华南理工大学2009年自主招生选拔数学试题
华南理工大学2009年保送生、自主招生选拔试题
《理科数学》试题A
注意事项:1、本试卷共六大题，满分100分;时间90分钟
2、所有答案直接写在答题纸上，写在试卷上无效。 自主
3、答卷前请将密封线内各项填写清楚。
总分 题号 一 二 三 四 五 六
得分
评卷人
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。请把所选择的答案填入下面
的表格内:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
,2 1)已知复数，且的幅角主值是，则满足的z的zz,,22zxi,，xi，，，00002
幅角主值的取值范围是( )
省份 __________ 中学 类别 保送,,5,,37,,59,,,,,,,,,,A、 B、 C、 D、 ,,,,,,,,,,,, 63121212121212,,,,,,,,
2 2)是函数在单调的( ) fxxbxc,，，[0,)，,b,0，，
( 密 封 线 内 不 答 题 ) A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 …………………………………密………………………………………………………封……………………………………………线…………………………………… C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
22 3)已知，，则的最小值为( ) abR,,ab，,26ab，
537A、 B、 C、 D、 ,22,,3, 23
221nnn,nn111，，，，，，xxxxx4)在的展开式中，的系数为( ) x，，，，，，
2n+1!2n+2!21!n，22!n，，，，，，，，， A、 B、 C、 D、 n!n!nn!!nn!1!，nn!1!，，，，，
2225)已知圆P，点Pabab,,0,是圆内一点。过点的圆的最短的Oxyr:，,OO，，
2弦在直线上，直线的方程为，那么( ) llbxayr,,12
A、，且与圆相交 B、，且与圆相切 ll//lll,lOO122122 姓名 报名号
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C、，且与圆相离 D、，且与圆相离 ll//lll,lOO122122
,26)已知，函数的值域为( ) fxxxx,，，25sincoscos10,,x，，2
A、 B、 ,3,1,3,2,,,,
C、 D、 ,1,3,2,3,,,,
7)在三角形中，向量，则下aABACbABACBCcCBBA,，,，，,，,38,4ABC
列结论一定成立的是( )
A、向量一定与向量平行 B、向量一定与向量平行 ac，bc，ba
C、向量一定与向量平行 D、向量一定与向量平行 ab，ab,cc
22xy2bc，8)已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是，,,,10abc，，22ab2a
( )
11511,,A、 B、 C、 D、 ,，,(,2](,](,1],,22222,,
二、填空题(每小题5分，共25分)把答案填在对应题号后的横线上。 9)已知是某球面上不共面的四点，且，ABCD,,,ABBCAD,,,2
，，则此球的表面积等于 。 BDAC,,2BCAD,
22xy10)已知双曲线，，右焦点为F，右准线与两条渐近线分别,,1a,0,b,0l22ab
交于两点。若是直角三角形，则双曲线的离心率 P,Q,PQFe,
。
11)已知函数是定义在上的增函数，且满足，fx0,，,f31,，，，，，，
，则不等式的解集fxyfxfyxy,，,,,0,0fxfx，,,33，，，，，，，，，，为 。
,x,1
,12)已知，则的最大值为 。 xy，2xy,,0,
,22xyxy，,,，,2660,
13)甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲平均能赢二盘，某日，甲、乙进行五打三胜
制比赛，那么甲胜出的概率为 。
三、(10分)设三角形三个顶点的坐标分别为AB2,1,1,2,，C3,1, DE,ABC，，，，，，
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BEADDM分别为上的点，是上一点，且 MDEABBC,,,BCABDE
1)求点的横坐标的取值范围; M
2)求点的轨迹方程。 M
四、(10分)已知函数是定义在的单调增函数，要使得对于一切 fx[4,),，,，，
22的实数不等式恒成立，求实数的取值范围。 fxbfxbcossin3,,,,xb，，，，
五、(12分)如图，在正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，为的中2EPABC,3BC
点，于。 EFPA,F
1)求证:为异面直线与的公垂线; EFPABC P
2)求异面直线与的距离; PABC
3)求点到面的距离。 BAPC
F
C
A E
B
22六、(13分)已知，设， aab,,1,aabbab，,,，,,,10,10,12
， aaan，,,,02baaa,,,，，nnn，,11nnn，1
1)证明数列是等比数列; b,,n
2)求数列的通项; a,,n
n,1n3)设，，证明:当时有,，,1cacbb。 cc,,1ccc,，n,3，，，，12nnn，，21,2nn
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