薛定谔方程及提出背景.doc
薛定谔方程
位势 中的含时薛定谔方程为 在一维空间里,一个单独粒子运动于
;(1) 其中, 是质量, 是位置, 是相依于时间 的波函数, 是约化普朗克常数, 是位势。
类似地,在三维空间里,一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为
。(2) 假若,系统内有 个粒子,则波函数是定义于 -位形空间,所有可能的粒子位置空间。用方程
表
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达,
。
其中,波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以,第 个粒子的位置是 。 不含时薛定谔方程
不含时薛定谔方程不相依于时间,又称为本征能量薛定谔方程,或定态薛定谔方程。顾名思义,本征能量薛定谔方程,可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。 应用分离变量法,猜想 的函数形式为
;
其中, 是分离常数, 是对应于 的函数(稍回儿,我们会察觉 就是能量(
代入这猜想解,经过一番运算,含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程:
。
类似地,方程 (2) 变为
。
历史背景与发展
爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子,光波的粒子;也就是说,光波具有粒子的性质,一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里,能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同,所以,连带地,光子的动量与波数成正比。 1924年,路易?德布罗意提出一个惊人的假设,每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率
年,克林顿?戴维孙和雷斯特?革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。与波数。1927
然后,测量反射的强度,侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论,既然粒子具有波粒二象性,应该会有一个反应这特性的波动方程,能够正确地描述粒子的量子行为。于是,薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路,在牛顿力学与光学之间,有一种类比,隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是,在零波长极限,实际光学系统趋向几何光学系统;也就是说,光射线的轨道会变成明确的路径,遵守最小作用量原理。哈密顿相信,在零波长极限,波传播会变为明确的运动。可是,他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚,经典力学的哈密顿原理,广为学术界所知地,对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程,他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线,得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的
答案
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。
索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精但是,薛定谔对这结果并不满足,因为,
细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程(现今称为克莱因-高登方程),可以描述电子在库仑位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是,相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此,他认为先前非相对论性的部分,仍旧含有足够的新结果。因此,决定暂时不发
表相对论性的修正,只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果,写为一篇
论文
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。1926
[2]年,正式发表于物理学界。从此,给予了量子力学一个新的发展平台。 薛定谔方程漂亮地解释了 的行为,但并没有解释 的意义。薛定谔曾尝试解释 代表电荷的密度,但却失败了。1926年,就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天,马克斯?玻
[3]恩提出概率幅的概念,成功地解释了 的物理意义。可是,薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法,和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年,他写给马克斯?玻恩的一封信内,薛定谔清楚地表明了这看法。 含时薛定谔方程导引
启发式导引
含时薛定谔方程的启发式导引,建立于几个假设:
假设
(1) 一个粒子的总能量 可以经典地表达为动能 与势能 的和:
;
其中, 是动量, 是质量。
特别注意,能量 与动量 也出现于以下两个关系方程。
