专题：选修4—4---极坐标与参数方程
一、题之源：课本基础知识
1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
的作用下，
点P(x,y)对应到点
，称
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点
，叫做极点；自极点
引一条射线
叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点
的极坐标：设
是平面内一点，极点Ｏ与点
的距离
叫做点
的 ，记为 ；以极轴
为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点
的 ，记为 。有序数对 叫做点
的极坐标，记为 .极坐标 与
表
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示同一个点,极点O的坐标 .
4.若
,则
,规定点
与点
关于 对称，即
与
表示 。
如果规定
，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标
表示；同时，极坐标
表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：
6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 ；
在极坐标系中，以
(a>0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 ；
在极坐标系中，以
(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 ；
7.在极坐标系中， 表示以极点为起点的一条射线； 表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点
，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是 .
8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9．圆
的参数方程可表示为 .
椭圆
(a>b>0)的参数方程可表示为 .
抛物线
的参数方程可表示为
.
经过点
，倾斜角为
的直线l的参数方程可表示为 。
10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，
必须使x,y的取值范围保持一致.
11.化参数方程为普通方程的方法
消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．
12.利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝
； (2)|PM|＝|t0|＝
； (3)|AB|＝|t2－t1| (4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|. (5)|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|. (6)
Daan:3.极径;
;极角;
;
;
;
;
;
4. 极点;同一点 5.
6.
;
;
7.
;
;
8.
9.
,
,
（t为参数）。
二、题之变：课本典例及经典习题
（一）、平面直角坐标系中的伸缩变换
1.
2.
[类题通法]
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换
下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
（二）、极坐标方程及其应用
1、已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin(θ＋
)＝2
.
(1)求曲线C在极坐标系中的方程；
(2)求直线l被曲线C截得的弦长．
变式：在本题(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：ρcos θ＝3(ρ≥0,0≤θ<
)交点的极坐标.
2、在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．
3、
（三）、参数方程及其应用
1、若直线3x＋4y＋m＝0与圆
(θ为参数)相切，则实数m的值是________．
变式应用：已知直线l的参数方程为
(t为参数)，P是椭圆
＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
（四）、极坐标、参数方程的综合应用
1、在直角坐标系
中，曲线
（
为参数，
），其中
，在以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
，曲线
．
（Ⅰ）.求
与
交点的直角坐标；
（Ⅱ）.若
与
相交于点
，
与
相交于点
，求
的最大值．
2、已知直线
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点
的直角坐标为
，直线
与曲线C 的交点为
，
，求
的值.
3、在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
为参数），以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
的极坐标方程为
.
(I)写出
的直角坐标方程；
(II)
为直线
上一动点，当
到圆心
的距离最小时，求点
的坐标.
4、已知曲线C：
＋
＝1，直线l：
(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
5、已知曲线C1的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
6、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2
sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，
)，求|PA|＋|PB|.
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