勾股定理练习题总集含答案

勾股定理练习题总集含答案 勾股定理同步练习题 1(已知直角三角形中30?角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是( ) 23 A. 4cm B. cm C. 6cm D. cm 4363 2(?ABC中，AB,15，AC,13，高AD,12，则?ABC的周长为( ) A(42 B(32 C(42 或 32 D(37 或 33 3(一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶 端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( ) A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米 4( 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷 径”，在花铺内走出了一条“路”(他们仅仅少走了 步路 (假设2步为1米)，却踩伤了花草( “路”3m5. 在?ABC中，?C,90?，(1)已知 a,2.4，b,3.2，则c , ;(2)已知c,17，b,15，则?ABC面积等于 ;4m 第4题图 (3)已知?A,45?，c,18，则a, . 6. 一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ( 27. 在Rt?ABC中，?C,90?，BC,12cm，S,30cm，则AB, . ?ABC 8. 等腰?ABC的腰长AB,10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 . 9. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ( 10(一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家(到了家门口， 才发现门口只有242cm高，宽100cm(你认为小明能拿进屋吗, ( 11(如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗, 12(如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每 平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 13m 5m 13(有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大 树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几 秒才可能到达大树和伙伴在一起, 7014(“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h. 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 仪正 3050前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了 吗, 小汽车 小汽车 B C A 观测点 15(将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm， 在无风的天气 里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时 的尺寸如左图的长方形(单位:cm). 120 90 7、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花(如图)拉到岸边，花柄正好与水面成60?夹角，测得AB长60cm，则荷花处水深OA为( ) A、120cm B、60错误～未找到引用源。cm C、60cm D、20错误～未找到引用源。cm 考点:勾股定理的应用。 专题:应用题。 分析:由图可看出，三角形OAB为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求另两边( 解答:解:在Rt?ABO中，?OAB=90?，?ABO=60?，AB=60，则OA=60错误～未找到引用源。cm(故选B( 点评:本题考查了:在直角三角形中30?角所对的直角边等于斜边的一半，比较简单( 8、 如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”(他们仅仅少走了( )步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草( A、6 B、5 C、4 D、3 解答:解:根据勾股定理得，斜边的长:错误～未找到引用源。=5米， 少走:3+4,5=2米， 因为两步为1米， 所以少走了2×2=4步(故选C( 点评:本题考查正确运用勾股定理(善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键( 9、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”(他们仅仅少走了多少米路，却踩伤了花草，真不应该呀(( ) A、2 B、4 C、5 D、6 考点:勾股定理的应用。 专题:应用题。 分析:在图示的直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长即可( 解答:解:斜边的长:错误～未找到引用源。=5米，少走:3+4,5=2米( 故选A( 点评:本题考查正确运用勾股定理解题，比较简单( 10、现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为( ) A、错误～未找到引用源。米 B、错误～未找到引用源。米 C、错误～未找到引用源。米或错误～未找到引用源。米 D、错误～未找到引用源。米 考点:勾股定理的应用。 专题:分类讨论。 分析:分两种情况讨论:?第三根铁棒的长为斜边; ?第三根铁棒的长为直角边( 解答:解:?第三根铁棒为斜边时，其长度为:错误～未找到引用源。=错误～未找到引用源。米; ?第三根铁棒的长为直角边时，其长度为:错误～未找到引用源。=错误～未找到引用源。米( 故选C( 点评:本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键( 11、一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据( ) A、13，10，10 B、13，10，12 C、13，12，12 D、13，10，11 考点:勾股定理的应用;等腰三角形的性质。 专题:应用题。 分析:根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线(根据勾股定理知:底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论( 解答:解:由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三 222角形，且(错误～未找到引用源。)+12=13，符合勾股定理，故选B( 点评:考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理( 12、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为( ) A、30厘米 B、40厘米 C、50厘米 D、以上都不对 分析:由于不明确直角三角形的斜边，故应分两种情况讨论( 解答:解:此题要分两种情况: (1)当50是直角边时，所需木棒的长是错误～未找到引用源。=10错误～未找到引用源。; (2)当50是斜边时，所需木棒的长是30( 故选D( 点评:解答此题的关键是运用勾股定理解答，注意此题的两种情况( 13、(2009•乐山)如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点(一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( ) A、错误～未找到引用源。 B、2错误～未找到引用源。 C、3错误～未找到引用源。 D、3 考点:平面展开-最短路径问题。 分析:要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果( 解答:解:由题意知，底面圆的直径AB=4， 故底面周长等于4π( 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n?， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=错误～未找到引用源。， 解得n=120?， 所以展开图中?APB=120??2=60?， 根据勾股定理求得AB=3错误～未找到引用源。， 所以蚂蚁爬行的最短距离为3错误～未找到引用源。( 故选C( 点评:圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长(本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决( 14、(2009•恩施州)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( ) A、5错误～未找到引用源。 B、25 C、10错误～未找到引用源。+5 D、35 考点:平面展开-最短路径问题。 分析:要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果( 解答:解:将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，AB=错误～未找到引用源。=25( 故选B( 点评:本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可( 15、如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( ) A、(3错误～未找到引用源。+8)cm B、10cm C、14cm D、无法确定 考点:平面展开-最短路径问题。 分析:根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB( 解答:解:将点A和点B所在的两个面展开， 则矩形的长和宽分别为6和8， 故矩形对角线长AB=错误～未找到引用源。=10， 即蚂蚁所行的最短路线长是10( 故选B( 点评:本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线( 16、如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( ) A、5cm B、5.4cm C、6.1cm D、7cm 考点:平面展开-最短路径问题;勾股定理。 分析:把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离(在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得( 解答:解:因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线( 222(1)展开前面右面由勾股定理得AB=(2+4)+1=37; 222(2)展开前面上面由勾股定理得AB=(1+4)+2=29; 222(3)展开左面上面由勾股定理得AB=(2+1)+4=25( 所以最短路径的长为AB=错误～未找到引用源。=5cm( 故选A( 点评:本题考查了勾股定理的拓展应用(“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键( 17、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是( ) A、3 B、错误～未找到引用源。 C、错误～未找到引用源。 D、1 考点:平面展开-最短路径问题。 分析:要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答( 解答:解:如图将正方体展开，根据两点之间，线段最短， 得:最短路程是错误～未找到引用源。=错误～未找到引用源。