【数学】2014年普通高等学校招生全国统一考试福建卷(理)Word版含答案2

2014年福建高考数学试题（理） 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 的共轭复数 等于（  ） 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（  ） 圆柱    圆锥    四面体    三棱柱 3.等差数列 的前 项和 ，若 ，则 (    ) 4.若函数 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（    ） 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 得值等于（    ） 6.直线 与圆 相交于 两点，则 是“ 的面积为 ”的（    ） 充分而不必要条件        必要而不充分条件 充分必要条件            既不充分又不必要条件 7.已知函数 则下列结论正确的是（  ） A. 是偶函数  B. 是增函数  C. 是周期函数  D. 的值域为 8.在下列向量组中，可以把向量 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来的是（    ） A.     B .   C.     D.     9.设 分别为 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离是（    ） A.     B.     C.     D. 10.用 代表红球， 代表蓝球， 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“ ”表示取出一个红球，面“ ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是 A. B. C. D. 2、填空题 11、若变量 满足约束条件 则 的最小值为________ 12、在 中， ,则 等于_________ 13、要制作一个容器为4 ，高为 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 14.如图，在边长为 （ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______. 15.若集合 且下列四个关系： ① ；② ；③ ；④ 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 的个数是_________. 3．解答题：本大题共6小题，共80分. 16.（本小题满分13分） 已知函数 . （1）若 ，且 ，求 的值； （2）求函数 的最小正周期及单调递增区间. 17.（本小题满分12分） 在平行四边形 中， ， .将 沿 折起，使得平面 平面 ，如图. （1）求证： ； （2）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值. 18.（本小题满分13分） 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从 一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; （2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 19.（本小题满分13分） 已知双曲线 的两条渐近线分别为 . （1）求双曲线 的离心率； （2）如图， 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一， 四象限），且 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线 有且只有一个公 共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不存在，说明理由。 20. （本小题满分14分） 已知函数 （ 为常数）的图像与 轴交于点 ，曲线 在点 处 的切线斜率为-1. （I）求 的值及函数 的极值； （II）证明：当 时， ； （III）证明：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当 ，恒有 . 21. 本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题 号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵 的逆矩阵 . （I）求矩阵 ； （II）求矩阵 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. （2）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程 已知直线 的参数方程为 ，（ 为参数），圆 的参数方程为 ，（ 为常数）. （I）求直线 和圆 的普通方程； （II）若直线 与圆 有公共点，求实数 的取值范围. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将 已知定义在R上的函数 的最小值为 . （I）求 的值； （II）若 为正实数，且 ，求证： . 2014·福建卷(理科数学) 1．C　    2．A　    3．C　    4．B　    5．B　     6．A　 7．D　 8．B　 9．D　  10．A　 11．1　            12．2 　        13．160　        14. 　           15．6　 16．解：方法一：(1)因为0<α< ，sinα＝ ，所以cosα＝ . 所以f(α)＝ × － ＝ . (2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ＝ sin 2x＋ － ＝ sin 2x＋ cos 2x ＝ sin ， 所以T＝ ＝π. 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. 方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ＝ sin 2x＋ － ＝ sin 2x＋ cos 2x ＝ sin . (1)因为0<α< ，sinα＝ ，所以α＝ ， 从而f(α)＝ sin ＝ sin ＝ . (2)T＝ ＝π. 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. 图1-5 17．解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，∴AB⊥CD. (2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD. 由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD. 以B为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)． 依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M . 则 ＝(1，1，0)， ＝ ， ＝(0，1，－1)． 设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)， 则 即 取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)． 设直线AD与平面MBC所成角为θ， 则sin θ＝ ＝ ＝ . 18．解：(1)设顾客所获的奖励额为X. (i)依题意，得P(X＝60)＝ ＝ . 即顾客所获的奖励额为60元的概率为 ， (ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60. P(X＝60)＝ ， P(X＝20)＝ ＝ ， 即X的分布列为 X 20 60 P 0.5 0.5       所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)． (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 20 60 100 P         X1的期望为E(X1)＝20× ＋60× ＋100× ＝60， X1的方差为D(X1)＝(20－60)2× ＋(60－60)2× ＋(100－60)2× ＝ . 对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2 40 60 80 P         X2的期望为E(X2)＝40× ＋60× ＋80× ＝60， X2的方差为D(X2)＝(40－60)2× ＋(60－60)2× ＋(80－60)2× ＝ . 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2. 19．解：方法一： (1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x， 所以 ＝2， 所以 ＝2， 故c＝ a， 从而双曲线E的离心率 e＝ ＝ . (2)由(1)知，双曲线E的方程为 － ＝1. 设直线l与x轴相交于点C. 当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8， 所以 |OC|·|AB|＝8， 因此 a·4a＝8，解得a＝2， 此时双曲线E的方程为 － ＝1. 若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为 － ＝1. 以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E： － ＝1也满足条件． 设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C .记A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 得y1＝ ，同理得y2＝ . 由S△OAB＝ |OC|·|y1－y2|，得 · ＝8， 即m2＝4 ＝4(k2－4)． 由 得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0. 因为4－k2<0， 所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)． 又因为m2＝4(k2－4)， 所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点． 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为 － ＝1. 方法二：(1)同方法一． (2)由(1)知，双曲线E的方程为 － ＝1. 设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 依题意得－