关于连续函数的零点和不动点问题

关于连续函数的零点和不动点问题 关于连续函数的零点与不动点问题 关于连续函数的零点和不动 点问题 0 关于连续函数的零点与不动点问题 摘要: 本文研究了一类连续函数的零点问题，利用闭区间上连续函数的的介质定理， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了这类连续函数的几个新的零点的存在性和唯一性定理.进而研究了连续函数的不动点的存在性和唯一性定理. 关键词:连续函数，零点 ，不动点，Cauchy 基本序列. 1 关于连续函数的零点与不动点问题 Abstract This article studies a class of continuous function of zero.Use the theorem of the continuous function on the closed interval media.Proved that such a continuous function of several new zero point of the existence and uniqueness theorem.To study the existence and uniqueness theorems of fixed point for a continuous function. 2 关于连续函数的零点与不动点问题 目录 摘要……………………………………………. .……...………………,1, Abstract ………………………….………….……….……………… ,2, 目录…………………………………………………………………………,3, 一 引言………………...…………………………………………………,4, 二 连续函数的零点与不动点的定义及其相关定理………… …………,5, 三对于任意函数的零点存在性的探讨…………………………………………,6, 四函数的零点的唯一存在性定理的探讨及证明.……………………,7, f(x),g(x) 四,一,定理1..………………………………………………………….,8, 四,一,定理2………………………………..……………………………(10) 五.函数的零点的存在性定理的探讨及证明. …………………………,12, f(x)g(x) 六连续函数不动点存在唯一性问题的定理和证明…….…………………………,14, 六,一,定理4…………………………………………………………………,14, 六,二,定理5………………………………………………………………,15, 六,三,推论1………………………………………………………………,16, 六,四,定理6………………………………………………………………,17, 六,五,定理7………………………………………………………………,17, 七参考文献……………………………………………………………………,18, 3 关于连续函数的零点与不动点问题 一、引言 在我们的日常生活中，如人的成长过程，天气温度的变化，蔬菜树木的生长高度，种群的发展曲线等，都是连续变化的，我们可以利用 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 的坐标图像把这些现在现象 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来，我们可以看到图像时一条连续的曲线，从而我们得到了连续函数的概念。函数的连续性就是函数和极限概念相结合的产物。是高等数学中的重要概念之一。所以连续函数在一般函数的研究中起到奠基作用，在数学的学习和应用中也是最常见。函数零点的研究是函数研究的一个重要方面，许多代数方程的求根问题，就是归结为函数的零点问题。众所周知，现代数学的基础，数学界公认为包括拓扑学、泛函 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和抽象代数三大部分,它们是高等代数学中几何、分析和代数三大分支的新发展. 不动点理论产生于拓扑变换理论中,且在分析学中有重要应用的一门抽象数学理论.它是20世纪一个格外引人注目的数学分支,当时人们开始把微分方程的解看作是巴拿赫空间到自身映射的不动点,得出了基本的理论结果.