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空间周期磁场中单电子量子点的能谱和磁化强度

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空间周期磁场中单电子量子点的能谱和磁化强度空间周期磁场中单电子量子点的能谱和磁化强度 第 25 卷 第 5 期Vol . 25 No . 5 原 子 与 分 子 物 理 学 报 J OU RNAL O F A TOM IC AND MOL ECUL AR P H YSICS 2008 年 10 月Oct . 2008 () 文章编号 : 100020364 20080521275206 空间周期磁场中单电子量子点的能谱 和磁化强度 王伟 , 赵铧 ( )重庆大学数理学院物理系凝聚态物理研究所 , 重庆 400044 摘 要 : 研究了在空间...

空间周期磁场中单电子量子点的能谱和磁化强度
空间周期磁场中单电子量子点的能谱和磁化强度 第 25 卷 第 5 期Vol . 25 No . 5 原 子 与 分 子 物 理 学 报 J OU RNAL O F A TOM IC AND MOL ECUL AR P H YSICS 2008 年 10 月Oct . 2008 () 文章编号 : 100020364 20080521275206 空间周期磁场中单电子量子点的能谱 和磁化强度 王伟 , 赵铧 ( )重庆大学数理学院物理系凝聚态物理研究所 , 重庆 400044 摘 要 : 研究了在空间周期磁场下 ,单电子量子点中电子的能谱和基态磁化强度 ,并对它们随周期磁场的 ( ) βφ各个参数 B 、、的变化作了分析 . 在计算中使用 GaAs 量子点模型 ,同时把二维各向同性谐振子的本征 态 ββ作为基矢 . 计算发现 ,对量子点的影响最大 ,较小时 , 能谱和基态磁化强度与均匀磁场中的结果相似 , ββ反之则差别很大 . 在随 变化的能谱图中 , 大 B 较之小 B 表现出更丰富的谱线信息 . 当 足够大时 , 周期 磁 β场对量子点的影响几乎为零 . 在计算中 越大 ,则所需的基的最少个数越多 ,否则计算结果不准确 . 关键词 : 量子点 ; 空间周期磁场 ; 能谱 ; 磁化强度 中图分类号 : O47111 文献标识码 : A Energy spectrum an d magnet izat ion of single electron quantum dot in a periodic magnet ic f iel d WAN G Wei , ZHAO Hua ()Depart ment of Physics , College of Mat hematics and Physics , Cho ngqing U niversit y , Cho ngqing 400044 , China ( ) Abstract : The impact of a perio dic magnetic field o n t he har mo nic single elect ro n quant um dot QDis inves2 β( tigated. The energy spect rum and gro und state magnetizatio n are st udied fo r varying field parameters B ,, φ) . The GaAs QD mo del is adop ted and t he eigenstates of 2D isot ropic har mo nic o scillato r are regarded as a βset of basis vecto rs in t he calculatio n . It is fo und t hat ,t he QD is greatly influenced by . The energy spect rum β βand magnetizatio n wit h a small are similar to t hat in a ho mogeno us field. In t he figures depending o n ,t he higher B is ,t he richer spect rum is o bserved. The influence of t he perio dic magnetic field o n t he QD beco mes ββ mino r w hen is large eno ugh . In additio n ,mo re and mo re basis vecto rs will be needed wit h t he increase of in o rder to o btain a p recise result . Key words : quant um dot , perio dic magnetic filed , energy spect rum , magnetizatio n 2 ,3 的能谱可以通过单电子输运谱得到. Ko uwen2 1 引言 2 4 hoven 等人和 Reimann 等 人对 量 子 点 的 电 子 属性作了解释 . 