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数列求和的基本方法和技巧.doc

数列求和的基本方法和技巧

李无雨
2017-09-25 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数列求和的基本方法和技巧doc》,可适用于职业岗位领域

数列求和的基本方法和技巧大沥高级中学论文精编资料下面,就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧一,利用常用求和公式求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比然后再将得到的方法,技巧数列求和的基本方法关键词:数列求和通项分式法错位相减法反序相加法分组法分组法合并法数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法()()naann,n、等差数列求和公式:Snad,,n(,)naq,,n,(,)aaqaq、等比数列求和公式:,S,nn,(,)q,,,qq,自然数方幂和公式:nnS,k,n(n)S,k,n(n)(n)、、,,nn,,kknS,k,n(n)、,n,kn例求和xxx„x(x)解:x该数列是首项为公比为x的等比数列而且有n项第页共页大沥高级中学论文当x,即x,时和为n评注:()利用等比数列求和公式(当公比是用字母表示时应对其是否为进行讨论如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列还应对x是否为进行讨论(()要弄清数列共有多少项末项不一定是第n项(n,?对应高考考题:设数列()„()„„的前顶和为s则s的值。nn二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列{ab}的前n项和其中{a}、{b}分别是等差数列和等比数列求和时一般在nnnnq已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比然后再将得到的新和式和原和式相减转化为同倍数的等比数列求和这种方法就是错位相减法。n,S,xxx,,,(n,)xx,例求和:()………………………nn,n,(n,)x解:由题可知{}的通项是等差数列{n,}的通项与等比数列{}的通项之积xnxS,xxxx,,,(n,)x设………………………(设制错位)nn,n(,x)S,xxxx,,,x,(n,)x,得(错位相减)nn,,xn(,x)S,x,,(n,)x再利用等比数列的求和公式得:n,xnn(n,)x,(n)x(x)S,n(,x)注意、要考虑当公比x为值时为特殊情况错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。,,Sa对应高考考题:设正项等比数列的首项前n项和为且a,nn,,,,nSS,()SS,aT。()求的通项()求的前n项和。nnn第页共页大沥高级中学论文三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列(反序)再把它与原(aa)数列相加就可以得到n个nnnCCC,,,(n)C,(n)求证:例nnnnnS,CCC,,,(n)C证明:设…………………………nnnnn把式右边倒转过来得nn,S,(n)C(n,)C,,,CC(反序)nnnnnmn,mC,C又由可得nnn,nS,(n)C(n,)C,,,CC………………nnnnnn,nnS,(n)(CC,,,CC),(n),得(反序相加)nnnnnnS,(n),n四、分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差、等比或常见的数列然后分别求和再将其合并即可,,,,,,c,aba,ba若数列的通项公式为其中中一个是等差数列另一个是等比nnnnnn数列求和时一般用分组结合法。例:求数列的前n项和,,,?,,,,n,分析:数列的通项公式为而数列分别是等差数列、等比数列求a,n,,nnn,,和时一般用分组结合法解:因为a,n所以nns,()()()?(n)nn,(?n)(?)(分组)n前一个括号内是一个等比数列的和后一个括号内是一个等差数列的和因此第页共页大沥高级中学论文(,)n()nnnn,,,n,五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解(裂项)如:,sin,,,tan(n),tanna,f(n),f(n)()()n,,cosncos(n)n()a,,(,)a,,,()()nnn,nn,n()()n(n)nna,,,()nn(n,)(n)n(n)(n)(n),,,,,,,,,,例求数列的前n项和nna,,n,n解:设(裂项)nnnS,,,,则(裂项求和)nnn(,)(,),,,(n,n),n,,小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意:余下的项具有如下的特点余下的项前后的位置前后是对称的。余下的项前后的正负性是相反的。na,,,,b,练习在数列{a}中又求数列{b}的前n项的nnnna,annnnn和第页共页大沥高级中学论文六、合并法求和针对一些特殊的数列将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质因此在求数列的和时可将这些项放在一起先求和然后再求Snaa,,求logaloga,,,loga例在各项均为正数的等比数列中若的值S,logaloga,,,loga解:设nmn,pq,aa,aa由等比数列的性质(找特殊性质项)mnpqlogMlogN,logM,N和对数的运算性质得aaaS,(logaloga)(logaloga),,,(logaloga)(合并求和)n(loga,a)(loga,a),,,(loga,a),loglog,,,log,,数列的求和方法多种多样它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法在解题中才能比较容易解决数列问题。第页共页大沥高级中学论文第页共页

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