相似三角形的判定 性质 经典例题分析

相似形（一） 板块一、课前回顾 一、比例性质 1.基本性质: （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：   (把比的前项、后项交换) 3.合比性质： （分子加（减）分母,分母不变） ． 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 ，那么 ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5.黄金分割： 内容 尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题1．已知a、b、c是非零实数，且 ，求k的值. 例题2．已知 ，求 的值。 板块二、新课讲解 知识点一、相似形的概念 概念：具有相同形状的图形叫相似图形． 谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 知识点二、平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。 ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论 的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； 知识点三、相似三角形的判定 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言：    拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。 例题精讲   【重难点高效突破】 例题1．如图，直线DE分别与△ABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E，由ED∥BC可以推出 吗？请说明理由。（用两种方法说明） 例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D. 求证：（1） ；（2） ；（3） 例题3．如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则 吗？说说你的理由. 例题4．如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作BE⊥CD于E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C （1） 求证：△ABF∽△EAD； （2） 若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长； （3） 在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF的长。 【即时训练】 一、选择题 1．如图，△ABC经平移得到△DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（  ） A．  3对    B．  4对    C．  5对      D．  6对 2．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（    ） A． B． C．   D． . 3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（    ） A．ΔADE∽ΔAEF  B.ΔECF∽ΔAEF  C.ΔADE∽ΔECF  D.ΔAEF∽ΔABF 4、如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（    ） A.5∶2    B.4∶1    C.2∶1    D.3∶2 （1题图）              （2题图）        （3题图）            （4题图） 5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（    ）          A.1对    B.2对    C.3对    D.4对 (5题图)(6题图)(7题图)( 8题图) 6.ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（    ） A.2∶1    B.1∶2C.2∶3    D.3∶2 7.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（    ）A.1条    B.2条    C.3条    D.4条 8.如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（    ） A. B. C. D. 9.下列说法：其中正确的是(    ) ①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似； ③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似. A.①②          B.③④          C.①④            D.②③ 二、解答题 1、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长. 2.如图，在梯形ABCD中，AD⊥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC. (1)ΔABC与ΔDCB相似吗？请说明理由. (2)如果AD=4，BC=9，求BD的长. 3.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC， Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？ 4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB与F，试判定△BAE与△ACE是否相似，并说明理由。 5.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ⊥BD？ 6.已知：如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2.则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由. 7.如图，CD是RtΔABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F. AC?AE=AF?AB吗？说明理由. 相似形（二） 板块二、新课讲解 知识点1．相似三角形的判定 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 知识点2．直角三角形相似的判定 在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 知识点3． 相似三角形中的基本图形 A型，X型                            交错型旋转型 母子形 例题精讲   【重难点高效突破】 例题1．如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC与△DEF是否相似？并说明理由。 例题2. 如图，在△ABC中，已知BD、CE是△ABC的高，求证：△ADE∽△ABC。 例题3．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由B点向D点移动，当BP等于多少时，△ABP与△CPD相似？ 例题4.已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式． 例题5．在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，延长AM交BC于点G，AD与BE相交于点F， 求证：（1） ; （2）△BCE∽△ADM； （3）AM⊥BE. 【随堂演练】 A组 1．下列命题中正确的是（    ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似      ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似    ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A、①③        B、①④        C、①②④          D、①③④ 2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（      ） A. ∠B=∠C                    B. ∠ADC=∠AEB    C. BE=CD，AB=AC            D. AD∶AC=AE∶AB 3．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（    ） (A)②③④    (B)③④⑤    (C)④⑤⑥    (D)②③⑥ 4．如图，DE与BC不平行，当 =时，ΔABC与ΔADE相似。 5．如图，平行四边形 ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（  ）． A．5        B．8.2      C．6.4      D．1.8 （3题图）              （4题图）            （5题图） 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. (1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由. (2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由. 6．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？ 7．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC △AEF∽△EFC吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。若ABCD为矩形呢？ 板块三、课后作业 1．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点O，则 等于（  ）． A．         B．         C．           D． 2．如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，已知 ,求证： 6．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比． 7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由． 相似三角形的性质及其应用 板块二、新课讲解 知识要点：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例． ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． ③相似三角形周长的比等于相似比． ④相似三角形面积的比等于相似比的平方．  【重难点高效突破】 例题1. (1)两个相似三角形的面积比为 ，与它们对应高之比 之间的关系为_______ (2)如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若 ，则AD:DB=_________ (3)如图，已知AB∥CD,BO:OC=1:4,点E、F分别是OC，OD的中点，则EF:AB的值为 (4)如图，已知DE∥FG∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则 A.1:9:36        B.1:4:9      C.1:8:27        D.1:8:36 (5) 梯形ABCD中，AD∥BC，（AD