圆锥曲线的焦半径公式及其应用
浙江省东阳市横店高级中学（322118） 刘光红
（本文发表在《高中数理化》2008-2上）
连接圆锥曲线的焦点与曲线上任意一点的线段统称为它的焦半径，根据圆锥曲线的统一定义，很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式，下面是用处较多的椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式：
（1） 对于椭圆
而言，焦半径公式为：
，
.
（2） 对于双曲线
而言，焦半径公式为：
当点P在双曲线的左支时：
，
，
当点P在双曲线的右支时：
，
.
（3） 对于抛物线
而言，焦半径公式为：
以上各式中，P（x,y）是曲线上的一点，
是椭圆、双曲线的左右焦点，F是抛物线的焦点，在这里特别强调的是：随着曲线方程的不同，焦半径公式也有不同，对于焦点在y轴上的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程对应的焦半径公式请同学们自己给出。
下面介绍焦半径公式在解题中的应用。
1求比值
例1 设
为椭圆
的两个焦点，点P为椭圆上的一个点，已知点P，
是一个直角三角形的顶点，且
，求
的值。
解：由椭圆方程可知
，并求得
，离心率
，由椭圆的对称性，不妨设
是椭圆上的任意一点，则由题意知
分别为其左焦半径和右焦半径，由焦半径公式得
，
。
（1） 若
为直角，则
，代入化简得
，故
=
。
（2） 若
为直角，即可求得
，故
=
。
2解是否存在的问题
例2 已知椭圆
，是否在椭圆位于y轴左侧部分上存在一点M，使点M到左准线l的距离
为点M到两个焦点
的距离的比例中项？并说明理由。
解：由已知方程得
，左准线l：
。设椭圆上位于y轴左侧部分存在的点M
(
)，满足
(*)
由椭圆的焦半径公式知：
，
，又
，代入（*）式解得
或
，与
矛盾，故这样的点M不存在。
3求弦长
例3 过双曲线
的右焦点F作倾斜角为
的弦AB，求
的值。
解：由双曲线的方程知：
，所以
，所以
，右焦点F(5，0)，设
，
，则AB的方程为
，代入双曲线的方程，消去y，整理得
，所以
。
所以
=
=
。
4求最值
例4 给定椭圆
，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得与它们的交点为顶点的四边形面积最大。
解：设双曲线的方程为
，上焦点为
，设A
为两曲线在第一象限的交点，由焦半径公式得：
，将解得的
代入椭圆（双曲线）方程得
，由对称性，以交点为顶点的四边形为矩形，其面积为：
，当且仅当
时，
，故所求的曲线方程为
。
5证明等式
例5设A
，B
，C
是抛物线
上的三个点，F是焦点，若
，求证：
。
证明：因为抛物线的标准方程为
，由焦半径的公式得：
，
，
，又因为A、B、C三点在抛物线上，所以
，
，
，即
，
，
，又
，于是
.。
6求倒数和的值
例6 过抛物线
的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为m，n，求
的值。
解：由
得
，这里
，设
，根据抛物线的焦半径公式有：
，
所以
,
链接练习：
1. 过椭圆
的一个焦点F(0,1)，作一直线交椭圆于A、B两点，求
的最大值和最小值。 （
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：
，
）
2. 过双曲线的
右焦点F，作斜率为2的弦AB，求弦AB的长。 （答案：24）
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