虚功原理和静定结构位移计算

虚功原理和静定结构位移计算 第九章 虚功原理和静定结构位移计算 ?9—1 虚功原理 一、概念 P , 虚位移:与对应的力无关的位移: ,,P 虚力: 与对应的位移无关的力: P,, 虚功: 彼此无关的位移和力: ,,P 二、虚功原理: 位移状态:可能的位移状态 *变形与位移协调——位移连续，杆件变形后不断开，不重叠。 *位移约束相容——位移函数在约束处的数值等于约束位移。 力状态:平衡力系; 虚功原理:外力在虚位移上所做的虚功=外力产生的内力在微段虚位移上所做的 功。 简称:外力功T=内力功U。 ?9—2 静定结构荷载作用下的位移——虚功原理 P,1 dxdx , dudvd, NQM NQMPPP 外力功: T,P,, 内力功:U,dU , l NN dxdU Q Q dv d, M M dU,N,du，Q,dv，M,d, NQM令、、为荷载作用下微段的轴力、剪力、弯矩; PPP MNKQPPP 则:du,dx dv,dx d,,dx EAGAEI NNKQQMMPPP dU,dx，dx，dx故: EAGAEI NNKQQMMPPPU,dx，dx，dx故: ,lEAGAEI虚功原理:外力功T=内力功U NNKQQMMPPPP,,,dx，dx，dx故: ,lEAGAEI EA,,例1、求、，为常数。 CVCH P,1 P P,1B C a ,2P A P a NN 12 Pa(1，22) ,,(,),,Pa(,)CHCVEAEA ,,例2、求:、。 解: AVA 2 M,qx/2 P q M,xM,1 A 12 l1l ,,M,M,dx1AVP, 0EI P,14lql112 qxxdx,,,,(,) ,0EIEI28 M,13ql ,,( ) A6EI EI,,例3、求、、为常数。 CHC q 2 /2 ql C B x l M PA l M,1 P,1 x x x M 1 M 2l 12M,0M,M,1解: BC: Mqx,121P 2 12M,1M,xMqlAB: ,12P 2 4ql11 MMdxMMdx,,,，,,(,) CHPP11,,BCABEIEIEI4 3112ql,, MMdxMMdx,,,，,,, CPP22,,BCABEIEI3EI (“-”说明实际C的转角与所设单位力方向相反) ,例4:试求圆弧曲杆B点的竖向位移。 BV P,1P P QP r N ,P r MP 解: M,Pr,sin, Q,P,cos, N,P,sin, PPP Q,cos, M,rsin,N,sin, 2222 SKPPPrsin,cos,sin,dsdsds,,,，,， BV ,0EIGAEA ,2222 ,,,KPPPrsincossin2rd,rd,rd,,，， () rd,,ds ,0EIGAEA 3 PrPrPr,,，K，() EAGAEA4 2 K,1.2A,12I/h若截面是矩形()则: b，h 设:，于是 G,0.4E 33 ,Pr1h1h,Pr1h，，，，2221()()1(),,，，,， BV,,,, 4EI4r12r4EI3r，，，， 最后一项 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明轴向变形与剪切变形对位移的影响。 因h远小于r，所以该很小，因而只考虑弯矩这一项。 书上例题。 作业: P EI,求: (已知:) BH PP解: M,,x,r(1,cos,)P22 M,r,sin, r A ,B P/2 P/2 对于拱结构，当拱的压力线与拱轴接近时，则还要考虑轴力影响，即: MMNNPP,,ds，ds ,, ,,EIEA ?9—3 图乘法——求内力功 应用条件:1、各杆EI为常数; 2、杆轴线是直线; M、中至少一个为直线图形。 3、MP BMMP,,dx , ,AEI d, BBMM1Pdx,MMdx单杆: P ,,AAEIEI B B 考虑积分: MMdxA dxP,A M,tg,,x B My 0y MMdx,Mx,tg,dxPP,, ,A x x ,tgMdx,x,tgxd,tg,,x,y,,,,,, 000,, B M积分:即等于曲线图形的面积乘以起形心对应直线图形的纵坐标，与同MMMdx,,yP0P,A 侧取正，异侧取负。 P Pl M, (EI为常数) 求:PB l 2Pl11 Pll,,(,,1),解: BEIEI2 M,11 M 结构均为直线图形，纵坐标可任造。 ,作业:求 EV 8kNm E 4m 11216，，,,，4，2，，2, EV,,EI233EI，， 2m 4m 2m B 4m 8kNm C P,1 D A EI,例1:已知:为常数 求 A,B 11121,,(,，32，8，，1，，8，8，) A,B EI2332 64 ( ) ,8m 1kN/m EI A B 8m 32 8kNm M M P11 ,例2:求。 