( 故选B( 点评:要求不在同一平面内的两点之间的距离时，首先要把它们展开到一个平面内，然后根据两点之间，线段最短，即可求出最短距离( 《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点: 1、勾股定理 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直 2 222 2角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a+ b= c。公式的变形:a= c- 2222 b， b= c-a。 2、勾股定理的逆定理 2 22如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a+ b= c， S那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 3S1 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点: S2 ? 已知的条件:某三角形的三条边的长度. ?满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ?得到的结论:这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ?如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 2 22满足a+ b= c的三个正整数，称为勾股数。注意:?勾股数必须是正整数， 不能是分数或小数。?一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见 勾股数有: (3，4，5 )(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一:利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆( 2. 如图，以Rt?ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系( 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S、S、S，则它们之间的关系是( ) 123 A. S- S= SB. S+ S= SC. S+S< SD. S- S=S123 123 231 231 4、四边形ABCD中，?B=90?，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 5、在直线上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。已知斜放置的三个正方形的l 面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、SS、12 =_____________。 SSSSSS、，则，，，341234 考点二:在直角三角形中，已知两边求第三边 1(在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ( 2((易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高( 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( ) A( 2倍 B( 4倍 C( 6倍 D( 8倍 5、在Rt?ABC中，?C=90? ?若a=5，b=12，则c=___________; ?若a=15，c=25，则b=___________; ?若c=61，b=60，则a=__________; ?若a?b=3?4，c=10则Rt?ABC的面积是=________。 26、如果直角三角形的两直角边长分别为，2n(n>1)，那么它的斜边长是( ) n,1 22 A、2n B、n+1 C、n,1 D、n，1 7、在Rt?ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是( ) 222222222A. B. C. D.以上都有可abc，,acb，,cba，, 能 8、已知Rt?ABC中，?C=90?，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt?ABC的面积是( ) 2222cmcmcmcm A、24 B、36 C、48 D、60 2229、已知x、y为正数，且?x-4?+(y-3)=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( ) A、5 B、25 C、7 D、15 考点三:应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若 ，求 ?AD的长;?ΔABC的面积( 考点四:勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角 的问题 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( ) A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为( ) A、2?3?4 B、3?4?6 C、5?12?13 D、4?6?7 3、下面的三角形中: ??ABC中，?C=?A,?B; ??ABC中，?A:?B:?C=1:2:3; ??ABC中，a:b:c=3:4:5; ??ABC中，三边长分别为8，15，17( 其中是直角三角形的个数有( )( A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 21，则这个三角形一定是( ) 4、若三角形的三边之比为::122 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形 222225、已知a，b，c为?ABC三边，且满足(a,b)(a+b,c),0，则它的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A( 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 222abc20012a16b20c，，，,，，，7、若?ABC的三边长a,b,c满足试判断?ABC的形状。 8、?ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。 例3:求 (1)若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。 3(2)已知三角形三边的比为1::2，则其最小角为 。 考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ( 考点六、利用列方程求线段的长(方程思想) ,、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地 A 面，你能帮他算出来吗, C B mm2、一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7(如图)， m如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 米 D 3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么， 梯子底端的滑动距离 1米，(填“大于”，“等于”，A或“小于”) C 4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处;•另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高, 5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸(单位: 60 mm)计算两圆孔中心A和B的距离为 . A B C 120 60 140 第5题图7 6、如图:有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距 8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少8 米( 飞了1 B 8米 7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆65后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，2米 3 28米 A第6题图 8 再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km•就找到了宝藏，问:登陆点(A处)到宝藏埋藏点(B处)的直线距离是多少, C D ABE 图18-15 考点七:折叠问题 1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将?ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于( ) 252275A. B. C. D. 4343 2、如图所示，已知?ABC中，?C=90?，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长( 3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。 A D E B C F 4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把?ABC折 叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若?ABF的面积为30，求折叠的?AED的面积 AD E BFC 5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9?，宽AB=3?，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少, 6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。 ,, (1)试说明:AF=FC;(2)如果AB=3，BC=4，求AF的长 7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______( 8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分?EBD的面积为________( 9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证:DE:DM:EM=3:4:5。 10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为( ) A(3.74 B(3.75 C(3.76 D(3.77 2-5 11、如图1-3-11，有一块塑料矩形 模板 个人简介word模板免费下载关于员工迟到处罚通告模板康奈尔office模板下载康奈尔 笔记本 模板 下载软件方案模板免费下载 ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P: ?能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C,若能，请你求出这时 AP 的长;若不能，请说明理由. ?再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过 点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm,若能，请你求出这时AP的长;若不能，请你说明理由. 12、如图所示，?ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE?DF，若BE=12，CF=5(求线段EF的长。 13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且?QPN,30?