量子点在磁场的作用下会产生许多 近年来 ,低维人造半导体材料的电子性质得到 新的物理现象 ,比如 : 均匀磁场中两电子量子点的 了 广 泛 而 深 入 的 研 究. 量 子 阱 中 的 二 维 电 子 气 1 5 () 2D E G在阱的方向上能量强烈量子化. 量子点自旋单态三 态 振 荡. 均 匀 磁 场 对 量 子 点 中 极 化 投稿日期 : 2007212208 ( )基金项目 : 重庆大学 985 人才引进基金 4973 ( ) 作者简介 : 王伟 1982 - ,男 ,重庆人 ,硕士研究生 ,主要从事凝聚态理论研究. E2mail :cq wangwei me @1631co m - - 通讯作者 : 赵铧. E2mail : huazhao @cqu1edu1cn . 6 ,7 ( φ) ( φ) ()子和态密度的影响也有较多研究. 对均匀磁场 eB [ yco s k x + p - x co s ky + p} ,2 4 x y H是二维各向同性谐振子的哈密顿量 , 可以精确中的各向异性带电谐振子来说 ,薛定谔方程的解析 0 8 解存在. 在均匀磁场和各向同性谐振子势中 ,两 求解. H 的本征态用 Dirac 符号记为 : | m , n 〉= | 0 9 - 11 电子量子点的解析解也已经得到.( ) ω = m + n + 1h, m 〉| n〉 , 本征能量为 : E 0 x y m , n 空间非均匀磁场对量子点中电子的影响也是 m , n = 0 , 1 , 2 . . . , m , n 分 别 为 x , y 方 向 的 量 子 12 ,13 一个研究 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 . 而在周期与量子点尺寸可比 数 . 令 N = m + n ,则能级改写为 :时 ,空间周期磁场对量子点中电子的影响还很少研 ( ) ωE= N + 1h, N = 0 , 1 , 2 . . . N 0 究 . 在实验上 ,可以通过在 2D E G 上沉积一层均匀 取 H的本征态| m , n 〉为基 , 把 H 的矩阵形式对 0 排列的铁磁体条 ,从而在空间上形成周期磁场. D . 角化就可得到 H 的本征值和本征矢. 把基按能量 14 Buchholz 等人从理论上研究了这种情况 , 并给 从低到高的顺序排列并重新编 号 , 如 : | 0 , 0 〉, | 1 , 出在一定条件下垂直于 2D E G 平面的磁场用余弦 0〉, | 0 , 1〉, | 2 , 0〉, | 1 , 1〉, | 0 , 2〉, | 3 , 0〉,; 编号为| ( φ) 函数 B = B co s k x + 来表示是一个很好的近 z 1〉, | 2〉, | 3〉, | 4〉, | 5〉, | 6〉, | 7〉, . 假设| i 〉对应于 似 ,同时计算了在该模型下量子点中电子的运动特 | m , n〉, | j 〉对应于| p , q〉, 那么 H 的矩阵元记为 : 性 . 本文计算了在周期磁场为 :H?〈 i | H | j 〉=〈 m , n | H | p , q〉 i , j ( φ) ( φ) B = B co s k x + + B co s k y + 的情z x x x y y y 由于选取的基是 H的本征态 , 所以 0 况下 ,量子点中电子的能谱和磁化强度 . 为了 简化δδ( ) ω H= m + n + 1h+〈 m , n | H|i , j m , pn , q 0 1 计算 ,取 : p , q〉 ( φ) ( φ) B = B co s k x+ + B co s ky + . z 在本文中基的选取为从 H的基态 N = 0 到 N =0 类似 ,但由于对称性增强而使 虽然计算结果与 1420 ,总共 231 个基. 本文的计算程序使用 Matlab 编 计算过程与 14 相比有所简化 . 写 . 2 理论模型及推导 结果与讨论3 3 ω计算 中 参 数 的 选 取 为 : h= 3 meV 、m = 二维圆盘形量子点中有一个电子 ,在 x2y 方向 0 受抛物线势的限制 ,空间周期性磁场朝 z 方向 ,形 ω 01067 m,能量单位取 h,磁场单位取特斯拉 T.e 0 式为 : 3 ωm 0 k βα参数 ? ,其中 =. ( φ)( φ)0 , 0 , B co s k x + + B co s ky + B_ = T . α h 限制势取为 : 3 . 