弦切角定理证明
方法
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弦切角定理证明方法
弦切角定理证明方法连OC、OA，则有OC?CD于点C。得OC‖AD，知?OCA=?CAD。
而?OCA=?OAC，得?CAD=?OAC。进而有?OAC=?BAC。 由此可知，0A与AB重合，即AB为?O的直径。
连接BC，且作CE?AB于点E。立即可得?ABC为Rt?，且?ACB=Rt?。 由射影定理有AC =AE*AB。又?CAD=?CAE，AC公用，?CDA=?CEA，
得?CEA??CDA，有AD=AE，所以，AC =AB*AD。 第一
题
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重新证明如下:
首先证明弦切角定理，即有?ACD=?CBA 。
连接OA、OC、BC，则有
?ACD+?ACO=90?
=
=
=?ACO+?AOC,
所以?ACD=?AOC，
而?CBA=?AOC，
得?ACD=?CBA 。
另外，?ACD+?CAD=90?，?CAD=?CAB，
所以有?CAB+?CBA=90?，得?BCA=90?，进而AB为?O的直径。 2
证明一:设圆心为O，连接OC，OB,。
??TCB=90-?OCB
??BOC=180-2?OCB
?,?BOC=2?TCB
??BOC=2?CAB
??TCB=?CAB
证明已知:AC是?O的弦，AB是?O的切线，A为切点，弧是弦切角?BAC所夹的弧.
求证:
证明:分三种情况:
圆心O在?BAC的一边AC上
?AC为直径，AB切?O于A，
?弧CmA=弧CA
?为半圆,
??CAB=90=弦CA所对的圆周角 圆心O在?BAC的内部.
过A作直径AD交?O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA
则有:?CED=?CAD、?DEA=?DAB ? ?CEA=?CAB
?
圆心O在?BAC的外部,
过A作直径AD交?O于D
那么 ?CDA+?CAD=?CAB+?CAD=90 ??CDA=?CAB
?
编辑本段弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
应用举例
例1:如图，在Rt?ABC中，?C=90，以AB为弦的?O与AC相切于
点A，?CBA=60? , AB=a 求BC长. 解:连结OA，OB.
?在Rt?ABC中, ?C=90
??BAC=30?
?BC=1/2a
例2:如图，AD是ΔABC中?BAC的平分线，经过点A的?O与BC切
于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证:EF?BC.
证明:连DF.
AD是?BAC的平分线?BAD=?DAC ?EFD=?BAD
?EFD=?DAC
?O切BC于D ?FDC=?DAC ?EFD=?FDC
EF?BC
例3:如图，ΔABC内接于?O，AB是?O直径，CD?AB于D，MN切
?O于C，
求证:AC平分?MCD，BC平分?NCD. 证明:?AB是?O直径
??ACB=90
?CD?AB
??ACD=?B，
?MN切?O于C
??MCA=?B，
??MCA=?ACD，
即AC平分?MCD，
同理:BC平分?NCD.
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