近于零的速度）
定义1.14：设
是同一变化过程中的两个无穷小量
如果
，就说
是比
高阶的无穷小量，记作
如果
，就说
是比
低阶的无穷小量，
如果
，就说
是比
同阶的无穷小量，
如果
，就说
是关于
的k阶无穷小量，
如果
，就说
是比
等价无穷小量，记作
补充：常见的等价无穷小量 当
时
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