B 1 4EI a EI EI M MPP M,1a M,1 111152解:(Paa1)(Paa)Pa( ) ,,,,,,,,,,B EI24EI28EI 一、图形的面积及重心的位置。 b * 2 a ql/8 a 21a ,,ab,,ab b * 334 3 a 8 二、图形分辨 1、按图形分解 , 1* ,* 2 ,,y,,y 积分:1122 y y1 2 ,2 , * 1 * ,,y，,y积分: 1122+ , , y1 按荷载分解: 按直线图形分段: y2 M 2 M1 MP,,21 M1 My y1 2, 1* M 2,2* ,y，,y 积分:1122 q , 3 y2y1 y 3 M ,y,,y，,y积分: 112233 EI,三、例题:已知:、、求 lCV 解: P 3 1ll155PlC (Pl),,,,,, CV A B EI222648EIEI l 231Pl1lPl (),,,,, CVEI23212EI Pl M (让两个学生分别做两种不同情况，加深假使印P 象) P,1 l/2 M 例: P=ql/2 EI,已知:、、求 lBV P=ql/2 l 2,/2 ql2 /8) (ql,2ql 7,4 , ql,,+ ,BV 24EI,2 /2 ql,, MP2 ql, 2/8) (ql,27ql ,4+ , ql,,,BV24EI , ,,2ql/8 P,1 M 例: P,1 A B C l l ? 22 + 2ql2/2 ql ql 174 ,,ql(,)CV 24EI ? 2ql/8 22 2ql+ ql/2 ? 2 /2 ql ql 2ql/2 2 ql 22 ql/2 + + ql/2 ql l P,1 2 ql 2EI l B 2 (ql/8) EI A M P+ q C l M l 24 ，，1121122qll25ql22 ,,(，ql，l)，l，(，ql，l)，l，(，，l)，,(,)BH,, EI232EI2338248EI，， 例: 2a P,1 P C 3a M M P 3Pa 22a a 2 ,,00C45 EI,作业:求图示结构中B的转角(为常数) B 5kN C (5) M,13m 8 B 1 4m 1kN/m M MP A 2m 2m 1121185 ,,(,，8，5，，1，，5，5，),,BEIEI2322 4242,例7:已知:如图，求、) ,(E,2.1，10kN/cmI,3200cmA,16cmC,CBV A 75kN 20kNm 10kN/m 3m 90kNm B 3m MNPP 2m 4m 5/2 5/12 2m 3m 1 1 MM 12 1131221 ,,(，20，2，，2，，20，4，，2,，20，4，，2BVEI342332 11215 ，，2，，90，3，，3)，，75，，5423EA2 1551 ,，，937.5,0.0259mEIEA 11121112 ,,(,，20，4，，，20，4，，，，90，3，)C,CEI2332423 1511 ( ) ，，75，，5,(35.83)，(156.25),0.0058radEA12EIEA 相对位移的求法:求C、D两点的相对位移。 , , CDP,1 P,1例: D C M l M P P 位移 l 状态 l Pl/4 l/2 l/2 力状态 解:外力功T,P,，P,,,，,,,CDCDCD M，M内力功图乘 U,P 3111Pl (lPll)？,,,,, CDEI248EI 故，求两点间的相对转角在两截面加一对等值反向的力偶。 , EI,例:求(为常数) C,C P M,1 Pa/2 1 1 M,1 1 1 5C 2Pa( ) a ,,,C,C 6EI M M P1 a a P , P,1/aA 1/a P P 2P a ,2P -2P ,1/a N B N , P,1/aPa a ,，,,，,ABAB,,,,P,，P,,,, 若使 ABABAB llABAB ,,,,T,P,，P,P,1/l,Pl,1外力功 ABABABEIEA,作业:求图示组合结构中C截面两侧的相对转角(、常数) C,C P=4kN P=4kN M,1 1 1 6 6 M,1 C 3m 2 1/3 D E 3m A 3m B MN N MPP 3m 212111304 ( ) ,,(，6，3，，1，，6，3，1)，(2，，6),，CEIEAEIEA2323 ,求桁架杆的转角在杆的两端垂直于杆的连线上加一对等值反向的力，力的大小为杆长 的倒数(即二力形成的力偶为单位力偶) NNP1113，，P ,lPaPa,,,,，(,)(,2),, ,AB,,EAEAaaEA，， 1 1 A B 1 A B 1 ,A,B , A,B 1/l 1 1 A B A l , (A,B)HB 1/l 1 1 , AB 1/l1 l1B A l 21/l2 ,(A,B)V , 1 (l,l)12 B 作业: A 1 P , C A,BA 1 a A B a a , A EA已知: ,,求:、 AB,BCAB 例:两个悬臂刚架，在悬臂端插入一个e长的垫块，问需要多大的两个P力,(EI已知) e P P 解:已知位移求荷载 3 12Pa3EIe3a e,, ？