，点A处有一所中学，AP,160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响,请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多 少秒, 考点八:应用勾股定理解决勾股树问题 1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中 2、最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积 C3B的和为 12 D 4 13 A2、已知?ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt?ABC 的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt?ACD，再以Rt?ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt?ADE，„，依此类推，第n个等腰直角三 角形的斜边长是 ( EF D CGA B 考点九、图形问题 1、如图1，求该四边形的面积 2、如图2，已知，在?ABC中，?A = 45?，AC = 2，AB = 3+1，则边BC的长为 ( 3、某公司的大门如图所示,其中四边形,,,,是长方形,上部是以,,为直径的 半圆,其中,,=2.3,，,,=2,,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5,,宽为1.6,,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 . 4、将一根长24?的筷子置于地面直径为5?，高为12?的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h?，则h的取值范围 。 5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E， 、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处, 使得C 考点十:其他图形与直角三角形 如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，?D=90?，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。 考点十一:与展开图有关的计算 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离( 2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm B A 3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 了四种架设方案，如图实线部分(请你帮助计算一下，哪种架 设方案最省电线( 考点十二、航海问题 1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里( 2、如图，某货船以24海里,时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60?的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30?的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险,试说明理由。 北 C3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正 30:60:南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以东 ABDM15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点,如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险, C A D考点十三、网格问题 1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的 B三角形ABC中，边长为无理数的边数是( ) A(0 B(1 C(2 D(3 2、如图，正方形网格中的?ABC，若小方格边长为1，则?ABC是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( ) A( 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 D A ACB CC BBA (图1) (图2) (图3) 4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形: 85?使三角形的三边长分别为3、、(在图甲中画一个即可); ?使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可)( 乙甲 勾股定理、因式分解测试题 1. 下列说法正确的是( ) 222A.若 a、b、c是?ABC的三边，则a，b,c; 222B.若 a、b、c是Rt?ABC的三边，则a，b,c; 222,，A,90C.若 a、b、c是Rt?ABC的三边，，则a，b,c; 222,，C,90D.若 a、b、c是Rt?ABC的三边，，则a，b,c( bac2. Rt?ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是( ) 222a，b,ca，b,ca，b,ca，b,cA( B. C. D. 23( 如果Rt?的两直角边长分别为k,1，2k(k >1)，那么它的斜边长是( ) 22A、2k B、k+1 C、k,1 D、k+1 222224. 已知a，b，c为?ABC三边，且满足(a,b)(a+b,c),0，则它的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5( 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( ) A(121 B(120 C(90 D(不能确定 6( ?ABC中，AB,15，AC,13，高AD,12，则?ABC的周长为( ) A(42 B(32 C(42 或 32 D(37 或 33 27(已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(6)8100abc,，,，,, 则三角形的形状是( ) A:底与边不相等的等腰三角形 B:等边三角形 C:钝角三角形 D:直角三角形 17cm8cm8(斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是 ( 9. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为,,. 10. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 11. 一个三角形的三边之比为5?12?13，它的周长为60，则它的面积是,,,. 22212. 在Rt?ABC中，斜边AB=4，则AB，BC，AC=_____( 13(若三角形的三个内角的比是，最短边长为，最长边长为1cm1:2:3 ，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方2cm 是 ( 二、综合发展: 1、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿?CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求出BD的长, C D B A E 15cm20cm25cm2.一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少, 3(如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜, 1、把下列各式分解因式: 2x，5x,6, 2x,5x，6, 2x，5x，6, 2x,5x,6, 22= xabxyaby,，，() 2273xx,，, 2672xx,，, 2273xx，，, 21.若集合中至多有一个元素，求实数a的取值范围。 A,{x|ax，3x，2,0} , ,, 答案: 一、基础达标 1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角( 答案: D. 2. 解析:本题考察三角形的三边关系和勾股定理. 答案:B. 3( 解析:设另一条直角边为x，则斜边为(x+1)利用勾股定理可得方程，可以求出x(然后 再求它的周长. 答案:C( 4(解析:解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD是在三角形的内部还是在三角形 的外部，有两种情况，分别求解. 答案:C. 22217,8,155( 解析: 勾股定理得到:，另一条直角边是15， 12，，,15860cm260cm2所求直角三角形面积为(答案: ( 6( 解析:本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立( 222答案:，，直角，斜，直角( ca，b,c 7( 解析:本题由边长之比是可知满足勾股定理，即是直角三角形(答案:直角( 10:8:6 8( 解析:由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形(答案:、、，30:60:90: 3( 222222BC,9BC,AB,AC,15,12,99( 解析:由勾股定理知道:，所以以直角边 为直径的半圆面积为10.125π(答案:10.125π( ,410( 解析:长方形面积长?宽，即12长?3，长，所以一条对角线长为5( 5cm答案:( 二、综合发展 11( 解析:木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方( 5m答案:( 22215，20,25xcm12解析:因为，所以这三角形是直角三角形，设最长边(斜边)上的高为， 11x,12由直角三角形面积关系，可得，?(答案:12cm ，，,，,152025x22 13(解析:透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾 股定理求出. 答案:在直角三角形中，由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为5m, 2所以矩形塑料薄膜的面积是:5?20=100(m) ( 14(解析:本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢 之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解. 答案:6.5s( 15(解析:本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40 70，可得速度是20m/s=72km/h,km/h( 米，时间是2s 答案:这辆小汽车超速了( 八年级第17章勾股定理专项练习 25练习一(18.1) 1. 如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) B169 A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 2.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹 竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河 水的深度为( ). A.2m B.2.5cm C.2.25m D.3m 3.?ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则?ABC的周长是( ) A.42 B.32 C.42或32 D.37或33 2224、已知x、y为正数，且?x-4?+(y-3)=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( ) A、5 B、25 C、7 D、15 5. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. 1111112222ab=h B. a+b=2h C. += D. += 222ahbabh PE,AC6.