向量的应用

向量的应用 重点难点分析: 1(P点分有向线段 是所分有向线段数量的比，不是有向线段的长度的比，更不是有向线段的比。当点P在线段P1P2上且异于P1，P2点时，点P是P1P2的内分点， ，因为此时 同向;当P在线段 的延长线或反向延长线上时，点P是 的外分点， ，因为此时 方向相反。 2(将一个图形平移，图形的形状、大小不变，只是在平面内的位置发生了变化，因此在平移前后，图形中那些与位置无关的几何量，例如图形上任意两点之间线段的线段长都是不变的，而那些与位置有关的对象，例如图形上点 的坐标，图形的解析式等都会发生变化。 3(正、余弦定理，三角形面积公式，重点是利用内角和、边角之间的关系、三角函数式的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形以及利用它们去解决实际问题。 典型例题: 例1(已知点P1(2,1)，P2(4,-3)，求下列情况下，点P分有向线段 所成的比 及P点的坐标。 (1)点P在 上，且 ; (2)点P在 的延长线上， ; (3)点P在 的延长线上， 。 解析:(1) ，? =3， 由定比分点公式得 ，即P点坐标为 。 (2) ，? ，代入公式得P点坐标为(8,-11)。 (3) ，? ，代入公式得P点坐标为(-2,9)。 例2( (1)把点A(3,5)按向量 =(4,5)平称，求平移后对应点A,坐标。 (2)把函数y=2x2的图象F按向量 平移得F,，求F,的 函数解析式。 解析: (1)设A,坐标为(x,,y,)，根据平移坐标公式得 。 即对应点A,的坐标为(7,10)。 (2)设P(x,y)为F上任意一点，它在F,上的对应点P,(x,,y,)， 由平移公式得: ， ? ，将它代入到y=2x2中，得到 y,+2=2(x,-2)2，即y,=2x,2-8x,+6， 即F,的函数解析式为y=2x2-8x+6。 例3(在ΔABC中，如果lga-lgc=lgsinB= , 且B为锐角，判断此三角形的形状特征。 解析:由lga-lgc=lgsinB= , 得 ，又B为锐角， ?B=45?， 又 ，得 ，? ， ? sinC=sinC+cosC，? cosC=0，? ?C=90?。 故此三角形是等腰直角三角形。 训练题: 一、选择题: 1(已知点A(m,-n), B(-m,n)，点C分有向线段 的比为-2，则点C的坐标是( )。 A、(-3m,3n) B、(m,n) C、(3m,3n) D、(-m,n) 2(设点P分有向线段 的比为 ，且点P在有向线段 的延长线上，则 的取值范围是( )。 A、(-?,-1) B、(-1,0) C、(-?,0) D、 3(已知点A(-1,2)和B(6,1)按向量 平称后的坐标分别为(-3,m)和(n,4)，则 =( )。 A、(-2,3) B、(2,-3) C、(-3,2) D、(3,-2) 4(设F1，F2为双曲线 的两焦点，P在双曲线上，当ΔF1PF2面积为1时， 的值为( )。 A、1 B、2 C、0 D、 5(将函数y=f(x)的图象先向右平移a个单位，然后向下平移b个单位(a>0,b>0)，设点P(a,b)在y=f(x)的图象上，那P点移动到点( )。 A、(2a,0) B、(2a,2b) C、(0,2b) D、(0,0) 6(已知O为原点，两定点A、B的坐标分别为A(a,0), B(0,a) (a>0)，点P在线段AB上，且 ，那么 的最大值为:( ) A、a B、2a C、a2 D、2a2 二、填空题 7(由向量 确定的ΔABC为直角三角形，则k的值为_____。 8(点(x,y)关于点(y,x )的对称点的坐标是_____。 三、解答题: 9(设|P1P2|=5cm，P在直线P1P2上，且 ，求P分 所成的比。 10(已知抛物线y=2x2+4x-1，求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时函数解析式。 参考答案: 一、选择:1.A 2.A 3.A 4.C 5.A 6.C 二、填空: 7( 。 8. (2y-x,2x-y)。 9. 若P在线段P1P2上，即P内分 时，P分 所成的比为 ， 若P在P1P2的延长线上，即P外分 时，P分 所成的比为 。 10(y=2x2。 测试 选择题 1(已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围为 ( )。 A、(1，5) B、 C、 D、 2(在ΔABC中，A=60?，b=16，三角形面积为 ，则a=( )。 A、 B、25 C、51 D、49 3(在ΔABC中，a=6， ，A=30?，则c边长为( )。 A、12 B、6 C、18 D、6或12 4(ΔABC三边满足 ，则B角为( )。 A、30? B、45? C、60? D、120? 5(在ΔABC中，已知B=60?，C=45?，a=8，AD^BC于D，则AD的长为( )。 