1 均匀磁场中的二维量子点 1 3 2 2 ( ) ωV r_= m r, B 0 0 2 0 , 0 , B B_ = , 取 A_ = - y , x , 0 ,则 : 0 2 2 2 2 其中 = x + y. 不考虑电子自旋 ,电子的哈密 r2 ( ) 1 p_ - e A_ 3 2 2 ( H = + ωm r = 0 顿量为 :32 2 m 2 2 1 2 3 3 2 2 ωω c p_ 1 2 ( ) ()3 c2 H = p_ - e A_/ 2 m + ω1 m r, 0 ω+ r+ L ,+ m 0 2 3z 2 2 2 2 m 把矢势 : ()5 ( φ) ( φ) A_ = B { - yco s k x + , x co s ky + , 0} 1 2 2 2 ωω)(( )+ / 2 h 2 N +| M | + 1 E0 c= N , M () 代入 1式 ,经过整理得 : () 1 2 H = H+ H, 0 1 ( ) ωM , 6 + hc 2 其中 : eB 0 ω其中 = , N 、M 是量子数 , N = 0 , 1 , 2 , 31 , 2 2 33 2 2 2 c 3 ( ) ω( ) H= p+ p/ 2 m m x + y, + m 0 x y 0 2 M = 0 , ?1 , ?2 , ?3 . . . . ()3 在图 1 中 , B = 0 时 , 能级是二维各向同性谐 0 1 ×H= 1 3振子的能级. 随着 B 的增大 , 各条简并的能级完 0 2 m 2 2 22 22 ( φ)( φ) 全去简并 . 随着 B 的进一步增大 , 能级之间出现 { eB [ y co sk x + co sky + ] + + x 0 交叉. 当 B 很大时可以明显看出能级出现分组 . ( φ) ( φ) i heB k [ y sin k x + - x sin k y + ] + 0 1277 第 5 期王伟等 :空间周期磁场中单电子量子点的能谱和磁化强度 3 . 2 能谱随周期磁场的振幅 B 的变化 φ ( ) β β 图 2 a中的参数取为 = 012 ,= 0 . 由于 的 取值已经很小了 , 在量子点的范围内完全可以把 周 φ 期磁场视为均匀磁场 ; 而且由于 为 0 , 在量子 点 的中心处磁场取得极大值. 此时的磁场可以视为 大 () 小为 2 B 的均匀磁场 ,因此图 2 a与图 1 极为相 似 . 能级交叉的地方集中出现在某些特定区域 ,如 : B ? 016 , 110 . 随 着 B 的 增 大 , 只 有 基 态 和 第 一 激 发态 是平滑的曲线 ,同时能谱分成了 4 组 . ( ) () ( ) β 图 2 bc的参数取值与图 2 a不同. 由于 = 1 已经不是那么小了 ,因此不能把周期磁场视为 均匀磁场 ,但在量子点看来不会与均匀磁场偏离太 图 1 能级随均匀磁场 B / 2 的变化 0 ( ) () ( ) 多 . 图 2 bc与图 2 a大体上相似 ,但差别也是Energy levels varying wit h ho mogeneous magnetic 11 Fig( ) ( ) 显而易见的 . 在图 2 bc中 ,能级之间交叉的地 field B / 2 0 () 方与图 2 a相比发生了移动 ,比如 :第二与第三激 基态和第一激发态随着 B 的变化没有出现 0 能级交叉的现象. ()( )()βφβφβφ π图 2 能谱随 B 的变化 a= 012 ,= 0 ; b= 1 ,= 0 ; c= 1 ,= / 4 βφβφβφπ()( )()Fig12 Energy levels varying wit h B a= 012 ,= 0 ; b= 1 ,= 0 ; c= 1 ,= / 4 ( ) ( ) ( ) 发态交叉的地方 , B = a016 、b018 、c112 . 在 eB ( φ) ( φ) sin ky + p - sin k x + p + , x y 3 m k ( ) 图 2 b中 ,随着 B 的增加 ,最低的几条能级汇聚成 ()7 φ 了一束 ,更高的能级可以隐约看出分组. 由于 = 2 p_ π ) ( B / k 足够小 , 那么 H?如果 + V r_. 从图 3 3,周期磁场的极大值不在量子点的中心位置 ,因2 m 4 β 中也可以看出 , 随着 的增大能谱趋于二维各向 () 此在图 2 c中随着 B 的增大能级的变化较前两个 同性谐振子的能谱.图缓慢 ,同时能级分组在图中消失了. ( ) β在图 3 B = 012中 , 能级变化很平缓 , 在较 β 3 . 3 能谱随参数 的变化小时也能看出能级出现分组. 而在 B = 2 的图中 , 如果周期磁场的矢势 A_ 取为 : ( ) 能级变化很剧烈. 