已知，如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点， PDAPF,BD于E，于F，如果AB=3，AD=4，那么( ) EF BC第6题 121312A.PE，PF,; B. ,,; PE，PF555 PE，PF,53C. D. ,, 4PE，PF 7((1)在Rt?ABC中，?C=90?( ?若AB=41，AC=9，则BC=_______; ?若AC=1.5，BC=2，则AB=______，?ABC的面积为________( 8.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,•他搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上,•小虎应把梯子的底端放在距离墙________米处. 09.在?ABC中，?C=90,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿 新|课 | 标|第 | 一| 网CA-AB-BC的路径再回到C点，需要______分的时间. 10.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，•A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________ A20 32 B 22y,5y，6,0，则第三边长为11(荆门).已知直角三角形两边x、y的长满足,x,4,， ,,,,,,. 12.如图7所示,Rt?ABC中,BC是斜边,将?ABP绕点A逆时针旋转后,能与?ACP•′重合,如果AP=3,你能求出PP′的长吗? 新|课 | 标|第 | 一| 网 A 'P PBC 13.如图4为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米? 3米 5米 14.如图2，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. 3米 4米 20米 15(如图，每个小方格的边长都为1(求图中格点四边形ABCD的面积( D AC B 16.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少? FDA BCE 17(4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c(现把它们适当拼合，•可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗,•请试一试( cb a 18. 如图3,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少? C H M D C F E A B 19(《中华人民共和国道路交通安全法》规定:•小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h(如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，•某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，•过了2s•后，•测得小汽车与车速检测仪间距离为50m(这辆小汽车超速了吗, 小汽车小汽车CB A 观察点 20(如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为10cm(当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)(想一想，此时EC有多长,• DA E CBF 21.有一块三角形的花圃ABC,现可直接测得?A=30,AC=40m,BC=25m,•请你求出这块花圃的面积. 22.如图所示,?ABC中,?ACB=90?,CD?AB于D,且AB+BC=18cm,若要求出CD•和AC的长,还需要添加什么条件? C BDA 23.四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去……(新 课 标 第 一 网 ?记正方形ABCD的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为a,11 a,a,a,？,a，请求出a,a,a的值; 234n234 ?根据 以上规律写出a的表达式( n 324.已知:如图，在Rt?ABC中，?C=90?，?ABC=60?，BC长为 p，BB是?ABC的平l分线交AC于点B，过B作BB?AB于点B，过B作BB?BC交AC于点B，过B作1112222333BB?AB于点B，过B作BB?BC交AC于点B，过B作B B?AB于点B，…，无34444555566限重复以上操作(设b=BB，b=BB，b=BB，b=BB，b=BB，…，bn=BnBn，…( 0l112223334445+1 (1)求b，b的长; 03 (2)求bn的表达式(用含p与n的式子表示，其中n是正整数) 025、已知:在Rt?ABC中，?C,90，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c，设?ABC的面积为S，周长为l( ?填表: S三边a、b、c a，b,c l 2 3、4、5 4 5、12、13 6 8、15、17 S?如果a，b,c,m，观察上表猜想: ,__________(用含有m的代数式表示)( l ?证明?中的结论( 26(如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”(如图(一)中四边形ABCD就是一个“格点四边形”( (1)求图(一)中四边形ABCD的面积; (2)在图(二)方格纸中画一个格点三角形EFG，使?EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形( A DB C 图(一) 图(二) 练习二(18.2) 2221.有五组数:?25，7，24;?16，20，12;?9，40，41;?4，6，8;?3,4,5，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 2.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.8 2223.下列各组线段中的三个长度?9、12、15;?7、24、25;?3、4、5;?3a、4a、5a(a>0); 2222?m-n、2mn、m+n(m、n为正整数，且m>n)其中可以构成直角三角形的有( ) A、5组; B、4组; C、3组; D、2组 4.在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到?ABC′，则CC′的长等于( ) 1213524A、 ; B、 ; C、 ; D、 5565 5. 下列说法中, 不正确的是 ( ) A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形 B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形 C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形 D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形 6(呼和浩特)如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )新- 课-标- 第-一 -网 A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF (第6题) 7.如图4所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,•其中最大的正方形的 C DB A 7cm 2边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是_______cm. 8(已知2条线段的长分别为3cm和4cm，当第三条线段的长为_______cm时，这3条线段能组成一个直角三角形( 9、在?ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________( 10. 传说,古埃及人曾用:拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________ 11(小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断,你能帮她设计一种方法吗, 22222222222212.给出一组式子:3+4=5,8+6=10,15+8=17,24+10=26…… (1)你能发现上式中的规律吗? (2)请你接着写出第五个式子. 13(观察下列各式，你有什么发现, 2222 3=4+5，5=12+13，7=24+25，9=40+41……X k B 1 . c o m 这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢,请你结合有关知识进行研究(•如果213=b+c，则b、c的值可能是多少 14(如图，是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A处，•它想先 后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程, A B C 15(如图，在?ABC中，AB=AC=13，点D在BC上，AD=12，BD=5，试问AD平分?BAC吗,•为什么, A DBC 16(如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据:AB=•3cm，•BC=12cm，CD=13cm，AD=4cm，东东由此认为这个四边形中?A恰好是直角，•你认为东东的判断正确吗,如果你认为他正确，请说明其中的理由;如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断?A是直角, BA D C 22217. 学习了勾股定理以后,有同学提出”在直角三角形中,三边满足a+b=c,或许其他的三角形三边也有这样的关系’’.让我们来做一个实验! (1)画出任意一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是 222a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm. 比较a+b=______c(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’); (2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是 222a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm. 比较a+b=______c(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’); (3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想的结论是:_________________. 新|课 | 标|第 | 一| 网 222ab，c对你猜想与的两个关系，利用勾股定理证明你的结论( AAA CCBBCB(1)(3)(2) 18.如图(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图(2)所示(已知展开图中每个正方形的边长为1( (1)求在该展开图中可画出最长线段的长度,这样的线段可画几条, ,,,，BAC，BAC (2)试比较立体图中与平面展开图中的大小关系, C A B ,C 第17题图(1) ,A ,B 第17题图(2) ,C ,C ,A ,D ,A ,B ,B 第17题图(1) 第17题图(2) 18.1答案 1.C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A 7((1)?40;?2.5;1.5 9. 128.0.7 10.25dm X| k |B| 1 . c| O |m 13511.22或或 12.PP′=32. 