(2) 1905年,爱因斯坦于提出光电效应时,指出光子的能量 与对应的电磁波的频率 成正比:
其中, 是普朗克常数, 是角频率。
(3) 1924年,路易?德布罗意提出德布罗意假说,说明所有的粒子都具有波的性质,可以用一个波函数 来表达。粒子的动量 与伴随的波函数的波长 有关:
; 其中, 是波数。
用矢量表达, 。
波函数以复值平面波来表达波函数 1925年,薛定谔发现平面波的相位,可用一个相位因子来表示:
。
他想到
,
因此
。 并且相同地由于
, 因此得到
。 再由经典力学的公式,一个粒子的总能为 ,质量为 ,在势能 处移动:
。
薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程:
。
薛定谔的导引
思考一个粒子,运动于一个保守的位势 。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程
;
其中, 是哈密顿主函数。
由于位势显性地不相依于时间,哈密顿主函数可以分离成两部分:
;
其中,不相依于时间的函数 是哈密顿特征函数, 是能量。 将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程,稍加运算,可以得到
;
哈密顿主函数随时间的全导数是
。
思考哈密顿主函数 的一个常数的等值曲面 。这常数的等值曲面 在空间移动的方程为
。
所以,在设定等值曲面的正负面后, 朝着法线方向移动的速度 是
。
这速度 是相速度,而不是粒子的移动速度 :
。
我们可以想像 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性,试着给予粒子一个相位
与 成比例的波函数:
;
其中, 是常数, 是相依于位置的系数函数。
将哈密顿主函数的公式代入 波函数,成为
。
注意到 的量纲必须是频率,薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论
;其中, 是约化普朗克常数, 是角频率。设定 ,粒子的波函数
变为
; 其中, 。
的波动方程为
。
将 波函数代入波动方程,经过一番运算,得到
。 注意到 。稍加编排,可以导引出薛定谔方程:
。
特性 线性方程
态叠加原理
薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若 与
是某薛定谔方程的解。设定
,
其中, 与 是任何常数。
则 也是一个解。
证明
根据不含时薛定谔方程 (1) ,
,
。 线性组合这两个方程的解,
。
所以, 也是这含时薛定谔方程的解,证明含时薛定谔方程是一个线性方程。 类似地,我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。
实值的本征态
不含时薛定谔方程的波函数解答,也符合线性关系。但在这状况,线性关系有稍微不同的意义。假若两个波函数 与 都是某不含时薛定谔方程的,能量为 的解答,则这两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为 的解答。
。 对于任何位势,都有一个明显的简并:假若波函数 是某薛定谔方程的解答,则其共轭函数 也是这薛定谔方程的解答。所以, 的实值部分或虚值部分,都分别是解答。我们只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。 转移焦点到含时薛定谔方程,两个复共轭的波,以相反方向移动。给予某含时薛定谔方程的解答 。其替代波函数是另外一个解答:
。
这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。
幺正性
在量子力学里,对于任何事件,所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ,称这特性为幺正性。薛定谔方程能够自动地维持幺正性。用波函数表达,
。(3)
为了满足这特性,必须将波函数归一化。假若,某一个薛定谔方程的波函数 尚未归一化。由于薛定谔方程为线性方程, 与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程的波函数。设定 ;其中, 是归一常数,使得
。
这样,新波函数 还是这个薛定谔方程的解答,而且,
已经被归一化了。在这里,特别注意到方程 (3) 的波函数 相依于时间,而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化,并不保证随着时间的演化,波函数仍旧保持归一化。薛定谔方程有一个特性:它可以自动地保持波函数的归一化。这样,量子系统永远地满足幺正性。所以,薛定谔方程能够自动地维持幺正性。
证明
总概率随时间的微分表达为
。(4) 思考含时薛定谔方程,
。
其复共轭是
。
所以,
代入方程 (4) ,
在无穷远的极限,符合物理实际的波函数必须等于 0 。所以,
。
薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。
完备基底
能量本征函数形成了一个完备基底。任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合,或连续的能量本征函数的积分。这就是数学的谱定理 (spectral theorem) 。在一个有限态空间,这表明了厄米算符的本征函数的完备性。
相对论性薛定谔方程
薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换,薛定谔方程是个不变式;可是对于洛伦兹变换,薛定谔方程的形式会改变。为了要包含相对论效应,必须将薛定谔方程做极大的改变。试想能量质量关系式,