A、 B、 C、 D、 6(在ΔABC中，已知a=2， ,如果三角形有解，则A的取值范围是( )。 A、 B、 C、 D、 7(在ΔABC中，A，B，C的对应边分别为a,b,c，且 ， ，则a:b:c为( )。 A、 B、 C、 D、 或 8(在ΔABC中，A=60?，b=1， ，则 等于( )。 A、 B、 C、 D、 9(在ΔABC中，三边a,b,c满足:(a+b+c)(a+b-c)=3ab，则c边的对角等于( )。 A、15? B、45? C、60? D、120? 10(设a，a+1，a+2是钝角三角形的三边长，则a的取值范围是( )。 A、(0，3) B、(1，3) C、(3，4) D、(4，6) 答案与解析 答案:1.B 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A 9.C 10.B 解析:略。 课外拓展 向量法解一类解析几何问题 向量在处理某些解析几何问题时有独到之处,然而许多资料中的题目对于这类问题的解答还是习惯用传统方法，不能充分体现向量这一工具的便捷性。为此，本文选取几例，用向量方法处理，以引起同学们的重视。 例1(如图1，过点A(-1,0)，斜率为k的直线l与抛物线C: y2=4x交于P、Q两点。 (1)若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按如图顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程; (2)设P、Q两点只在第一象限运动，点E(0,8)与线段PQ中点的连线交x轴于点N，当点N在点A右侧时，求直线PQ的斜率k的取值范围。 解:(1)设 、R(x,y)，则 由A、P、Q三点共线，知 ， ? ，即 。 又y1?y2，? y1y2=4，由PFQR为平行四边形，知 。 ? ， 即 ， y=y1+y2, ? y2=4x+12. 又 。 ? 点R的轨迹方程为y2=4x+12(x>1)。 (2)设N(a,0) (a>-1)，P、Q中点为 ， 即 ， ， 。 由E、G、N三点共线，知 ， ? ，即 。 由a>-1得 或y<0。 又P、Q两点在第一象限， ? y1>0, y2>0，? y=y1+y2>0, ? y2=4x+12>16，? y>4，故4。 ? 。 评注:若不用向量方法，则须采用联立方程、考虑判别式、结合韦达定理的传统方法，不但计算繁复，而且技巧性强，掌握起来实在不容易，而利用向量方法则简单明快、易于接受。 例2(已知抛物线 C: y2=4x，顶点为O，动直线l: y=k(x+1)与抛物线C交于A、B两点。 (1)求证: 是一个与k无关的常数; (2)求满足 的点M的轨迹方程。 解:(1)设 ，l过定点E(-1, 0)， 则 ， 。 由E、A、B三点共线，知 ， ? ，即 ， ? y1?y2，? y1y2=4，? 。 (2)设M(x,y), 则由 ，得 , ? , y=y1+y2，? , 即y2=4x+8， 又 ，? M的轨迹方程为y2=4x+8 (x>2)。 例3(如图2，已知?RPM= ，定点R的坐标为(0,-3)，直角顶点 P在x轴上，线段PM交y轴于点Q，且 。 (1)P在x轴上移动时，求动点M的轨迹E; (2)倾斜角为 的直线l0与轨迹E相切，求切线l0的方程; (3)已知切线l0与y轴的交点为G，过点G的直线l与轨迹E相交 于A、B两点，点D(0,1)。若?ADB为钝角，求直线l的倾斜角θ的取值范围。 解:(1)设P(a,0), Q(0,b), M(x,y), 则 ， 。 由?RPM= ，知 ，? ，即a2-3b=0...? 又 ，? ， 即 ，代入?，得x2=4y。 而当x=0时，y=0，此时P、Q、M三点重合，不合题意。 ? M的轨迹方程为x2=4y(x?0)。 (2)? 直线l0的斜率为1，? 由 ，得x0=2, y0=1, ? 切点为(2,1), 故直线0的方程为:y-1=x-2, 即x-y-1=0。 l (3)设 ，又G(0,-1), D(0,1)， ? 。 由G、A、B三点共线，知 ，? ， 即 ，又x1?x2，? x1x2=4， 由?ADB为钝角，知 ，? ， 即 ，? ， ? 或 。 ? ，? ， ? 。 评注:上两例题目均采用向量的形式叙述，具有一定的提示作用。可 惜的是在许多资料中给出的解法中很少使用向量方法，大部分仍沿用传统方法， 这就不能充分体现向量的广泛应用。 练习:已知抛物线C的方程为y2=4x, F为抛物线的焦点，过点A(2,0)的直线l与抛物线交于P、Q两点，且 ，求点R的轨迹方程。 参考答案:y2=4x-12。 