13. 7米 14. 100平方米 15(12.5 222216.解:?BE==80(m), AEAB,,,10060 2?EC=84-80=4(m),?S=4×60=240(m). 阴 17(由图可知，边长为a、b的正方形的面积之和等于边长为c的正方形的面积 18. 25cm 19(超速，经计算的小汽车的速度为72km/h 20(由条件可以推得FC=4，利用勾股定理可以得到EC=3cm( 223321.提示:分锐角、钝角三角形两种情况:(1)S=(200+150)m;(2)S=(200-150)m. ?ABC?ABC 22.提示:可给特殊角?A=?BCD=30?,也可给出边的关系,如BC:AB=1:2等等. 2223解:?; a,1a,1，1,212 2222，，，，a,2，2,2; a,2，2,2234 n,1a,2? n 3,11,12,1a,2,2 ?;; a,2,1a,2,2312 n,14,1a,2 ? a,2,22n4 24((1)b0=2p 3在Rt?BB中，b=P(同理(b= p/2 1212 b=3p/4 3 23(2)同(1)得:b=( /2)p( 4 n-1?bn=( /2)(n是正整数)( 3 25、?填表: S三边a、b、c a，b,c l 1 3、4、5 2 2 5、12、13 4 1 3 8、15、17 6 2Sm?,?证明:?a，b,c,m，?a，b,m，c， l42222?a，2ab，b,m，c，2mc( 2222?a，b,c，?2ab,m，2mc ab1?,m(m，2c) 24 11abm(m，2c)S24m?,,, la，m，b，cc，c4 126解:(1)方法一:S,×6×4 2 ,12 1111方法二:S,4×6,×2×1,×4×1,×3×4,×2×3,12 2222 (2)(只要画出一种即可) 18.2节答案 1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 77.49 8(5cm或cm 9. 108 10. 6,6,10 勾股定理的逆定理 11(方法不惟一(如:•分别测量三角形三边的长a、b、c(a?b?c)， 222然后计算是否有a+b=c，确定其形状 2222212.(1)(n-1)+(2n)=(n+1)(n>1). 222(2)35+12=37. 13(•其中的一个规律为(2n+1)=2n(n+1)+[2n(n+1)+1]( 当n=6时，2n(n+1)、[2n(n+1)+1]的值分别是84、•85 14(AB=5cm，BC=13cm(•所以其最短路程为18cm 22215(AD平分?BAC(因为BD+AD=AB， 所以AD?BC，又AB=AC，所以结论成立 16(不正确(增加的条件如:连接BD，测得BD=5cm( 22217.解:若?ABC是锐角三角形，则有 abc，, 222，C 若?ABC是钝角三角形，为钝角，则有( abc，, 当?ABC是锐角三角形时， A cb CBDa 证明:过点A作ADBC，垂足为D，设CD为，则有BD, xax,, 22222根据勾股定理，得 X| k |B| 1 . c| O |m bxADcax,,,,,() 22222222bxcaaxx,,,，,2abcax，,，2即(? 22220ax,abc，,?，?(?( ax,,0,0 当?ABC是钝角三角形时， A bc aCB D 证明:过B作BDAC，交AC的延长线于D( , 222BDax,,x设CD为，则有 2222根据勾股定理，得( ()bxaxc，，,, 222abbxc，，,2即( 22220bx,?，?，?( abc，,bx,,0,0 18解:(1)在平面展开图中可画出最长的线段长为( 10 ,,,,,ACRt?ACD如图(1)中的，在中 ,,,,？CDAD,,13，，由勾股定理得: 22,,,,,, ？,，,，,ACCDAD1910. 答:这样的线段可画4条(另三条用虚线标出)( ，BAC(2)立体图中为平面等腰直角三角形的一锐角， ？ ,( ？，,BAC45 ,,BC在平面展开图中，连接线段，由勾股定理可得: ,,,,ABBC,,55，( 222,,,,,,又， ？ABBCAC，, ,,,?ABC由勾股定理的逆定理可得为直角三角形( ,,,,,,,,,,,？ABBC,？?ABC又，为等腰直角三角形(？，,BAC45( ,D ,,,，BAC，BAC所以与相等( 勾股定理练习题 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是( ) 222A.若 a、b、c是?ABC的三边，则a，b,c; 222B.若 a、b、c是Rt?ABC的三边，则a，b,c; 222,，A,90C.若 a、b、c是Rt?ABC的三边，，则a，b,c; 222,，C,90D.若 a、b、c是Rt?ABC的三边，，则a，b,c( bac2. Rt?ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是( ) 222a，b,ca，b,ca，b,ca，b,cA( B. C. D. 23( 如果Rt?的两直角边长分别为k,1，2k(k >1)，那么它的斜边长是( ) 22A、2k B、k+1 C、k,1 D、k+1 222224. 已知a，b，c为?ABC三边，且满足(a,b)(a+b,c),0，则它的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5( 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三 角形的周长为( ) A(121 B(120 C(90 D(不能确定 6( ?ABC中，AB,15，AC,13，高AD,12，则?ABC的周长为( ) A(42 B(32 C(42 或 32 D(37 或 33 Sd7.※直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为( ) 22(A) (B) dSd，，2dSd,, 22(C) (D) 22dSd，，2dSd，， 8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为( ) A:3 B:4 C:5 D: 7 9(若?ABC中，AB=25cm，AC=26cm高AD=24,则BC的长为( ) A(17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 210(已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(6)8100abc,，,，,, 则三角形的形状是( ) A:底与边不相等的等腰三角形 B:等边三角形 C:钝角三角形 D:直角三角形 17cm8cm11(斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是 ( 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为,,. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14(一个三角形三边之比是，则按角分类它是 三角形( 10:8:6 15. 一个三角形的三边之比为5?12?13，它的周长为60，则它的面积是,,,. 22216. 在Rt?ABC中，斜边AB=4，则AB，BC，AC=_____( 17(若三角形的三个内角的比是，最短边长为，最长边长为1cm1:2:3 ，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方2cm 是 ( ,ABC，C,90:BA,1518(如图，已知中，，，B AC,12BC，以直角边为直径作半圆，则 C A 这个半圆的面积是 ( 23cm12cm19( 一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长 是 ( 二、综合发展: 4m3m1(如图，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长( 2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿?CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗, C D B A E 15cm20cm25cm3.一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少, 4(如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜, 5(如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远,这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起, 15(“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行 70驶速度不得超过km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道 30行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了 502s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了 小汽车 小汽车 吗, B C A 观测点 答案: 一、基础达标 1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角( 答案: D. 2. 解析:本题考察三角形的三边关系和勾股定理. 答案:B. 3( 解析:设另一条直角边为x，则斜边为(x+1)利用勾股定理可得方程，可以求出x(然后 再求它的周长. 答案:C( 4(解析:解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD是在三角形的内部还是在三角形 的外部，有两种情况，分别求解. 答案:C. 22217,8,155( 解析: 勾股定理得到:，另一条直角边是15， 12，，,15860cm260cm2所求直角三角形面积为(答案: ( 6( 解析:本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立( 222答案:，，直角，斜，直角( ca，b,c 7( 解析:本题由边长之比是可知满足勾股定理，即是直角三角形(答案:直角( 10:8:6 8( 解析:由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形(答案:、、，30:60:90: 3( 222222BC,9BC,AB,AC,15,12,99( 解析:由勾股定理知道:，所以以直角边 为直径的半圆面积为10.125π(答案:10.125π( ,410( 解析:长方形面积长?宽，即12长?3，长，所以一条对角线长为5( 5cm答案:( 二、综合发展 11( 解析:木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方( 5m答案:( 22215，20,25xcm12解析:因为，所以这三角形是直角三角形，设最长边(斜边)上的高为， 11x,12由直角三角形面积关系，可得，?(答案:12cm ，，,，,152025x22 13(解析:透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾 股定理求出. 答案:在直角三角形中，由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为5m, 2所以矩形塑料薄膜的面积是:5?20=100(m) ( 14(解析:本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢 之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解. 答案:6.5s( 15(解析:本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40 70米，时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h,km/h( 答案:这辆小汽车超速了( 经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt?ABC中，?C=90? (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在?ABC中，?C=90?