在这一时期, 不动点定理作为数学科学中的主流课题,许多重要的数学成果都是借助于它而获得.本文研究的连续函数的零点和不动点的存在性和唯一性就是包含于其中的一个简单定理。 以下就是一些与不动点理论运用相关的历史事件,标志着不动点理论曾经带来的辉煌与贡献. 1941年 1941年角谷静天给出了集值映射的不动点定理,1959年德布鲁才能证明一般经济均衡的存在定理 1922年 1922年,巴拿赫证明了重要的不动点定理:完备的度量空间中的压缩映象必然有唯一的不动点. 4 关于连续函数的零点与不动点问题 二、连续函数零点与不动点的定义及其相关定理 [1]定义1 函数的零点:函数的解.即图像与横轴的交点的横坐标. yfx,,()0 [2]定义2函数的不动点:对于函数,若存在属于,使成立,则称此点fx()fx()xfx,()xR 是函数的不动点. [3]x定义3 Cauchy列 设是距离空间X中的点列，如果对于任意的,,0，存在自然数,,n xN，当时，，称是一个Cauchy列. m,n,Nd(x,x),,,,nmn 定义4距离空间:设是一个非空集,被称为距离空间,是指上定义了一个二元实值函 xXX 数满足下列三个条件:(非负性) 而且充要条件是;(对称p(x,y)p(x,y),0xy,性);(三角不等式)对于任意的中的都成pxypyx(,)(,),pxzpxypyz(,)(,)(,),,，xxyz,,立. 这里叫做上的一个距离,以为距离的距离空间记作。 (,)xpxpp 定义5 完备距离空间:如果距离空间中的每个基本点列(Cauchy)点列{}都收敛,则xxxn称为是完备的距离空间. [2]定义6 拉格朗日中值定理 如果函数fx()在上可导，[a,b]上连续，则必存在(a,b) ',,[a,b]，使得。 f(b),f(a),f(x)(b,a) 定义7 介值定理:假设 是连续函数，且实数 u 满足 f(a) < u < f(b) 或 f(a) > u > f(b)，则存在 使得 f(c) = u. 14]定义8 压缩映射原理:也叫Banach不动点定理,它的完整的表达是这样的,完备距离空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。 [1]ab,yfx,()引理1 闭区间上函数的零点定理:设函数在闭区间上连续,若有,,fafb,,0,0fafb,,0,0xab,,fx()0,或,则必存在点,使得 ，，，，，，，，，，00 5 关于连续函数的零点与不动点问题 [3]结论1 在上连续，且值域为，则在上存在不动点。 f(x)f(x),,,,,,a,ba,ba,b [4]结论2 在上满足 有， 其中 Lx,yf(x)f(x),f(y)I,Rx,y,, ，的值域为，则存在不动点. f(x)f(x)L,1I [5]结论3 在上严格单减，且 有()，Lx,yf(x)f(x),f(y)L,1R,Rx,y,, 则存在不动点. f(x) 三.对于任意函数的零点存在性的探讨 例1 若，则 显然在上存在零点. f(x),x^3g(x),xf(x),g(x),x^3,xR 分析: 都是连续函数，在上都存在唯一零点. f(x),x^3g(x),xR 也是连续函数，在上也存在零点分别为 F(x),f(x),g(x)F(x),f(x),g(x)R 3，所以零点不唯一. x,0,x,1,x,,1F(x),x,x (一)对于任意的函数，在上是否存在零点. fxgx(),()F(x),f(x),g(x)R(i)若f(x)是(不是)连续函数，gx()不是(是)连续函数，那么F(x),f(x),g(x)也 不是连续函数. 其图像会出现为以下的情况: 6 关于连续函数的零点与不动点问题 从图像可以观察到函数图像是断开的，会存在一个区间，使得函数图像在上面[a,b],R不连续，但是会有，从而对我们研究函数的零点的存在性起到误导作用. F(a)F(b),0 (ii)若是连续函数，是连续函数，那么也是连续函数. f(x)gx()F(x),f(x),g(x)函数有零点时图像会有以下类似的情况(图像与轴有交点): x 从图像可以观察到，图像是一条连续的曲线.只要存在[a,b],R，使得F(a)F(b),0 那么F(x),f(x),g(x)一定存在零点，这为我们研究连续函数的零点存在提供可靠的证 据，使得研究函数的零点的存在性更有意义. f(x),g(x)四.