P,,1.5EIe/a 33EI2Pa P P a a Pa Pa 例:由于D点下垂过大，要加固一段长为a的区段。问:加固哪一段效果最显著, P P P,1 A B C D 33PaPa ,,0，，解: DV2EI3EI ,,0.05a(,),11、已知:梁端点被拉降低，求跨中C点的竖向位移。 C 1 C B 5a A 4a 5a 4a 1 2a 1121213253 ,,(，5a，5a，，5a，，5a，8a，，5a,(a)11 EI2323EI3 ,,,0.05a0.03EIC1212 ,,,,,,0.0092a(,)P,,0.05a P,, C112,,,65a,111111 3115a20a ,,,(，8a，2a，),P,,P,,0.0092a(,) CVEI22EI 用求位移的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 计算力P作用下简支梁轴线与变形线之间的面积。 P P,1 x0 , Pxl/2 l/2 0P l (l,x)0l ?9—3 温度改变的影响 ,,M,d，N,du，Q,dv, ,, MNKQPPP荷载作用时:d,,dxdu,dxdv,dx EIEAGA 温度改变时:(1)由于纤维的伸长或缩短引起轴变 du d, (2)由于伸长或缩短的不一致将引起弯曲 (3)温度改变不能引起剪应变 dv,0 ，取微段长度 设截面高度h，截面形心对称，线膨胀系数,dx ,tdx 2 t，t112 () du,,tdx，,tdx,,dx,,tdx210 22 duh t,tdx(),,tdx,21 d,d,, ,hh ,tdx 1 dx ,,(M,d,，N,du) ,, ,,t,,tdx0 ,(M，N,,tdx),Mdx，,tNdx,,,00,,,hh ,,t ,,，,t,,,0MN h 符号说明:(1)由温度引起的弯曲方向与单位力引起的弯曲方向一致取正，反之取负; (2)由温度引起的轴变方向与单位力引起的轴变方向一致取正，反之取负; (3)其余符号均取绝对值。 例:试求图示结构由于杆件一边温度升高10?，在C点产生的竖向位移，各杆截面相同 ,,h且与形心轴对称。已知。 1 N,0C l B 10? l 10? N,,1 NM A l ,,t 解:,,,，,t,,,0MNh 2 ,,1.5,l/h,5,l(,) 例:求图示结构C点的水平位移。已知。 ,,h,l 各杆外侧温度无变化，内侧温度升高10?，截面对称于形心。 C 1 B 1 l l N,110? l 10? N,1 N MA l tl,,tl解: ,,,，,,,10,(，1)(,),,0CHMN hh ,例:已知:h,,,温度变化见图，求: EH E a 20? 10? -20? a a a 1 1 1 N M ,,t2 解: ,,(,，,t,),,25,a/h,20,a(,),EH0MNh ,,,401,101222 ,,,,a,,a,,25,a/hEHh2h2 图示两层刚架左柱，温度变化如图，其他各杆温度不变，试求 (1)A、B两点间的竖向位移;(2)截面C的角位移。(已知:h,,) A -t? t? l 解:温度改变，不能引起静定结构内力; C 故B点无任何位移，C的角位移也同理为零。 B 2 l 2t1ltl,,l,,,,,,, A,BA h244h l/2 l/2 1 l/4 1/4 1/2 1/2 N M 梁CD下面加热t?，其他部分温度不变，求,(已知:) h,,A,B B A 00 3030 l/3 l/3 l/3 ,t33,tllll0(),,,，,,l 解:A,B93932h1 3/3 2l1 ,tl(,), 0 M293h 3 l 91 N 1 二、制造误差引起的静定结构位移。 B A C du,d,,dv,0 位移状态: ,l AB P力状态:要想使加后，力能平衡， , C 可在AB杆位置上加水平力。 NAB P,1 刚体虚功原理: P,，N,l,0CABAB ？,,,N,,l(,)CABAB N，,l注意: ABAB 拉力，短的长度 取正 压力，长的长度 取正 ,l一般情况: ——制造误差。 ,,,N,li,ii N ——单位力在有误差的杆件中引起的内力。 i 例题:桁架杆，下弦杆均做短了0.6cm，求结点A的竖向位移。 