，a=6，c=10,b= (2) 在?ABC中，?C=90?，a=40，b=9,c= (3) 在?ABC中，?C=90?，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图?B=?ACD=90?, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】??ACD=90? AD=13, CD=12 2 22 ?AC=AD,CD 22 =13,12 =25 ?AC=5 又??ABC=90?且BC=3 ?由勾股定理可得 222 AB=AC,BC 22 =5,3 =16 ?AB= 4 ?AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图，已知:在中，，，. 求:BC的长. 思路点拨:由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D， 则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析:作于D，则因， (的两个锐角互余) ? ?(在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ? . 举一反三【变式1】如图，已知:，，于P. 求证: . 解析:连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ? 又? (已知)， ?. 在中，根据勾股定理有 ， ?. 【变式2】已知:如图，?B=?D=90?，?A=60?，AB=4，CD=2。求:四边形ABCD的 面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延 长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较 为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 ??A=?60?，?B=90?，??E=30?。 ?AE=2AB=8，CE=2CD=4， 22222 ?BE=AE-AB=8-4=48，BE==。 22222 ?DE= CE-CD=4-2=12，?DE==。 ?S=S-S=AB?BE-CD?DE= 四边形??ABCDABECDE 类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60?方向走了到达B点，然后再沿北偏西30?方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 解析:(1)过B点作BE//AD ??DAB=?ABE=60? ?30?+?CBA+?ABE=180? ??CBA=90? 即?ABC为直角三角形 由已知可得:BC=500m，AB= 由勾股定理可得: 所以 (2)在Rt?ABC中， ?BC=500m，AC=1000m ??CAB=30? ??DAB=60? ??DAC=30? 即点C在点A的北偏东30?的方向 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂， 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH(如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD?,,， 与地面交于H( 解:OC,1米 (大门宽度一半)， OD,0.8米 (卡车宽度一半) 在Rt?OCD中，由勾股定理得: CD,,,,.,米， C,,,.,，,.,,,.,(米),,.,(米)( 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门( (二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分(请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线( 思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论( 解析:设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为 AB+BC+CD,3，AB+BC+CD,3 图(3)中，在Rt?ABC中 同理 ?图(3)中的路线长为 图(4)中，延长EF交BC于H，则FH?BC，BH,CH 由?FBH, 及勾股定理得: EA,ED,FB,FC, ?EF,1,2FH,1, ?此图中总线路的长为4EA+EF, 3,2.828>2.732 ?图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线( 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高,,为4cm，,,是上底面的直径(一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程( 解: 如图，在Rt?,,,中，,,,底面周长的一半,,,cm， 根据勾股定理得 (提问:勾股定理) ? AC,, ,?,,(,,(cm)(勾股定理)( 答:最短路程约为,,(,,cm( 类型四:利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 思路点拨:由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角?ACB，使AB为斜边; (2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为; (3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是 、、、。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法:如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC?OA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 类型五:逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1(原命题:猫有四只脚((正确) 2(原命题:对顶角相等(正确) 3(原命题:线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等((正确) 4(原命题:角平分线上的点，到这个角的两边距离相等((正确) 思路点拨:掌握原命题与逆命题的关系。 解析:1. 逆命题:有四只脚的是猫(不正确) 2. 逆命题:相等的角是对顶角(不正确) 3. 逆命题:到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上(•(正确) 4. 逆命题:到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上((正确) 总结升华:本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 222 7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 思路点拨:要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件222a+b+c+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 222 解析:由a+b+c+50=6a+8b+10c，得 : 222 a-6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0, 222 ? (a-3)+(b-4)+(c-5)=0。 222 ? (a-3)?0, (b-4)?0, (c-5)?0。 ? a=3，b=4，c=5。 222 ? 3+4=5, 222 ? a+b=c。 由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。 总结升华:勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用 到。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，?B=90?，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四 边形ABCD的面积。 【答案】:连结AC ??B=90?，AB=3，BC=4 222 ?AC=AB+BC=25(勾股定理) ?AC=5 222 ?AC+CD=169，AD=169 222 ?AC+CD=AD ??ACD=90?(勾股定理逆定理) 2222 【变式2】已知:?ABC的三边分别为m,n,2mn,m+n(m,n为正整数,且m,n),判断?ABC 是否为直角三角形. 222 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a+b=c即可 证明: 所以?ABC是直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答:DE?EF。 证明:设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, 222222 ? EF=BF+BE=a+4a=5a; 222222 DE=CE+CD=4a+16a=20a。 连接DF(如图) 222222 DF=AF+AD=9a+16a=25a。 222 ? DF=EF+DE, ? FE?DE。 经典例题精析 类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3:4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析:设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得: 222 (3x)+(4x),20 2 化简得x,16; 2 ?直角三角形的面积,?3x?4x,6x,96 总结升华:直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答案】如图，等边?ABC，作AD?BC于D 则:BD,BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) ?AB,AC,BC,2(等边三角形各边都相等) ?BD,1 222222 在直角三角形ABD中，AB,AD+BD，即:AD,AB,BD,4,1,3 ?AD, S,BC?AD, ?ABC 注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a，则其面积为a。 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得: 由(1)得:x+y,7， 222 (x+y),49，x+2xy+y,49 (3) (3),(2)，得:xy,12 2 ?直角三角形的面积是xy,?12,6(cm) 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 思路点拨:首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解:此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得: 222 (n+1)+(n+2),(n+3) 2 化简得:n,4 ?n,?2，但当n,,2时，n+1,,1<0，?n,2 总结升华:注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( ) A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析:此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断， 222222 对数据较大的可以用c,a+b的变形:b,c,a,(c,a)(c+a)来判断。 