DOC-2015年全国高考理科数学试题及答案-四川卷
2015年全国高考理科数学试题及答案-四川卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川)
数学(理科)
第?卷(共50分)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.设集合A {x|(x,1)(x,2) 0}，集合B {x|1 x 3}，则A B=( )
A.{x|-1
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
192小时，在22C的保鲜
时间是48小时，则该食品在33C的保鲜时间是 小时.
14. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动
点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF
所成的角为 ，则cos 的最大值为
.
15.已知函数f(x) 2x，g(x) x2,ax(其中a R)。对于不相等的实数x1,x2，设
m f(x1),f(x2)g(x1),g(x2)，n ， x1,x2x1,x2
现有如下命题:
(1)对于任意不相等的实数x1,x2，都有m 0;
(2)对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2，都有n 0;
(3)对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m n;
(4)对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m ,n。
其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)。
三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程演算步骤)
16、(本题满分12分)数列 an}(n 1,2,3...)的前n项和Sn满足Sn 2an,a1，且a1,a2,1,a3成
等差数列
(?)求数列 an}的通项公式 (?)记数列{11成立n的最小值。 的前项和Tn，求使得Tn,1 1000an
17、(本题满分12分)某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生，2名
女生，A中学推荐了3名男生，4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，从参加集训的女生中随机抽取3人组成代表队 (?)求A中学至少有一名学生入选代表队的概率
(?)某场比赛前，从代表队的6名中随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X
的分布列于数学期望。
18、(本题满分12分)一个正方体的平面展开图和直观图
的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为
M,GH的中点为N
(?)请将字母F、G、H
标记在正方体的直观意图
相应的顶点处(不要求说明理由)
(?)证明:直线MN//平面BDH
(?)求二面角A-EG-M的余弦值
19、(本题满分12分)如图A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个
内角 (?)证明:tanA1,cosA 2sinA
(?)若A+C=1800,AB=6，BC=3，CD=4，AD=5求:
tan
ABCD,tan,tan,tan的值 2222
20、(本题满分13分)
x2y2如图，椭圆E: 2,2 1(a b
0)的离心率是，过点P(0，ab2
1)的动直线l与椭圆交于A、B两点当直线l平行于x轴时，直线l被
椭圆E
截的线段长为(?)求椭圆E的方程
(?)在平面直角坐标系中是否存在与点P不同的定点Q,使得
求出Q点的坐标，若不存在，说明理由
21、(本题满分14分)已知函数
f(x) ,2(x,a)lnx,x2,2ax,2a2,a，其中a 0，
(?)设g(x)是f(x)的导函数，讨论函数g(x)的单调性
(?)证明:存在a (0,1)使得f(x) 0在区间(1,, )内恒成立，且f(x) 0在区间(1,, )
内有唯一解
QAQB PAPB恒成立，若存在，
参考答案
一、选择题:
1.A 2.C 3.D 4.A 5.D
6.B 7.C 8.B 9.B 10.D
二、填空题:
11. -40
12. 2
2 13. 24 14. 5
三、解答题:
16.解:
(?)由已知Sn 2an,a1，有
an Sn,Sn,1 2an,2an,1(n 2)，
即an 2an,1(n 2)
从而a2 2a1,a3 2a2 4a1
又因为a1,a2,1,a3成等差数列，即a1,a3 2(a2,1). 所以
a1,4a1 2(2a1,1)，解得a1 2
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列 故an 2n (?)由
(?)得1
a 1
n n2
1
所以T111[1,(1
n )n]
2,22,...,2n 1,1 1,2n
2
由|T111n
n,1| 1000，得|1,2n,1| 1000，即2 1000 因为
29 256 1000 1024 210，
所以n 10
15. ??
