圆锥曲线解题技巧和方法综合
;本文有套案~第一套比较较较~第二套比较好,两教
较较曲较的解较技巧一、常较七大较型,
;,中点弦较较1
具有斜率的弦中点较较~常用较而不求法;点差法,,较曲较上点较两
(,)xy(,)xy~~代入方程~然后方程相~再较用中点较系及斜率公式两减1122
;然在较里也要注意斜率不存在的较款较较,~消去四。当个参数
22xy如,;,与直较相交于、~较弦中点较~较有1ABABM(x,y)+=1(a>b>0)0022ab
xy00。+k=022ab
22xy ;,与直较相交于、~较弦中点较较有2lABABM(x,y)?=1(a>0,b>0)0022ab
xy00?k=022ab
2;,;,直较与相交于、较弦中点较较有3y=2pxp>0lABABM(x,y),2yk=2p,000
即yk=p.0
2y2P 典型例较 较定曲较双。较;~,的直较曲较交于点与双两 1x?=A2112
PPP及~求较段的中点的较迹方程。P212
;,焦点三角形较较2
FF 较较或曲较上一点双~焦点与两个、构成的三角形较较~常用正、余弦定P12理搭较。
22xyFc(,)?0Fc(,)0 典型例较 较较较较上任一点~~较焦点~P(x,y)+=11222ab
?=PFFα?=PFFβ~。1221
α+βsin()=e ;,求较心率离~1sinα+sinβ
33 ;,求的最较。|||PFPF+212
;,直较较较曲较位置较系较较与3
直较较较曲较的位置较系的基本方法是解方程较~较而较化较一元二次方程后利用与
判较式、根系的较系、求根公式等较理~较特较注意形较合的思想~通较较形的与数来数
直较性助
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
解较较~如果直较较较较的焦点~较合三大曲较的定较去解。帮决
典型例较
2抛物较方程~直较ypxpxytx=+>+=()()10与较的交点在抛物较准较的右较。
;,求较,直较抛物较较有不同交点与两个1
;,较直较抛物较的交点较与、~且~求较于的函数的
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达2ABOAOB?ptf(t)
式。
;,较较曲较的相较最较;范较,较较4
较较曲较中的有较最较;范较,较较~常用代法和何法解。数几决
若命较的件和较较具有明较的何意较~一般可用较形性较解。条几来决<1>
若命较的件和较较较明的函较系式~较可建立目较函;通常利用二条体确数数<2>
次函~三角函~均较不等式,求最较。数数
;,~可以较法得到较于的不等式~通较解不等式求出的范较~,“即求范1aa较~不等式找”。或者将表示较一较量的函~利用求函的较域求出另个数数的aa
范较~较于;,首先要把?的面较表示较一较量的函~然后再求的最大较个数它2NAB,
即,“最较较较~函思想数”。
最较较较的较理思路,
、建立目较函。用坐较表示距~用方程消较化较一元二次函的最较较较~数离参数1
较较是由方程求、的范较~xy
、形较合~用化曲较直的较化思想~数2
、利用判较式~较于二次函求最较~往往由件建立二次方程~用判较式求数条3
最较~
、借助均较不等式求最较。4
典型例较
2已知抛物较~较;,且斜率较的直较与两抛物较交于不同的y=2px(p>0)Ma,01L点、~AB
|AB|?2p
;,求的取较范较~;,若较段的垂直平分较交较于点~求?面较的1a2ABxNNAB
最大较。
;,求曲较的方程较较5
,曲较的形已知状较较较较一般可用待定系法解。数决1--------
典型例较
已知直较较原点~抛物较的较点在原点~焦点在较正半较上。若点;~,LC xA-10
和点;~,较于的较点都在称上~求直较和抛物较的方程。B08LCLC,曲较的形未知状求较迹方程2-----
典型例较
22已知直角坐较平面上点;~,和较,较点到较的切较较与Q20Cx+y=1, MC|MQ|
的比等于常数;,求较点的较迹方程~λλ>0,MM
并它较明是什较曲较。N
OQ;, 存在点较于直较较较较两称6
在曲较上点较于某直较较较较~可以按如下方式分三步解,求点所在的两称决两
直较~求较直较的交点~使较交点在较较曲较形。;然也可以利用较定理较合两内当达并
判较式解,来决
22xy1典型例较 已知较较的方程~较定确的取较范较~使得较于直较+=mC43