;
其中, 是光速, 是静止质量。
直接地用这关系式来推广薛定谔方程:
。
或者,稍加编排,
;
其中, , 是达朗贝尔算符。
这方程,称为克莱因-高登方程,是洛伦兹不变式。但是,它是一个时间的二阶方程。所以,不能成为波函数的方程。并且,这方程的解答拥有正频率和负频率。一个平面波函数解答遵守
;
其中, 是角频率,可以是正值或负值。
对量子力学来说,正负角频率或正负能量,是一个很严峻的问题,因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此,加以适当的诠释,这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的,自旋为零的粒子的波函数。
保罗?狄拉克发明的狄拉克方程,是时间的一阶微分方程,一个专门描述自旋-?粒子量子态的波函数方程:
,
其中,是自旋-? 粒子的质量, 与 分别是空间和时间的坐标。 狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。为了要除去这麻烦的瑕疵,必须用到多粒子图案,把波动方程当作一个量子场的方程,而不是一个波函数的方程。因为,相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域,除非粒子的数量变为无穷多。
假若,一个粒子被局限于一个长度为 的一维盒子里,根据不确定性原理,动量的不确定性 。假若,因为粒子的动量足够的大,质量可以被忽略,则能量的
不确定性大约为 。当盒子的长度 等于康普顿波长 时,能量的不确定性等于粒子的质能 。当盒子的长度 小于康普顿波长时,我们无法确定盒子内只有一个粒子。因为,能量的不确定性,足够从真空制造更多的粒子。我们用来测量盒子内粒子位置的机制,也可以从真空制造更多的粒子。
解析方法
自由粒子
主条目:自由粒子
当位势为 0 时,薛定谔方程为
。
解答是一个平面波:
,
其中, 是波矢, 是角频率。
代入薛定谔方程,这两个变量必须遵守以下关系:
。
由于粒子存在的概率必须等于 1 ,波函数 必须先归一化,然后才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言,这不是一个问题。因为,自由粒子的波函数,在位置或动量方面,都是局部性的。
在量子力学里,一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。:
; 其中,积分的区域是所有的 -空间。
为了简化计算,只思考一维空间,
; 其中,因子 是由傅里叶变换的常规而设定,振幅 是线性叠加的系数函数。
逆反过来,系数函数可以表达为
;
其中, 是波函数在时间 的函数形式。
所以,知道波函数在时间 的形式 ,借由傅里叶变换,我们可以推演出波函数在任何时间的形式 。
一维谐振子
量子谐振子
能量最低的八个束缚本征态的波函数表征 () 。横轴表示位置 。此图未经归一化。
在一维谐振子问题中,一个质量为 的粒子,受到一位势 。此粒子的哈密顿算符 为
;
其中, 为位置。
为了要找到能阶以相对应的能量本征态,我们必须找到本征能量薛定谔方程:
。
我们可以在座标基底下解这个微分方程,用到幂级数方法。可以见到有一族的解:
。
最先八个解(n = 0到5)展示在右图。函数为厄米多项式 (Hermite polynomials) :
。
相应的能阶为
。
值得注意的是能谱,理由有三。首先,能量被“量子化”(quantized),而只能有离散的值,即 乘以1/2, 3/2, 5/2„„等等。这是许多量子力学系统的特征。再者,可有的最低能量(当n = 0)不为零,而是 ,被称为“基态能量”或零点能量。在
基态中,根据量子力学,一振子执行所谓的“零振动”,且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见,因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量,因为可以任意选择;有意义的是能量差。虽然如此,基态能量有许多的意涵,特别是在量子引力。最后一个理由式能阶值是等距的,不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。 球对称位势
主条目:球对称位势
一个单粒子运动于球对称位势的量子系统,可以用薛定谔方程表达为
;
其中, 是普朗克常数, 是粒子的质量, 是粒子的波函数, 是位势, 是径向距离, 是能量。
采用球坐标 ,将拉普拉斯算子 展开:
。
满足薛定谔方程的本征函数 的形式为:
,
其中, , , ,都是函数。 与 时常会合并为一个函数,称为球谐函数, 。这样,本征函数 的形式变为:
。
角部分解答
相依于天顶角 和方位角 的球谐函数 ,满足角部分方程
;
其中,非负整数 是角动量的角量子数。 (满足 )是角动量对于 z-轴的(量子化的)投影。不同的 与 给予不同的球谐函数解答 :
; 其中, 是虚数单位, 是伴随勒让德多项式,用方程定义为
;
而 是 阶勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为
。
径向部分解答
将角部分解答代入薛定谔方程,则可得到一个一维的二阶微分方程:
。 设定函数 。代入方程。经过一番繁杂的运算,可以得到
。 径向方程变为
;
其中,有效位势 。
这正是函数为 ,有效位势为 的薛定谔方程。径向距离 的定义域是从 到 。新加入有效位势的项目,称为离心位势。为了要更进一步解析,我们必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。