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立体几何知识点(文科)教师.doc

立体几何知识点(文科)教师

距离会产生美只有时间不要太长
2019-04-21 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《立体几何知识点(文科)教师doc》,可适用于高中教育领域

第页,共页立体几何题型与方法(文科)平面平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。()证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内,推出点在面内),这样可根据公理证明这些点都在这两个平面的公共直线上。()证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。()证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面,然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证明两平面重合空间直线()空间直线位置关系三种:相交、平行、异面相交直线:共面有且仅有一个公共点平行直线:共面没有公共点异面直线:不同在任一平面内,无公共点()平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等(如右图)(直线与直线所成角,∈θ)(向量与向量所成角),∈θ()两异面直线的距离:公垂线段的长度空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直注:,ll是异面直线,则过,ll外一点P,过点P且与,ll都平行平面有一个或没有,但与,ll距离相等的点在同一平面内(L或L在这个做出的平面内不能叫L与L平行的平面)直线与平面平行、直线与平面垂直()空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内()直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行(“线线平行线面平行”)()直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行(“线面平行线线平行”)()直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直●若PA⊥α,a⊥AO,得a⊥PO(三垂线定理),●三垂线定理的逆定理亦成立POAa直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面(“线线垂直线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行()a垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长③垂线段比任何一条斜线段短b射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。平面平行与平面垂直()空间两个平面的位置关系:相交、平行()平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(“线面平行面面平行”)推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行平行于同一平面的两个平面平行()两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行(“面面平行线线平行”)()两个平面垂直判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直两个平面垂直判定二:如果一条直线与一个平面垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面(“线面垂直面面垂直”)()两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面棱柱棱锥()棱柱a①直棱柱侧面积:ChS=(C为底面周长,h是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的②斜棱住侧面积:lCS=(C是斜棱柱直截面周长,l是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的b{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}PαβθMABOc棱柱具有的性质:①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等直棱柱的各个侧面都是矩形正棱柱的各个侧面都是全等的矩形②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形d平行六面体:定理一:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分注:四棱柱的对角线不一定相交于一点定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,,则coscoscos=γβα推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,,则coscoscos=γβα④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直(两条边可能相交,可能不相交,若两条边相交,则应是充要条件)()棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形注:①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥所以棱柱棱柱VShV==a①正棱锥定义:底面是正多边形顶点在底面的射影为底面正多边形的中心b棱锥具有的性质:①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高)②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形c特殊棱锥的顶点在底面的射影位置:①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心⑦每个四面体都有外接球,球心是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径⑧每个四面体都有内切球,球心I是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径()圆锥的特征圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。()轴截面是等腰三角形()母线的平方等于底面半径与高的平方和:lrh=()圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。、圆台的结构特征圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为圆台。圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆⑵圆台的截面是等腰梯形⑶圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。圆台的面积和体积公式S圆台侧=π·(Rr)·l(r、R为上下底面半径)S圆台全=π·rπ·Rπ·(Rr)·lV圆台=(πrπRπrR)h(h为圆台的高))平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比球:a球的截面是一个圆面①球的表面积公式:RSπ=②球的体积公式:RVπ=附:①圆柱体积:hrVπ=(r为半径,h为高)②圆锥体积:hrVπ=(r为半径,h为高)③锥体体积:ShV=(S为底面积,h为高)其他定理:()确定平面的条件:①不公线的三点②直线和直线外一点③相交直线()直线与直线的位置关系:相交平行异面直线与平面的位置关系:在平面内平行相交(垂直是它的特殊情况)平面与平面的位置关系:相交平行()等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等()射影定理(斜线长、射影长定理):从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线图圆锥段相等射影较长的斜线段也较长反之,斜线段相等的射影相等斜线段较长的射影也较长垂线段比任何一条斜线段都短。()最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。()异面直线的判定:①反证法②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线。()过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。()如果直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。唯一性定理:()过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。()过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。()过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形)()异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角oo<α≤()线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为o②线面垂直:线面所成的角为ooooo()二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法②三垂线定理法③垂面法oo距离的求法:()点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算。注意:求点到面的距离的方法:①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上)②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质)③体积法:利用三棱锥体积公式。()线线距离:关于异面直线的距离,常用方法有:继续阅读

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