yxm=+4~较较上有不同点较于直较较两称C
;,较段垂直较较两7
yy?12kk?==?1 较较曲较焦半互相垂直较较~常用两径来较理或用向量的坐较12xx?12运来算较理。
2P(,)?20Cyx:()=+41典型例较 已知直较的斜率较~且较点~抛物较~lk
直较与抛物较有不同的交点;如较,。两个Cl
;,求的取较范较~1k
;,直较的较斜角较何较较~、与抛物较的焦点较较互相垂直。θ2ABCl
四、解较的技巧方面,
在中~生普遍较得解析何较较的较算量较大。事较上~如果我较能较充分利教学学几
用何较形、较定理、曲较系方程~以及用“较而不求”的策略~往往能较少较几达运减
算量。下面较例较明,
;,充分利用何较形几1
解析何的究较象就是何较形及其性较~所以在较理解析何较较较~除了几研几几运
用代方程外~充分掘何件~较合平面何知较~较往往能少较算量。数挖几条并几减
22340xym++=xyxy++?=20 典型例较 较直较与较相交于、两点~较PQO
OPOQ?坐较原点~若~求的较。m
;, 充分利用较定理及“较而不求”的策略达2
我较较常较出弦的端点坐较而不求~而是较合较定理求解~较较方法在有较斜率、它达
中点等较较中常常用到。
yyx=+1典型例较 已知中心在原点~焦点在较上的较较直较与相交于、OPQ
10OPOQ?两点~且~~求此较较方程。||PQ=
2
;, 充分利用曲较系方程3
利用曲较系方程可以避免求曲较的交点~因此也可以少较算。减
2222典型例较 求较较已知较两和的Cxyxy,+?+=420Cxyy,+??=24012
2410xy+?=交点~且较心在直较,上的较的方程。l
;,充分利用较较的方程参数4
较较的方程涉及到正、余弦~利用正、余弦的有界性~可以解相较的求最较参数决
的较较,较也是我较常较的三角代较法。
22xy典型例较 较较较上一较点~较较较的右端点~较短较的上端点~求四PAB+=122ab
较形面较的最大较及此较点的坐较。OAPBP
;,较段较的较较便较算方法几5
? 充分利用较成较果~少算较程减运
ykxb=+ 一般地~求直较较较曲较相交的弦与较的方法是,把直较方程代入较AB
2xx较曲较方程中~得到型如的方程~方程的根较较两~~判较式axbxc++=0AB
?221k?+较?~较~若直接用较较~能少配方、较方减||||ABkxx=+?=1?AB|a|
等算较程。运
22xy?+=10xy+=416例 求直较被较较所截得的较段的较。AB? 较合较形的特殊位置较系~少算减运
在求较较较曲较焦点的弦较较~由于较较曲较的定较都涉及焦点~较合较形用较较曲较的定运较~可回避较较算。运
22xy||AB=8FFF1例 、是较较的焦点~两个是较较的弦~若~+=AB121259
|FA|+|FB|求较22
? 利用较较曲较的定较~把到焦点的距较化较到准较的距离离
22yx=4y例 点;~,较定点~点是抛物较的焦点~点在抛物较A32FP
||||PAPF+取得最小较~求点的坐较。上移较~若=4xP
较较曲较解较方法技巧较较第一、知较较较,
1. 直较方程的形式
;1,直较方程的形式有五件,点斜式、点式、斜截式、截距式、一般式。两
;2,直较相较的重要容与内
k= tan,[0,)ααπ?较斜角斜率与
AxByC++kk?0021d=tanα=?点到直较的距离 ?较角公式,221kk+AB+21
;3,弦较公式
2ykxb=+AxyBxy(,),(,)较的距,离直较上点两ABkxx=+?1112212
122 或=++?(1)[()4]kxxxxAByy=+?11212122k
;4,直较的位置较系两条
llkk? l//l?k=k且b?b?=-1 ? 1212121212
2、较较曲较方程及性较
(1)、较较的方程的形式有较,;三较形式,几
22xy 较准方程,+=>> 1(0,0)mnmn且mn
2222 距式方程,离()()2xcyxcya+++?+=
==xaybcos,sinθθ 方程,参数
(2)、曲较的方程的形式有较双两
22xy 较准方程,+= <1(0)mnmn
2222 距式方程,离|()()|2xcyxcya++??+=
(3)、三较较较曲较的通较得较,径你
2222bb 较较,~双曲较,~抛物较,2paa
(4)、较较曲较的定较较较楚了较,你清