函数的零点的唯一存在性定理的探讨及证明 f(x),g(x)(i)在此问题上为了更有意义的研究，所以我们选取的都是上的连续函数. R F(x),f(x),g(x)(ii)令. F(x),f(x),g(x) 要证在上存在零点且唯一. R F(x),f(x),g(x) 需证在存在零点. R [a,b],RF(a)F(b),0 需证存在，使得. ,(x),(x) 需证存在存在，使得和. G(x),F(x)，,(x),0G(x),F(x)，,(x),012 [a,b],R,(a),0,(b),0 并且寻找到，使得，，那么就会有 7 关于连续函数的零点与不动点问题 ，那么. F(a)F(b),0G(a),F(a)，,(a),F(a),0G(b),F(b)，,(b),F(b),012 于是我们就得到了零点唯一存在性的定理. f(x),g(x) 定理1定义在R上，满足: fxgx(),() (i)是连续的增函数， gx() ()()fxfxgxgx,,,,()()(ii)对R，存在实数01,,,，使得 ， xx,,212112 (iii)对，存在，使得 , ,,xR(1)()(2)()()0,,,，,,,gagxfxax,0000(iv) 对，存在，使得 , ,,xR(1)()()()0,，,,,,gbgxfxbx,0000则函数在R上有唯一零点。 fxgx()(), 证明 (存在性)令 F(x),f(x),g(x) ()()fxfxgxgx,,,,()() 对，因为 ，在区间上连续， gx(),,xII000 当时，，所以 。在处连续，注意的任意性，fx()xx,gxgx()(),fxfx(),()xx00000 可知在上连续。从而在区间上连续。 fx()Fxfxgx()()(),,II由(iii) 取， x,R0 若，则结论成立。 fxgx()()0,,00 ,,xI若fxgx()(),，由(i)，对， 00 当xx, 时，有gxgx()(), 00 GxFxgxgxfx()()(1)()(2)()(),，,，,,,,作 100 ,,，,,fxfxgxgx()()(2)(()()), 00 ,,,，,,,,gxgxgxgx()()(2)(()()) 00 ,,,,2(1)(()())0,gxgx 0 (1)()(2)()()0,,,，,,,gagxfxax,由条件(iii)存在，使得 , 000 GaFagagxfxFa()()(1)()(2)()()()0,，,，,,,,,,所以，. 100 8 关于连续函数的零点与不动点问题 当时，有 xx,gxgx()(),00 作 GxFxgxgxfx()()(1)()()(),，,，,,,200 ,,,,fxfxgxgx()()(()()),00 ,,,,,,,gxgxgxgx()()()()0 ，，，，00 由条件(iv)，存在，使得 , (1)()()()0,，,,,,gbgxfxbx,000 GbFbgbgxfxFb()()(1)()()()0,，,，,,,,,所以，. ，，200 [1]Fxab,因为在闭区间上连续 ，且端点值异号，由闭区间上连续函数的零点定理，，，,, 至少存在一个，使. ,,RF()0,, (唯一性)假设还有，，使，则 ， ,,R,,,F()0,,gg()(),,,因为，所以有. F()0,,F()0,,f(,),g(,),f(,),g(,) ggffgg()()()()()(),,,,,,,,,,,,那么，矛盾。 所以，是Fxfxgx()()(),,在上的唯一零点. ,R 例1:假设f(x),x，g(x),2x，f(x),g(x)显然在上有唯一零点， R g(x),2x 而且是连续增函数. 在上取，那么有 Rx,2,x,112 f(2),f(1),,g(2),g(1)得到2-1,,4,20,,,1 ，可以知道是存在的. 最后，取 x,1. 0 那么 ,,(,1)g(a)，(2,)g(1),f(1),0 ,,2a(,1)，2(2,),1,0 ,,2a,2，4,2,1,0 ,,2a,2,1 1a,1,2, 01,,,a,Ra,1,a,x因为，所以即，且是存在的. 0 9 关于连续函数的零点与不动点问题 同样，取 x,,1.0 ,,(1)g(b)g(1)f(1)0,，,,,, ,, 2b(1)210,,，, ,211,,,b1,,,,,,22,22,,,,, 因为，所以，即，且是存在的. 