专题辅导 向量与其他知识的交汇与融合 向量由于具有几何形式和代数形式的双重身份，能融数形于一体，它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，因而使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项学科内容的媒介(因此以向量的相关知识为载体，以数形转化思想方法为主线，在知识网络交汇点处 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 创新力度较大、综合性较强的 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ，已成为近年来高考的新热点( 复习与解题策略是:一要注重向量的基本概念，基本运算，对概念要理解深刻到位，运算要准确，特别是向量平行、垂直充要条件(含坐标运算形式);二要注重向量与函数、三角、解析几何、立体几何等多学科的有机整合( 一、与函数的交汇 例1:已知平面向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120?，记f(x),|xa+b+c|( (1)求f(x)的表达式; (2)试画出函数 的图象( 解:(1) [f(x)]2=(xa+b+c)2=x2a2+b2+c2+2xa?b+2xa?c+2b?c ? |a|=|b|=|c|=1, a?b=a?c=b?c=cos120?= , ? [f(x)]2=x2+2-2x-1=x2-2x+1=(x-1)2。 ? f(x)=|x-1|。 (2) . 图象如图1所示( 例2:设平面向量a与b互相垂直，且|a|,2，|b|,l，k，t是两个 不同时为零的实数(若x,a+(t2-3)b， y,-ka+tb，且x?y. (1)求k关于t的函数关系式 k,f(x); (2)求函数 k,f(t)的单调区间( 解: (1) ? a?b, ? a?b=0. 又 x?y, ? x?y=0, 即 [a+(t2-3)b]?[-ka+tb]=0, -ka2+[t-k(t2-3)]a?b+t(t2-3)b2=0. 又? a2=|a|2=4, b2=|b|2=1, ? -4k+t(t2-3)=0, ? , 即 . (2) . 令 k,=0, 得 t=?1。 当 t<-1或t>1时，f,(t)>0, 当 t?(-1,1)时，f,(t)<0. ? f(t)在(-?,-1)和(1,+?)上为增函数，在(-1，1)上为减函数( 二、与三角函数的交汇 例3:已知向量a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ). 且0<α<β< π。 (1)求证:(a+b)?(a-b); (2)若 ka+b与a-kb 的模相等，求β-α的值(k为非零常数)。 证明:(1) ? a?b=b?a, (a+b)?(a-b)=a2-b2=1-1=0, ? (a+b)?(a-b). (2) ? |ka+b|=|a-kb|, ? (ka+b)2=(a-kb)2, ? k2a2+2ka?b+b2=a2-2ka?b+k2b2, 即 (k2-1)(a2-b2)+4ka?b=0, ? a2=b2=1, k?0, ? a?b=0, 又a?b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(β-α)， ? cos(β-α)=0，又 0<α<β<π，? 。 例4:已知向量a=(2cosα, 2sinα)，b=(3cosβ, 3sinβ), a与b的夹角为 60?，则直线 与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2= ). 的位置关系是( (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)随α、β的值而定 解: ? a?b=2cosα?3cosβ+2sinα?3sinβ=6cos(α-β)， 又 a?b=|a| |b| cos60?=3, ? , 又圆心(cosβ, -sinβ) 到直线xcosα-ysinα+ =0的距离: ， ? ， ? 直线与圆相离，选C( 三、与解析几何的交汇 例5:平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1),B(-1,3)，若点C满足 ，其中α，β?R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为( )。 (A) 3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C) 2x-y=0 (D) x+2y-5=0 解:设点C的坐标为(x ,y) ? , α+β=1, ? (x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β, α+3β)=(4α-1, 3-2α), ? 消去α，得x+2y-5=0，选D。 例6:已知两点M(-1,0), N(1,0), 且点P使 成公差小于零的等差数列。 (1)点P的轨迹是什么曲线, (2)点P坐标为(x0, y0)，记θ为 的夹角，求tanθ。 解:(1)设P点坐标为(x, y)，则 ， ， ? ， ， 。 ? 成公差小于零的等差数列， ? 即 x2+y2=3 (x>0). ? 点P轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆。 (2)? P(x0, y0), ? . , . ? 。 ? ， ? ， ? ， ? 。 例7:设x, y?R，i, j分别为直角坐标平面内x, y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j, b=xi+(y-2)j且|a|+|b|=8。 (1)求点M(x,y)的轨迹C的方程。 (2)过点(0, 3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设 ，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形,若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。 解:(1)由|a|+|b|=8知点M到两定点F1(0,-2), F2(0,2)的距离之 和为8，这说明轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆。 由2a=8, 2c=4，得 a=4, c=2, b2=a2-c2=12. 故点M的轨迹方程为 。 (2)? l斜率必存在，设l: y=kx+3，A(x1, y1), B(x2 ,y2) 由 得 (4+3k2)x2+18kx-21=0. 由于Δ=(18k)2-4(4+3k2)?(-21)=182k2+84(3k2+4)>0恒成立， 所以l与C恒有交点，并且 。 ? OAPB是矩形， ? ， x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(kx1+3)(kx2+3)=0, (1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0. . 解得 ， ? 存在l: 使得OAPB是矩形。 四、与立体几何的交汇 例8:在正三棱柱ABC—A1B1Cl中，若 ，则AB1与C1B 所成角的大小为( )。 (A)60? (B) 90? (C)105? (D)75? 解:设 ，如图2，取AC中点O为原点建立空间直角坐标系，则A(0，-1，0)，B( ，0，0)， ? ， ， ， ? 成90?角，选B。 例9:如图3，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，?ABC,90?，AB,BC，AC,2a，BBl,3a，D是A1C1的中点，在线段AAl上是否存在点F，使CF?面B1DF? 若存在，求出AF的长，若不存在，说明理由( 解:以B为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则 , , . 设 AF=b, 则 ， ， ， ? ， ? ， ? 要使CF?面B1DF，只需 ， 即 。 由b2-3ab+2a2=0，得 b=a或b=2a。 ? 当AF=a或AF=2a时，CF?面B1DF。 评注:这两题不用向量方法也可以做，请同学们自己完成，但向量法对于求异面直线所成角、线面角较简捷，向量法注重的是操作程序，是纯代数运算，而传统方法注重的是逻辑推理，推理能力要求较高。 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 : 1(设向量a=(cos23?,cos67?), b=(cos68?, cos22?), 且u=a+tb(t?R)，则|u|的最小值为______。 2(将函数f(x),2x 的图象按a平移后，得函数f(x),2x+6的图象，则符合要求的a的坐标是_________. (填上你认为正确的一个即可). 3(设O是平面上一定点 , A、B、C是平面上不共线的3个点，动点P满足 , λ?[0,+?);则P的轨迹一定通过ΔABC的( ) (A) 外心 (B) 内心 (C)重心 (D) 垂心 4(已知P是以F1、F2 为焦点的椭圆 (a>b>0)上一点，若 ， ，则椭圆的离心率为( )。 (A) (B) (C) (D) 5(已知ΔOFQ 的面积为S，且 ，建立如图4所示的直角坐标系( (1)若 ， ，求向量 所在直线方程; (2)设 ，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求当 取最小值时椭圆的方程( 参考答案: 1. 2. (0,6) 3. B 4.D 5. (1) y=x-2或y=-x+2;(2) .