例如:对于选择D， 2 ?8?(40+39)?(40,39)， ?以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】:A 【变式5】四边形ABCD中，?B=90?，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 解:连结AC ??B=90?，AB=3，BC=4 222 ?AC=AB+BC=25(勾股定理) ?AC=5 222 ?AC+CD=169，AD=169 222 ?AC+CD=AD ??ACD=90?(勾股定理逆定理) ?S=S+S=AB?BC+AC?CD=36 四边形??ABCDABCACD 类型二:勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且?QPN,30?，点A处有一所中学，AP,160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响,请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒, 思路点拨:(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析:作AB?MN，垂足为B。 在 RtΔABP中，??ABP,90?，?APB,30?， AP,160， ? AB,AP,80。 (在直角三角形中，30?所对的直角边等于斜边的一半) ?点 A到直线MN的距离小于100m, ?这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC,100(m)， 222 由勾股定理得: BC,100-80,3600,? BC,60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD,100(m)，BD,60(m), ?CD,120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h,5m/s t,120m?5m/s,24s。 答:拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”， 在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。 解析:他们原来走的路为3+4,7(m) 设走“捷径”的路长为xm，则 故少走的路长为7,5,2(m) 又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 (1)直接写出单位正三角形的高与面积。 (2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形,平行四边形ABCD的面积是多少, (3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。 【答案】(1)单位正三角形的高为，面积是。 (2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。 (3)过A作AK?BC于点K(如图所示)，则在Rt?ACK中，， ，故 类型三:数学思想方法(一)转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决( 3、如图所示，?ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE?DF，若BE=12，CF=5(求线段EF的长。 思路点拨:现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD( 解:连接AD( 因为?BAC=90?，AB=AC( 又因为AD为?ABC的中线， 所以AD=DC=DB(AD?BC( 且?BAD=?C=45?( 因为?EDA+?ADF=90?( 又因为?CDF+?ADF=90?( 所以?EDA=?CDF( 所以?AED??CFD(ASA)( 所以AE=FC=5( 同理:AF=BE=12( 在Rt?AEF中，根据勾股定理得: ，所以EF=13。 总结升华:此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 (二)方程的思想方法 4、如图所示，已知?ABC中，?C=90?，?A=60?，，求、、的值。 思路点拨:由，再找出、的关系即可求出和的值。 解:在Rt?ABC中，?A=60?，?B=90?-?A=30?， 则，由勾股定理，得。 因为，所以， ，，。 总结升华:在直角三角形中，30?的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三:【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 解:因为?ADE与?AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以?B=?C=90?， 在Rt?ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以。 所以 。 设，则。 在Rt?ECF中，，即，解得。 即EF的长为5cm。 勾股定理同步练习题 231(已知直角三角形中30?角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是( ) 4363A. 4cm B. cm C. 6cm D. cm 2(?ABC中，AB,15，AC,13，高AD,12，则?ABC的周长为( ) A(42 B(32 C(42 或 32 D(37 或 33 3(一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶 端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( ) A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米 4( 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走 出了一条“路”(他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草( “路”5. 在?ABC中，?C,90?，(1)已知 a,2.4，b,3.2，则c, ;(2)已知c3m ,17，b,15，则?ABC面积等于 ;(3)已知?A,45?，c,18，则a, . 4m第4题图 6. 一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以 是 ( 27. 在Rt?ABC中，?C,90?，BC,12cm，S,30cm，则AB, . ?ABC 8. 等腰?ABC的腰长AB,10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 . 9. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ( 10(一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家(到了家门口， 才发现门口只有242cm高，宽100cm(你认为小明能拿进屋吗, ( 11(如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗, 12(如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每 平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 13m 5m 13(有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大 树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几 秒才可能到达大树和伙伴在一起, 7014(“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h. 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正 3050前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了 吗, 小汽车 小汽车 B C A 观测点 15(将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm， 在无风的天气 里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时 的尺寸如左图的长方形(单位:cm). 120 90 一、相信你的选择 1、如图，在Rt?ABC中，?B,90?，BC,15，AC,17，以AB为直径作半圆，则此 半圆的面积为( )( A(16π B(12π C(10π D(8π 2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为( )( 77A(12 B(7， C(12或7， D(以上都不对 3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m(同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′( )( A(小于1m B(大于1m C(等于1m D(小于或等于1m 4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是( )( A(h?17cm B(h?8cm C(15cm?h?16cm D(7cm?h?16cm 二、试试你的身手 135、在Rt?ABC中，?C,90?，且2a,3b，c,2，则a,_____，b,_____( 6、如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是_____(精确到个位)( 30米o15020米 7、如图，?ABC中，AC,6，AB,BC,5，则BC边上的高AD,______( 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 元( 三、挑战你的技能 9、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去((1)记正方形ABCD的边长为a=1，1按上述方法所作的正方形的边长依次为a，a，a，……，a，请求出a，a，a的值;(2)234n234 根据以上规律写出a的表达式( n 10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C 处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30?，已知侧角仪高DC,1.4m， BC,30米，请帮助小明计算出树高AB((取1.732，结果保留三个有效数字) 3 11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB,30海里，问乙船每小时航行多少海里, ?1.1探索勾股定理 (1) 基础训练 1(为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬 来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应 为 米( 2(如图1-1-1，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使?ABC,90?，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离为 m( 3(如图1-1-2，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ((,不取近似值) 4(底边长为16cm，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为 cm( 5(一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km( 提高训练 6(一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端滑动 m( 7(如图1-1-3所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和 2是 cm( a，b,14c,108(已知Rt?ABC中，?C,90?