01,,,b,Rb,R 那么就满足了定理1的(i)(ii)(iii)(iv)条件. f(x),g(x) 定理2:定义在区间上，满足: fxgx(),()I (i)是连续函数的单调增区间， gx()I ()()fxfxgxgx,,,,()()01,,,(ii)对，存在实数，使得 ， xx,I,212112 UxI,,,,aUxax,,,,,bUxbx,,,,,(iii)存在，和，使 ，，，，，，00000 , , (1)()(2)()()0,,,，,,,gagxfx(1)()()()0,，,,,,gbgxfx0000则函数在区间上有唯一零点. fxgx()(),I 证明:(存在性)令Fxfxgx()()(),,， ()()fxfxgxgx,,,,()()对，因为 ，gx()在区间上连续，当时，xx,,,xII0000 gxgx()(),，所以 fxfx(),(). 00 fx()fx()在处连续，注意的任意性，可知在上连续. xxI00 Fxfxgx()()(),,从而在区间上连续。 I xUxI,,,,由(iii) 取，若fxgx()()0,,，则结论成立. ，，0000 ,,xIfxgx()(),若，由(i)，对， 00 xx,gxgx()(),当 时，有 00 GxFxgxgxfx()()(1)()(2)()(),，,，,,,,作 100 ,,，,,fxfxgxgx()()(2)(()()), 00 ,,,，,,,,gxgxgxgx()()(2)(()()) 00 10 关于连续函数的零点与不动点问题 ,,,,2(1)(()())0,gxgx0 aUxax,,,,,由条件(iii)存在，使得 , (1)()(2)()()0,,,，,,,gagxfx，，0000所以，. GaFagagxfxFa()()(1)()(2)()()()0,，,，,,,,,,100 当时，有 xx,gxgx()(),00 作 GxFxgxgxfx()()(1)()()(),，,，,,,200 ,,,,fxfxgxgx()()(()()),00 ,,,,,,,gxgxgxgx()()()()0 ，，，，00 bUxbx,,,,,由条件(iii)，存在，使得 , (1)()()()0,，,,,,gbgxfx，，0000 GbFbgbgxfxFb()()(1)()()()0,，,，,,,,,所以，。 ，，200 [1]Fxab,于是在闭区间上连续 ，且端点值异号，由闭区间上连续函数的零点定理，，，,, 至少存在一个，使. F()0,,,,,(,)xxI12 (唯一性)假设还有,,R，,,,，使F()0,,，则 gg()(),,,，且 ggffgg()()()()()(),,,,,,,,,,,,，矛盾。所以，是Fxfxgx()()(),,在区间,I 上的唯一零点. 3f(x),2xf(x),g(x)例2:假设，，显然在定义域[,4,4]上有唯一零点，而且满g(x),x 足定理2的(i)(ii)(iii)条件。 f(2),f(1),,g(2),g(1)得到4-2,,8,10,,,1，可以知道是存在的. 最后，取 x,1. 0 那么 ,(,1)()，(,2,)(1),(1),0gagf 3,(,1)，(2,,),2,0a ,3,a,,1 11 关于连续函数的零点与不动点问题 aUxax,,,,,因为，所以即是存在的. 01,,,a,1,，，00 同样，取 x,,1.0 ,,(1,)()，(,1),(,1),0gbgf 3,, (1,),，2,0b ,,23b,1,, bUxbx,,,,,因为01,,,，所以，即是存在的. ，，00 那么就满足了定理1的(i)(ii)(iii)条件. f(x),g(x) 特别地，在定理1中取 ， gxx(),F(x),f(x),g(x),f(x),x,0那么，可得到下面的不动点定理. f(x),x 五.函数的零点的存在性定理的探讨及证明. f(x)g(x) )在此问题上我们仿照定理1的探讨过程，选取的(i,都是上连续函数. f(x)g(x)R (ii)令F(x),f(x)g(x) 要证明F(x),f(x)g(x)在上存在零点. R F(a)F(b),0 需证存在,使得. ,,a,b,R ,(x),(x) 需证存在存在，使得 和. G(x),F(x)，,(x),0G(x),F(x)，,(x),012 [a,b],R,(a),0,(b),0 并且寻找到，使得，，那么就会有 ， G(a),F(a)，,(a),F(a),0G(b),F(b)，,(b),F(b),012 F(a)F(b),0那么. f(x)g(x) 于是我们就得到了零点存在性的定理. 