6m 1 1/2 1/2 1 A 1/2 1/2 P,1 6m 6m 6m 6m 6m 6m 1解: ,,,N,l,,(4，，0.6，2，1，0.6),,2.4cm(,),ii2 ,。 例题:GD杆做短了1cm，求GV 3/8 1/2 4m 5/8 1 3m 3m 3m 3m 55解: ,,,N,l,,，1,,cm(,),ii 88 ?9—4 虚功原理的应用 , 位移状态 C i 静定结构的支座位移只能引起结构的刚体位移，不能 引起内力和变形。即: du,d,,dv,0 P,1 虚功原理: 力状态 ,，RC,Ndu，Qdv，Md,,0 ,,ii,l RR ii 刚体虚功原理:外力在刚体虚位移上所做的功等于零。 故支座位移引起的静定结构位移: ,,,RC,ii ,,,例题:求、、。 CVHCC C a A B 1 2a 1 1 1 1 1/2a 1/2 解: ) ,,1/2(,),,1(,),,1/2a(CHCVC ,,例题:求:、。 CVC,C 1 , 1 ,C,Ch CV 1/h l/4h b l/2 l/2 0 1/2 a alab解:( ) ,,,,,，(,)C,CCVh4h2 例:图(a)所示，已知支座移动情况下，求刚架铰D上面杆与地面的 。 相对位移,D 2m 2m C 3m B 3m M,11 1/9 M,10.02rad A 1/9 D 0.01 1/3 0.01 1/6 1/6 V，6H,1,0解:: M,0DD,C ,1/7V,D, , H,1/7D,4V，3H,1,0: M,0DD,B V,1/6: X,0A, H,1/9M,1/3: 对A点取矩:(内侧受拉) Y,0AA,; 111( ) ,,,RC，0.02,(,，0.02，，0.01,，0.01)，0.02,0.0261rad利用刚体虚功原理求支反力及内力——虚位移法。 ,Dii 369 应用原理:R,1，P,，q,,0,,iiii 公式: 其中，R:所求内力，支反力; R,,P,,q,,,iiii P:集中荷载(力、力偶); i , :单位位移引起的位移; i q:均匀荷载; i , :与q对应的虚位移面积。 iiRM例:用虚位移法求多跨静定梁的支反力与。 BE P=P P=2P 12 2a 2a 2a 2a P1 P PP1 22 ME R B 1 1/2 3/2 a 1 3/4 1/2 a a/2 13a R,,(,P,P,),2PM,,(,P，a，P，),0B12E12 242 NN例2:用虚位移法求、。 CB 2 NN,,(P,2),,2PCCa P Nb 2 a a N,,(P,1),,P b 例:利用虚位移，求指定内力。 1 1 20kN 10kN A C D B 力状态(平衡) 2m 2m 2m 2m 2m 位移状态(协调) ZUQ B1/2 1/2 11ZU Q,,(20，，10，),,12.5kNB 24 1 Y0 1/2 1Q YB0 Q,,(,10，),,15kN,mB2 M M,,10，1,,10kN,m 1 BB2 例:求M、Q。 DD q=2kN/m A C D B 3m 2m 2m 11 ，，Q,,,2，(1，2，，1，3),7kN D,, 2，， 11，，1 2 M,,2，(，2，2，，2，3),,10kN,mD,,22，， ?9—5 互等定理 一、功的互等定理: P P122 1 , ,,, 11211222 微段内力 微段变形 NKQM111 P,N,Q,Mdu,dxdv,dxd,,dx 1111111EAGAEI NKQN222 PNQMq,,,,,,,, 2222222EAGAEI 变形体虚功原理: NNKQQMM121212P,,N,dx，Q,dx，M,dx,(，，)dx 112121212,,,,EAGAEI NNKQQMM212121P,,N,dx，Q,dx，M,dx,(，，)dx 221212121,,,,EAGAEI ,,1 11 功的互等定理: Y21 ,,,,, 12112122,,1 22 ？,,, 1221 Y 12 反力互等定理:支座1由于支座2的单位位移所引起的反力等于 支座2由于支座2的单位位移所引起的反力。 推广3: =1 P2 Y12 P,，,,,0一状态: 221121 ,,,,二状态: ,,1 21121 (注:二状态力所做功为零) , 21 位移反力互等定理:由于单位荷载使体系中某一支座所产生的反力等于该支座与反力方向 相一致的单位位移在单位荷载处所引起的位移，但符号相反。 ,,1,,11/16时，D点竖向位移，试做图b 例题:已知:图a在支座B下沉BVDV 的弯矩图。 