在 B = 012 时 比较小, 由于 H 1 B B 与 B 成正比 , 因此 H可以视为微扰 . 而 H的能级 1 0 φ) _ = ( φ) ( A+ , 0 , - sin k y + , sin k xk k β 是简并的 , 所以可以用简并微扰来处理. 在 ?0则 : 时 , 在量子点范围 内 可 以 把 周 期 磁 场 视 为 均 匀 磁 2 p_ ( )+ V r_ H = 3(φ) 场 , B ? 2 B co s . 在均匀磁场情况下 , H与 B z 1 z2 m 2 2 成正比 , 那么 H的某一简并能级 n 的简并微扰能 0 e B 2 2 ( φ) ( φ)sink x + + sink y + + 3 2 π 2 m k φ 量 E 就与 B 成正比. 如果 从 0 ?, 则 B 就n z z 2 ( ) (β) () β = 3 , 315 . 从 7B 变大时 , k 从 2 B ?0 . 因此在图 3 中 ,从低能到高能 , a中从 式看出 , 当 要 ( ) 取得更大的值 , H 才近似为二维各向同性谐振子 第 5 组能级开始 、b中从第 7 组能级开始 ,各组能 () β级之间出现交叉 ;而 c中完全没有这种交叉 . 的 H . 本来随着 的进一步增大简并的能级仍应该 β β 是简并的 , 但 > 4 时能级又分裂了 . 这说明 较 大图 3 中 , B = 012 的图中 , 能级开始汇聚为简 β 时 ,使用 231 个基的计算结果偏离真实值较大 . 2 的图中 , 在= 并能级的地方在= 115 , 2 ; 而 B π π φ ( )() () ()β() ( ) () ( )() () () ( ) 图 3 能谱随 的变化 B = 012 abc、2 d ef ,= 0 ad、 b e、 cf 4 2 π π φ ( )() ( )() () () ( ) β() () ()() ( )= 0 ef ,Fig13 Energy levels varying wit h B = 012 ab c、2 d ad、 b e、 cf 4 2 况 . φ 能谱随参数 的变化3 . 4 ( ) φφ 图 4 中 ,在 较小 < 012的地方 , 随着 的 增M磁化强度 3 . 5 φ 大 , 各条能级的变化很缓慢 ; 随着 的进一步增 大 , d E 磁化强度的定义为 : M = -, B是均匀磁 0 能级的变化也增大 , 能级之间出现交叉. 尤其是 在 d B 0φ 016 < < 018 的区域 , 能级出现简并现象 , 简并 度从场的磁感强度. 由于磁场 B 只是周期磁场而没有 z 低能级到高能级依次为 :1 、1 、2 、2 、3 、3 、4 、4 、5 、 均匀磁场 B , 所以所求的磁化强度是在 B = 0 、参 0 0 φ 5 、6 、6 , 各条简并能级之间的间隔大致相等 . 在?( ) φ 数 B 、k 、取某个值时的磁化强度 . 加上均匀磁场后 , π 时 , 能级又出现简并现象 , 简并度依次为 :1 、2 、2 ( φ) ( φ) B = B co s k x + + B co s k y + + B z 0 3 、4 、5 . 量子点中心处的磁场对量子点中电子的行 矢势为 : (φ) φ 为起主要作用 , 中心处磁场 B ? co s , 因此在 z ( φ) ( φ) A_ yco s k x + , x co s k y + , 0 B = - 从 0 开始增加的初始阶段 , B 减小得很缓慢 , 这也 z B φ 就导致能谱的初始阶段几乎为水平直线 ;比较大 0+ - y , x , 0 2 φ时 , B 的变化才比较大 , 能谱的变化也就比较大 ; z 哈密顿量为 : 2 π y ( φ) yco s k x + B - B - = 时 , B = 0 ,此时也就类似于没有外磁场的情H = p - e+ 0z x 2 2 1279 第 5 期王伟等 :空间周期磁场中单电子量子点的能谱和磁化强度 B / 2 . B 从 0 ?6 变化的过程中 , 磁化强度从 0 开始 0 φ ( ) 增大然后趋于一个恒定值 . = 0 圆点的磁化强 ( ) 度刚好等于 B = 1 圆圈的磁化强度 , 这说明对量 β φ β 子点来说 , 在相同 B 、的情况下 ,= 012 和 = 015 没有任何区别 . 在 0 < B < 1 , 实线或圆圈可以 近似为一条直线 , 即 M ? B , 因此对圆点来说 M (φ) ? co s . 从图 5 中可以看出 , 圆点与余弦函数相 π φ 似 , 在 ?的地方 , M ?0 .2 β 3 . 