12 关于连续函数的零点与不动点问题 定理3 ,在上满足 f(x)g(x)R (i)是连续减函数 g(x) ()()fxfxgxgx,,,,()()(ii)对R，存在实数01,,,，使得 ， xx,,212112 2(iii)对，存在，使得, ,,xR,g(a),,g(a)g(x),f(x)g(a),0ax,0000 2(iv) 对，存在，使得, ,,xR,,g(b)，,g(b)g(x),f(x)g(b),0bx,0000 则函数在上存在零点. F(x),f(x)g(x)R 证明 令 F(x),f(x)g(x) ()()fxfxgxgx,,,,()() 对，因为 ，在区间上连续， gx()x,RI000 当时，，所以 .在处连续，注意的任意性， fx()xx,gxgx()(),fxfx(),()xx00000 可知fx()在上连续.从而F(x),f(x)g(x)在区间上连续. RR由(iii) 取， x,R0 若f(x)g(x),0，则结论成立. 00 ,,xI若f(x)g(x),0，由(i)，对， 00 当g(x),g(x)xx, 时，有 00 作 2,,G(x),F(x)，g(x),g(x)g(x),f(x)g(x)100 ,,g(x)(f(x),f(x))，g(x)(g(x),g(x))00 ,,,g(x)g(x),g(x)，,g(x)(g(x),g(x)),000 2,g(a),,g(a)g(x),f(x)g(a),0ax,由条件(iii)存在，使得, 000 2G(a),F(a)，,g(a),,g(a)g(x),f(x)g(a),F(a),0所以，. 100 g(x),g(x)xx,当时，有 00 13 关于连续函数的零点与不动点问题 2G(x),F(x),g(,x),g(,x)g(x),f(x)g(x)作 200 ,g(x)(f(x),f(x)),g(,x)(g(x),g(x)) 00 ,g(,x)(g(x),g(x)),g(x,)(g(x),g(x)),0 00 2由条件(iv)，存在，使得, ,,g(b)，,g(b)g(x),f(x)g(b),0bx,000 2G(b),F(b),g(b,),g(b),g(x),f(x)g(b),F(b),0所以，。 200 [1]Fxab,因为在闭区间上连续 ，且端点值异号，由闭区间上连续函数的零点定理，，，,, 至少存在一个，使. ,,RF()0,, 六.连续函数不动点存在唯一性问题的定理和证明: ab,定理4 定义在闭区间上，满足: fx(),, ()()fxfxxx,,,,ab,01,,,(i)对，存在正实数，使得 ， xx,,,,212112 fxab(),,ab,(ii)，，则函数f(x)在上有唯一不动点。 ,x,,,a,b,,,, ,,xab,fxab,,证明:由条件(2)知，对，. ，，,,,,nn ab,fx()由条件(1)知，是上的连续函数. ,, ab,注意ab,,,ab,,,也是距离空间，且是的闭集，所以是完备距离空间.R,,,,,,，，，， xab,,x任取，则满足 ,,,,0n xxfxfx,,,()(),,,xx,,,fxfx()() nnnn，,11nn,1nn,,12 2,,,xx ,,nn12 <……… n,,,xx 10 14 关于连续函数的零点与不动点问题 n因为，对任意正整数，令， 01,,pmnmn,,,p,, xxxxxxxxxx,,,，,，,，,？ mnnnnnnnmm，，，，,,121321 mn,，11,p2mn, ,，，，，,,,,,1pppxxxx？，，10101,p xab,ab,limx所以是上的Cauchy基本序列， 由的完备性知存在. ,,,,,,nnn,, ,,ab,设，，.在两端取极限， n,,x,,xfx,(),,nnn,1 即得 ,即。 f(),,,F()0,, ,,,,,,,ff()(),,,,,,,R(唯一性)假设还有， 使则 矛盾， ,,,F()0,, ab,所以是，在上的唯一不动点. Fxfxx()(),,,,, 定理5 f(x)在区间上连续，且f(x)是的满射， ， II,I,Ix,y, Lx,y,若，则f(x)存在唯一的不动点. f(x),f(y)L,1, f(x)证明 在上连续，取x,I，则存在，使得x,f(x) Ix0011 f(x)?