，若cm，cm，则Rt?ABC的面积为( )( 2222(A)24cm (B)36cm (C)48cm (D)60cm 9(如图1-1-4，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S，S，S，则123S，S，S之间的关系是( )( 123 (A) (B) (C) (D)无法确定 S，S,SS，S,SS，S,S123123123 10(暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝. 他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km( 知识拓展 11(如图1-1-6，已知直角?ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积( C 68 AB 图1-1-6 12(如图1-1-7，有一块直角三角形纸片，两直角边AC,6cm，BC,8cm，现将直角边 AAC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长( E BCD 图1-1-7 ?1.1探索勾股定理 (2) 基础训练 17cm15cm1(斜边为，一条直角边长为的直角三角形的面积是( ) (A) 60 (B) 30 (C) 90 (D) 120 2. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) (A)13 (B)8 (C)25 (D)64 3. 已知一个Rt?的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( ) (A)25 (B)14 (C)7 (D)7或25 222ABC4. 在直角三角形中，斜边=2，则=______. ABABACBC，， 5. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 . 6. 如图1-1-8为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表 3米 面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米. 5米 图1-1-8 提高训练 7. 如图1-1-9，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 8. 如图1-1-10，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. 3米 4米 20米 图1-1-10 图1-1-9 Garfield9(伽菲尔德(，1881年任美国第20届总统)利用两个全等的三角形拼成如图图形， ,RtRt???ABCCDEBCD，，，,，,BD90，，且三点共线，证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该证明过 程( 图1-1-11 知识拓展 10(如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将?ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 图1-1-12 ?1.1探索勾股定理 (3) 基础训练 1(长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是( ). 2222(A)60cm (B)64 cm (C)24 cm (D)48 cm ABCDEFGH，BC，2(如图1-1-3，把矩形纸条沿同时折叠，两点恰好落在边的点ADP ,PF,8PH,6ABCDBC?FPH,90处，若，，，则矩形的边长为( ) 20302224,( ,( ,( ,( 5 a 12 图1-1-14 图1-1-13 图1-1-15 3(如图1-1-14,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(,取3)是( ). (A)20cm (B)10cm (C)14cm (D)无法确定 4(如图1-1-15是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底 面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(((( ( ) 1213??a1215??a512??a513??a A( B( C( D( 提高训练 5(一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 6(我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图1-1-16所示)(如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直 2ab，角三角形的两直角边长分别为，那么的值是 ( ()ab， labc，，bac，7(如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为( ) ,(4 ,(6 ,(16 ,(55 b c a l 1-1-17 图1-1-16 图1-1-18 8(如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位:)，计算mm两圆孔中心和的距离为______( mmAB C ,Rt?ABCAC,49(如图1-1-19，已知中，，cm，，,C90D BC,3?ABCAB，cm(现将进行折叠，使顶点重合，则折 DE,痕 cm( A B E 图1-1-19 10(图1-1-20是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图， B A AC,6BC,5它是由四个全等的直角三角形围成的(若，， 将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍， C 得到图-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长 是 ( 图1-1-20 图1-1-20 11. 如图1-1-21，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA?AB于A，CB?AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处, D C A B E 图1-1-21 12. 已知，如图1-1-22，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且?A=90?，求四边形ABCD的面积。 A D B C 1-1-22 13( 如图1-1-23，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米, A A 1 B1BC 图1-1-23 知识拓展 14. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少, 图1-1-24 1.2 你能得到直角三角形吗 基础题 1(下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1.5, 2, 3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15 2(将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形. 3(适合下列条件的?ABC中, 直角三角形的个数为( ) 111000a,,b,,c,;???A=45;??A=32, ?B=58; ? a,6,a,7,b,24,c,25;345 ? a,2,b,2,c,4. A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个. 22bc,16c，64b,15ac(a,17)4(已知?ABC的三边分别长为、、，且满足，+,0，则?ABC是( )( baA(以为斜边的直角三角形 B(以为斜边的直角三角形 c C(以为斜边的直角三角形 D(不是直角三角形 222a，b,c5(满足的三个正整数，称为 。 6(三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。 2 2 27(在ΔABC中,若AB+ BC= AC,则?A + ?C, ?。 8. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 。 9、如图1-2-1,已知四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,?B=90?，请问?D等于90?吗,请说明理由。 D C A B 图1-2-1 10 .如图所示，在?ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，BD=9，求BC的长( 11.在如图所示的图形中，AB =12，BC,,,，CD=4，,D,3，AD?CD，求这个图形的面积( 提高题 12、在?ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是 ( ) (A)42 (B)32 (C)42或32 (D)37或33 13.如图，在?ABC中，,为BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13，试判断AD与AB的位置关系( 14(观察下列 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 : 请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值( 列举 猜想 23、4、5 3=4+5 25、12、13 5=12+13 2 =24+25 7、24、25 7 „„ „„ 2 13、b、c 13=b+c ?1.3 蚂蚁怎样走最近 一、基础题: , ABBC,,1310，AC,AD,121. ?ABC中，，中线，则 ( 2. 有一圆柱形罐，如图1，要以点环绕油罐建梯子，正好到点的正上方AAB AB,5点，则梯子最短需 米((油罐周长12m，高m) , 图1 3. 上午8:00，甲船从港口出发，以20海里/时的速度向东行驶，半个小时后，乙船也由同一港口出发，以相同的速度向南航行，上午10:00时，甲、乙两船相距多少远, 港口 B A C AC　，4. 如图2所示，长方形公园里要建一条小石子路，要求连结两个景点，则石子路最短要多长, D C 600m A 800m B 图2 二、提高题 33×1. 如图3所示，一棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面都分成个小正方形，其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点沿表面爬行至右侧点，AB B A 最少要花几分钟, 图3 2. 如图4所示，一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看做圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，问:丝带共有多长, 图4 ,C603. 如图5，某船向正东方向航行，在处望见某岛在北偏东，该船前进6海里到达点，AB ,CC30则望见岛在北偏东，已知在岛周围6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁的危险,并说明理由( 北 C 东 , 30 ,60 A D B 图5 4. 一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长, 5. 某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗, X| k |B| 1 . c| O |m