初中2年级例题
分析
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［平行线等分线段定理］
1
1 如图，在?ABCD中，P、Q是AD边上的三等分点，R、S是BC边上的三等分点，K、L、M分别是PB、QR、DS与对角线AC的交点，求证AK＝KL＝LM＝MC．
分析：由于AP＝PQ＝QD，BR＝RS＝SC，所以要证AC被BP、RQ、SD等分，只要证BP?RQ?SD即可．
1?AD‖BC，PQ＝BR＝AD， 3
?四边形BRQP是平行四边形．
?PB?QR．
同理QR?DS．
PB?QR?DS．
AP＝PQ＝QD，
AK＝KL＝LM．
KL＝LM＝MC．
AK＝KL＝LM＝MC．
1）利用平行线等分线段定理及其推论，是证明线段相等的重要方法．
2）与本题类似的其他题目有：
?ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的中点，CM、AN分别交BD
于E、F点．求证：BE＝EF＝FD．
?ABCD中，AC、BD相交于点O，以点A为端点引射线AM，分
别过B、C、D、O向射线AM作垂线，垂足分别为B′、C′、D′、O′．求证AD′＝2 已知：如图，
B′C′．
分析：要证AD′＝B′C′，AO′＝O′C′和D′O′＝O′B′即可．由于图中有
一组平行线，且AO＝OC，DO＝OB，所以可利用平行线等分线段定理来证明 AO′＝O′C′、D′O′＝O′B′．
DD′?AM，OO′?AM，BB′?AM，
DD′?OO′?BB′．
?ABCD中，DO＝OB，AO＝OC，
D′O′＝O′B′，AO′＝O′C′．
AO′－D′O′＝O′C′－O′B′，
即AD′＝B′C′．
1）本例中，由AO＝OC，OO′＝CC′，推得AO′＝O′C′，以及由DO＝OB、DD′?DO′?BB′，推得D′O′＝O′B′，实际上这运用的是平行线等分线段定理
的两个推论．
2）与本题类似的题目还有：
?ABCD的顶点A、B、C、D作一组平行线，分别交任意一条直线l于A′、B′、C′、D′．求证：A′D′＝B′C′，A′B′＝C′D′．
2
ABCD中，AD?BC，DC?BC，E为AB的中点． 求证：EC＝ED． 3 已知：如图，梯形
CE＝DE，只要证E点在CD的垂直平分线上．因此，如图作EF?BC，容易得到EF?CD，再运作平行线等分线段定理的推论，即可得知EF平分CD．
E点作EF?BC，交CD于F点．
EF?BC?AD，AE＝BE，
DF＝CF．
BC?CD，
EF?CD．
EF为CD的垂直平分线，
EC＝ED．
1）本例中，虽然不能用平行线等分线段定理直接证出EC＝ED，但是可用它证出
CF＝DF，进而证出EC＝ED，整个证明过程简捷清晰．由此可见，在证明过程中注意运
用平行线等分线段定理及其推论是很重要的．
ABCD中，AD?BC，BD?AD，E为AC的中点．求证：BE＝
2）与本题类似的其他题目还有：
DE．
4 已知：如图，在?ABC中，M为AB的中点，MP?BC交AC于N，且交?ACE
的平分线于P．求证：AP?PC．
AP?PC，只要证?2＝?3，?4＝?5，只要证NC＝NP＝AN即可．
MP?BE，
1＝?3．
1＝?2，
2＝?3．
NC＝NP．
MN ?BC，且AM＝MB，
AN＝NC＝NP．
4＝?5．
3＋?4＝?2＋?5＝90?．
APC＝90?．
AP?CP．
1）涉及到过三角形或梯形一边中点与另一边平行的直线的问题．常常要综合运用平
行线等分线段定理的两个推论来解决．
ABC中，M是AB的中点，过M作MN?BC，交AC于N点，延2）与本题类似的题目还有：
长MN至D点，使得ND＝MN，求证：CD‖BM．
浙公网安备 33021202002483