若x,x，为的不动点; x010 ?若x,x，存在使. f(x),xx01212 同理 f(x),x若x，则为不动点，否则存在，使， x,xx332211 x,f(x)以上过程继续下去得到 nn，1 ,,xf(x)x,x若存在，则 是的不动点，否则得到数列. xnkk，1k x,f(x)， nn，1 15 关于连续函数的零点与不动点问题 = Lx,xx,xf(x),f(x),n，1nn，1nn，1n 11，其中=，由得 0,,,Lx,xx,x,L,1,,n，1nnn,1LL x,xx,x,,,n，1nnn,1 于是 ,,,,xx为柯西列 ， 收敛. nn limz,zlimx,limf(x)设，由及的连续， f(x)x,f(x)00nn，1nn，1n,,n,,n,, ，而由已知条件 ,z,f(z)f(z),f(y)z,yL,000000 ()矛盾，从而存在唯一不动点. f(x),z,yz,yL,1L,0000 推论1 是区间的连续函数，为满射且可导。 f(x)f(x)I,I '1)若1，则存在唯一不动点; f(x)f(x)L,, ')若1, 则存在唯一不动点。 2f(x)f(x)L,, 证明 由拉格朗日中值定理 ,Ix,y, f(x),f(y)'y,f(,), ，是介于和之间的数 xx,y Lx,y由条件1)得，f(x)为压缩映射，则f(x)存在唯一不动点. f(x),f(y), Lx,y由条件2)得. f(x),f(y), f(x)由定理1知存在唯一的不动点. x^3，3x,6,arctanxf(x)例2 证明=在上存在不动点。 R 1'3x^2，3,f(x)证明 是到的满射，=2， RRf(x),21，x f(x) 由推论1知存在不动点. 16 关于连续函数的零点与不动点问题 定理6 在有有限个可取间断点，在间断点的极限不为，，f(a),af(x)xx,,a,b00 ，则在存在不动点. f(b),bf(x),,a,b 证明 不妨假设有一个间断点，对2等分为 f(x)x,,a,b0 ，a，b，a，b，，a,,b, . ,,,,22，，，， a，ba，b若 =,则定理得证，否则等分的区间中存在一个区间为 f()22 ，，，，ab，，aba，ba，b11111111,，再2等分为,,若=, ,b(),,a,baf111,,1,,2222，，，， 则定理得证. 否则存在区间为满足,,以上过程继续下去得到2种结果; ,,f(a),af(b),ba,b222222 a，ba，bkkkkk1)第次等分后，有 = ,定理成立. ()f22 lima,climb,c2)得到一闭区间套,,. ,, ,,a,bf(a),af(b),bnnnnnnnn,,,,nn limf(x),dlimf(a),limf(x),d则，否则，设,则由海涅定理得， c,xn0n,,n,,,,n 又由保继性得，，与已知矛盾.则为不动点. ,d,xd,xd,xc000 y,f(x)f(x)y,x定理 7 在上连续.设A，B为曲线端点，若与线段AB相交，,a,b, f(x)则一定存在不动点。 ::ABAB证明 线段与函数曲线，在平面内形成一条封闭曲线线 =+. ABAB, 由于与线段相交，则它们的交点为或或是之间的点， ABABABy,x f(x)如果交点为或，则a或b为的不动点.若交点为AB之间的点，则与相交. ABy,x, (x,y)从而有2个交点，一个在上而另一个在曲线上，设为， ABp00 f(x)x则为的不动点. 0 17 关于连续函数的零点与不动点问题 例3 曲线的端点为，线段的方程为，与相A(0,1)B(2,,1)y,cox(x)y,1ABABy,x 交于点，由定理3知存在不动点. (1,1)y,cox(x) 参考文献: [1]K.Deimling.Zero of accretive operarors(J).Manuscrupta Math.13(1974) [2]数学分析全程导学及习题全解 (上) 华东师大第三版 中国时代经济出版 [3]刘玉莲 数学分析 数学分析 北京高等教育出版社(1999) [4]程其蘘 实变函数与泛函分析基础 北京高等教育出版社(1983) [5]邝荣雨 数学分析习题集 北京高等教育出版社(1997) 18