6 对图 3 中 > 4 发散的分析 H 的矩阵元中包含有两项 : ( ) 〈 m | sin k x | n〉= 0 , m + n = eve n , m ? n 1 φ图 4 能谱随 的变化 S (β) , ot he r m , n φFig14 Energy levels varying wit h 2 (β) , ot he r S m , n ( ) ?〈 m | co s k x | n 〉=, m 0 , m + n = od d 2 x n ( φ) B ×x co s ky + B p- e + 0y 2 令 : (β) S = m , n 1 ())8 ( 1 + V x , y 3(β) = od d S , m + n m , n 2 m 2 = eve n , m ? n 5 H β) (S , m + n e m , m = ? 35 B 02 m B = 0 (β) β0 画 S 随 的变化图 . m , 0 2( φ) { y p - x p + eB yco s k x + + x y 2( φ) ()eB x co s ky + } , 9 由 Hellmann2Feynman 定理 : d E 5 H n=〈 n |n 〉,则基态磁化强度为 : | λλ d 5 d E - M = = d B 0B = 0 0 5 H ()- 〈 G || G〉,10 5 B 0B = 0 0 其中 | G〉表示基态 . ( ) 由 6式知 , 在均匀磁场 B 中量子点的基态 0 图 5 均匀磁场中基态磁化强度随均匀磁场 B / 2 的变 0 磁化强度为 : () 化 实线;周期磁场中基态磁化强度随振幅 B 的 5 E0 , 0 M = - = () ()φ变化 圆圈、随相位 的变化 圆点 5 B 0 1 Fig15 Magnetizatio n of ground state varying wit h B / 2 0 2 2 - 2 ehB eB 002ω()+ 11 - . ( ) 0 solid line in a ho mogeneous magnetic field ; 33 2 2 m 4 m (Magnetizatio n of ground state varying wit h B cir2 ( ) 在图 5 中 ,实线表示 11式 M 与 B / 2 的关系 , 而 0 φ( ) ) cle,periodic magnetic field dotin a 圆圈和圆点分别表示在周期磁场中 M 随振幅 B 的 (β ) ( φ φ变化 = 012 、= 0和 M 随相位的变化 B = 6 中 ,随着 m 的增大 , 函数极大值的位置在图 β ) 1 、= 015. 从上图可以看出 , 圆圈都落在实线上 ,右移且值逐渐减小 , 减小的速度越来越慢 . 对于某 βφ 这是因为 太小而= 0 , 周期磁场和均匀磁场看 不β(β) 一值 , m 要大于某个临界值 , S 才等于零 ; m , 0 出区别 , 周期磁场的振幅 B 也就对应均匀磁场 3 Weis J , Haug R J , Klitzing K vo n , et al . Transport spect roscop y o n a single quant um dot J . S em icon d . S ci . Tech nol . , 1994 , 9 : 1890 4 Reimann S M , Manninen M . Elect ro nic st ruct ure of quant um dot J . Rev . M od . Phys . , 2002 , 74 : 1283 5 Wagner M , Mer kt U , Chaplic A V . Spin2singlet2spin2 t riplet oscillatio ns in quant um dot J . Phys . Rev . B , 1992 , 45 : 1951 6 Ding Z H , Zhao C L , Xiao J L . Magnetic effect s o n weak2coupling polaro n in a GaAs parabolic quant um () (wire J . J . A t . M ol . Phys . , 2007 , 24 3: 629 in ) Chinese[ 丁朝华 , 赵翠兰 , 肖景林 . GaAs 抛物量子 (β) β6 S 随 的变化 图 m , 0 线中弱耦合极化子的磁场效应 J . 原子与分子物理 (β) Fig16 Curves of f unctio n S o n different m m , 0 () 学报 , 2007 , 24 3: 629 Wang D H , Li H Y , Ma X G , et al . Effect of a mag2 7 β同时 增大一点 , 临界值 m 就要增大很多 , 也就是 netic flux line o n t he quant um level density of a harmo n2 ( ) ic oscillator J . J . A t . M ol . Phys . , 2007 , 24 4: β 说基的最少个数要增加很多 , 比如 := 3 , 则 N = () 750 in Chinese[ 王德华 , 李红艳 , 马晓光 , 等 . 