于是，使|Tn,1| 1成立的n的最小值为10 1000
17.本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运
算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的只是与方法分析和解决实际问题的能力。 (?)由题意，参加集训的男、女生各有6名
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为
33C3C41 33C6C6100
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1,
(?)根据题意，X的可能取值为1,2,3
13C3C1P(X 1) 43 ， C65199 100100
C32C323P(X 2) ， 4C65
31C3C1P(X 3) 43 C65
所以X的分布列为
因此，X的数学期望为
E(X) 1 P(X 1),2 P(X 2),3 P(X 3)
131 1 ,2 ,3 2 555
18.本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定
与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能
力、推理论证能力、运算求解能力。
(?)点F，G，H的位置如图所示
(?)连结BD，设O为BD的中点
因为M,N分别是BC,GH的中点，
所以OM//CD，且OM 1
2CD，
HN//CD，且HN 1
2CD
所以OM//HN,OM HN
所以MNHO是平行四边形，
从而MN//OH
又MN 平面BDH,OH 平面BDH， 所以MN//平面BDH
(?)方法一:
连接AC，过M做MP AC于P
在正方体ABCD,EFGH中，AC//EG， 所以MP EG
过P作PK 平面PKM，
从而KM EG
所以 PKM是二面角A,EG,M的平面角 设AD 2，则CM 1,PK 2
在Rt
CMP中，PM CMsin45 2
在Rt
PKM中，KM 2
所以cos PKM PKKM 3
即二面角A,EG,
M方法二:
如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DH
方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标
系Dxyz
设AD 2，则M1(,2,0),(0,2,2),(2,G0,2),1(,0)EO，
所以，GE (2,,2,0),MG (,1,0,2)
设平面EGM的一个法向量为n1 (x,y,z)，
GE 0, 2x,2y 0, n1 由 得
,x,2z 0, n1 MG 0,
取x 2，得n1 (2,2,1)
在正方体ABCD,EFGH中，DO 平面AEGC，
则可取平面AEG的一个法向量为n2 DO (1,1,0)，
所以cos n1,n2 n1 n2， |n1| |n2| 3故二面角A,EG,
M的余弦值为
19.本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算
求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想。 AA2sin2A 1,cosA (?)tan 2cos2sincossinA
222sin
(?)由A,C 180，得C 180 ,A,D 180 ,B
由(?)，有
tanABCD,tan,tan,tan 2222
1,cosA1,cosB1,cos(180 ,A)1,cos(180 ,B)
,,,sinAsinBsin(180 ,A)sin(180 ,B)
22,
sinAsinB
连接BD，
在 ABD中，有BD AB,AD,2AB ADcosA， 222
CDcosC， 在 BCD中，有BD BC,CD,2BC
CDcosA 所以AB,AD,2AB ADcosA BC,CD,2BC 2222222
AB2,AD2,BC2,CD262,52,32,423则cosA
2(AB AD,BC CD)2(6 5,3 4)7
于是sinA
连接AC，同理可得 7
AB2,BC2,AD2,CD262,32,52,421cosB ，
2(AB BC,AD CD)2(6 3,5 4)19
于是sinB 所以，tan ABCD,tan,tan,tan 2222
22 ,
sinAsinB
3
20.本题主要考查椭圆的
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考
查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。
(?)由已知，点在椭圆E上
21 a2,b2 1, 因此 a2,b2 c2,
c a
解得a 2,b x2y2
, 1 所以椭圆E的方程为42
(?)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C,D两点，
如果存在定点Q满足条件，则有|QC||PC| 1，即|QC| |QD| |QD||PD|
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0,y0)
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M,N两点，
则M,N
的坐标分别为 由|QM||PM|
，解得y0 1，或y0 2 |QN||PN|所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0,2)
下面证明:对任意直线l，均有|QA||PA| |QB||PB|
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立。
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y kx,1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) x2y2
1, ,22联立 4得(2k,1)x,4kx,2 0 2 y kx,1,
其判别式 (4k),8(2k,1) 0， 所以，x1,x2 ,224k2,xx , 12222k,12k,1
因此11x1,x2, 2k x1x2x1x2
易知，点B关于y轴对称的点B 的坐标为(,x2,y2) 又kQA y1,2kx1,11 k,， x1x1x1
y2,2kx2,111 ,k, k,， ,x2,x2x2x1kQB
所以kQA kQB ，即Q,A,B 三点共线 所以|QA||QA||x1||PA|
|QB||QB ||x2||PB|
|QA||PA| 恒成立 |QB||PB|故存在与P不同的定点Q(0,2)，使得
21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证
能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。
(?)由已知，函数f(x)的定义域为(0,, )，
ag(x) f (x) 2(x,a),2lnx,2(1,)， x
112(x,)2,2(a,)22a 所以g (x) 2,,2 2xxx
当0 a 1，g(x
)在区间, )上单调递增，
4在区间当a 上单调递减; 1时，g(x)在区间(0,, )上单调递增。 4
ax,1,lnx(?)由f (x) 2(x,a),2lnx,2(1,) 0，解得a x1,
x,1
x,1,lnxx,1,lnxx,1,lnx2x,1,lnx2)lnx,x,2()x,2(), ,1,1,1,11,x1,x1,x1,x
e(e,2)e,22,2() 0 则 (1) 1 0, (e) ,1,e,11,e,1令
(x) ,2(x,
故存在x0 (1,e)，使得 (x0) 0 令
a0 x0,1,lnx0,u(x) x,1,lnx(x 1) ,11,x0
1 0知，函数u(x)在区间(1,, )上单调递增 x由u (x) 1,
所以0 u(1)u(x0)u(e)e,2 a 1
0,1,1,11,11,x01,e1,e
即a0 (0,1)
当a a0时，有f (x) 0,f(x0) (x0) 0
由(?)知，f (x)在区间(1,, )上单调递增，
故当x (1,x0)时，f (x) 0，从而f(x) f(x0) 0;
当x (x0,, )时，f (x) 0，从而f(x) f(x0) 0
所以，当x (1,, )时，f(x) 0
综上所述，存在a (0,1)，使得f(x) 0在区间(1,, )内恒成立，且f(x) 0在区间(1,, )内有唯一解。
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