11/16 3Pl/32 P (a): (b): B D A C 1 l/2 l/2 l RB 根据功的互等定理: P 11/16 1 R R R RR R 123B45 1111，,，1,0, PRRPBB 1616 (b)图变成静定结构，弯矩图如图示 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf P,，RC，N,,M,d，N,du，Q,dv,一、虚功原理: ,,,iiii, 二、虚功原理的应用: (1) 荷载作用下求位移: MNKQPPPC,0,,0 d,,dx du,dx dv,dx ii EAGAEI MMKQQNNPPP,,(，，)dx , ,EIGAEA (a)梁:只考虑弯曲，图乘法 积分 NNP,,l (b)桁架: ,EI (c)组合结构:注意区分杆件是梁还是桁架。 (2)支座位移作用时，求位移: ,,,RC,ii 制造误差: ,,,N, ,ii 图示:结构各杆用同一材料制成，弹性模量为E，且均为矩形截面，ACD与DGH两杆均为 ，试等截面，截面高度为h，惯性矩为I，杆件GB截面面积为A，材料的线膨胀系数为, 求: ,,,(1) 图示荷载作用下 HVD,D ,(2) 图示温度变化情况下，D点的竖向位移 DV ,(3) 图示支座位移情况下，截面H的角位移 H 2Ih ,(提示:矩形截面) A12 2 qaq a/2 1 H C G D a/2 3/2 A B M a 1a a a a/2 2 /8 qa2 1 9/8 -13qa/8 1/a 3 M 2M 18/8 P 4 11131211129qaaaa，,,，，，，，，a，，(，,，1)，，a，，， HV, 38242223832238EI， 2 91811929133a，aqa，，2a，()，，，，2a，(，，)，，， , 2822283882EA， 42 (17，1682)qa39qa,，(,) 128EI16EA 3 1121921892qaa，(1)(11)2() ,,，,，,，，，，,，，，D,D ,2383283882EI， 3 ，2a929qa13(20692)qa13qa，()，，,，,,, ( ) , 2838EA816EI8EA， M,1 0.015rad 2 0.01a 1/a 1/a 0.02a 1 ,,,RC,,(,2，0.015，，0.01a),0.02rad,Ha 1 a -10? -10? -10? 20? 2a M 2 ，，,,,301a2 ,,(2a，a)，2a，,，5，，2a,DV,, h222，， 2 ,,a,,(452，15),5,,a(,) h 计算悬臂式刚架的实内力功和实外力功，并利用内力功的关系求出P作用点K的竖向位 ,移。 KP 1 解:外力实功: T,P,P KP2 Pl 22BC 1M(x)1M(x)l A B U,dx，dx内力实功: ,,AB2EI2EI l 22BC PxPl1()1()EI dx，dx = ,,AB EIEI22C 232Pl , 3EI 23312Pl4Pl ？P,,？,,(,) T,UKPKP23EI3EI 求:图示梁中(1)D点的竖向位移;(2)截面B的角位移。(EI为常数) q,1t/m14，212，2 ，M,4t,m,,4，2，，，8，2，(2，) 解: DV,A EI223，B EI 2EI D C 121122m 2m 4m ，，，，8，2，，2，，8，4，，4 ,, 23EI23，， 288，3，，4，2,t,m 4 ,2 3EI， M 12 4 11 ,,(4，2，1，，8，2，1)BEI2 162 M,1 ,t,m1 EI M 2 8 8t,m4 M P (2) 11 证明:总外力实功 T,(P,)，(P,)112222 P P12 (提示:利用功的数值与外力施加次序无关的性质) , , 21 P P12 , ,, , 11 212212 P 2 P1 , ,1121 ,12 , 22 11证明:T,P,，P,，P, 111112222 22 P,P,112221 根据功的互等定理:P,,P, ？P,,，11222111222 1111T,P,，P,，P,，P, 111112221222 2222 11 ,P(,，,)，P(,，,)1111222122 22 11 ,P,，P,1122 22 证毕。 用图示结构证明功的计算不能应用叠加原理，即: T，T,TPPP，P1212 P P +P P1212 +M)、(Q+Q) (M、Q M1212M、Q 1122 ,,,，, 1212 l l l 22lMKQ1111 T,P,,(，)dx证明: 11P,1022EIGA 22lMKQ1122 T,P,,(，)dx 22P,2022EIGA 22l，，，，MMKQQ()()111212T,P，P,，,,，dx ()(),,，1212PP,120EIGA22，， ？ T，T,TPPP，P1212 ,。(EI为常数) 作业:求CV q,2kN/m, A D C A B , D 2m 2m 2m 2m