磁通 β m + n = 20 , 基的个数等于 231 ;= 6 , 则 N = m 量对二维谐振子的量子能级密度的影响 J . 原子与 (β) β + n = 40 , 基的个数等于 861 . S 在< 3 时 等20 , 0 () 分子物理学报 , 2007 , 24 4: 750 β β 于零 , 也就是说< 3 时计算结果很好 , 而> 4 就不8 Dippl O , Schmelcher P , Cederbaum L S. Charged 好了 ,在此说明了图 3 发散的原因 . anisot ropic harmo nic oscillator and t he hydrogen ato m in crossed fields J . Phys . Rev . A , 1994 , 49 : 4415 4 结语 9 Mer kt U , Huser J , Wagner M . Energy spect ra of t wo 以二维各向同性谐振子 H的本征态为基 , 使 0 Phys . Rev . elect ro ns in a harmo nic quant um dot J . 用对角化方法计算了在周期磁场作用下量子点中 B , 1991 , 43 : 7320 β电子的能谱和磁化强度. 计算发现 ,对结果的影 10 Taut M . Two elect ro ns in a ho mogeneous field : par2 ticular analytical solutio ns J . J . Phys . A , 1994 , β 响最大. ?0 时 , 计算结果即为量子点在均匀磁场 27 : 1045 ( ) β中的结果 ; 反之较大时 > 3, 周期磁场的影响几 11 Trickey S B , Zhu W. Analytical solutio ns for t wo elec2 ( ) βφ 乎为零 ; 而对中等大小的 1 , 2, 能谱受 B 和的 t ro ns in an oscillator potential and a magnetic field J . β 影响较大 . 不仅如此 , 为了得到准确的结果 , 在 变Phys . Rev . A , 2005 , 72 : 022501 β大时 , 所需基的最少个数也要显著增加. 在 较 小12 Ye P D , Weiss D , Ger hardt s R. Huge magnetoresis2 时 ,能谱和磁化 强 度 都 与 均 匀 磁 场 中 的 结 果 类 tance oscillatio ns in periodic magnetic fields J . 似 ,这说明计算方法是正确的 ,结果也是可信的.Phys . B , 1998 , 2492251 : 330 Kato M , Sakairi M , Endo A , et al . Elect ro n2elect ro n 13 参考文献 : scat tering in 2D E G under a co nt rollable spatially modu2 1 Dingle R , Wiegmann W , Henry C H. Quant um states lated magnetic field J . Phys . E , 2000 , 6 : 735 of co nfined carriers in very t hin Al GaAs2GaAs2 x 1 - x 2 Buchholz D , Drouvelis P S , Schelcher P. Single elec14 Al GaAs heterost ruct ures J . Phys . Rev . L et t . , x 1 - x t ro n quant um dot in a spatially periodic magnetic field 1974 , 33 : 827 J . Phys . Rev . B , 2006 , 73 : 235346 G , Tarucha S. Few2 2 Kouwenhoven L P , Austing D Prog . Phys . , 2001 , elect ro n quant um dot J . Rep . 64 : 701
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