22xyF、F如,已知是较较的焦点~平面一较点两个内个M较足+=11243
MF?MF=2较较点M的较迹是; ,12
A、曲较~双B、曲较的一支~双C、射较~两条D、一射较条
θ2Pb在较较上较~S=tan(5)、焦点三角形面较公式,?FPF122
θ2Pb在双曲较上较~S=cot ?FPF122
222uuuruuuuruuuruuuur||||4PFPFc+?12 == =FPFPFPFPFPFθθθ,cos,||||cos;其中,121212||||PFPF 12
较较焦点在较上较较焦点在xaexaeyy较上较较 ;(6)、较住焦半公式,;径1,00
~可较较较“左加右~上加下”。减减
双曲较焦点在较上较较xexa|| ;2,0
pp抛物较焦点在较上较较焦点在xxy||,||y较上较较++ ;3,1122(6)、较较和曲较的基本量三角形楚较,双你清 第二、方法较较
1、点差法;中点弦较较,
22xy()Ma,b较A()x,y、B()x,y~较较较的弦中点较有+=1AB112243
22222222()()xxyy??xyxy22121211~~式相得两减+=1+=1+=0434343
3a()()()()x?xx+xy?yy+y12121212k???==?AB4b43
2、较立消元法,解直较较较曲较的位置较系一较的较较较,较典套路是什较,如果有你会与
两个参数怎较较,
较直较的方程~且曲较的方程较立~消去一未知~得到一二次方程并与个数个~
使用判较式~以及根系的较系~代入弦较公式~较曲较上的点与数两? 0
AxyBxy(,),(,)~较点代入曲较方程得到式子~然后将两两个-~整消体1122
元??????~若有字母未知~较要到较的较系~消去一~比两个数找它个
如直较较焦点~较可以利用三点A、B、F共较解之。若有向量的较系~较较坐较之决找
ykxb=+较的较系~根系的较系较合消元较理。一旦较直较较与数~就意味着k存在
224x+5y=80例1、已知三角形ABC的三较点均在较较个上~且点A是较较短较的一个端点;点A在y较正半较上,.
;1,若三角形ABC的重心是较较的右焦点~较求直较BC的方程;
0;2,若角A较~AD垂直BC于D~较求点D的较迹方程.90
分析,第一较住“重心”~利用点差法及重心坐较公式可求出中点弦抓BC的斜率~
0从写而出直较BC的方程。第二较住角抓A较可得出AB?AC~而得从90
xx+yy?14(y+y)+16=0~然后利用较立消元法及交较法求出点D的较迹方121212
程~
x,yxyxy解,;1,较B;,,,C(,),BC中点较(),F(2,0)较有001122
2222xyxy1122+=1,+=120162016
xyk+??+()()()()xxxxyyyy0012121212两式作差有 (1)+=0+=0201654
+++4xxyy1212x=3y=?2F(2,0)较三角形重心~所以由~得~由得~=2=00033
6k=代入;1,得5
6x?5y?28=0直较BC的方程较
xx+yy?14(y+y)+16=02)由AB?AC得 ;2,121212
22y=kx+b,代入4x+5y=80较直较BC方程较~得
222(4+5k)x+10bkx+5b?80=0
2??10kb5b80+=xx=~xx1212224+5k4+5k
22?8k4b80k 代入;2,式得+==yy,yy1212224+5k4+5k
24bb??93216b=4(舍)b=?~解得或=029k45+
4+4yy?4?)直较较定点;0~~较D;x,y,~较~即9×=?19xx229y+9x?32y?16=0
1620222x+(y?)=()(y?4)所以所求点D的较迹方程是。99
4、较而不求法
AB=2CD例2、如较~已知梯形ABCD中~点E分有向较段所成的AC
23e?λ?λ比较~曲较较双C、D、E三点~且以A、B较焦点当较~求曲较心率双离的34
取较范较。
分析,本小较主要考较坐较法、定比分点坐较公式、曲较的念和性较~推理、算双概运
xOy能力和较合用知较解较较的能力。建立直角坐较系运数学决~如较~若较C
22:,cxy ,hxy==LL,,~代入~求得~较而求得再代入?=1,,h=LEE222ab::
22xy=fe(,)0=fabc(,,,)0λλ~整理~此算量可较是较运~建立目较函数?=122ab
上加较.我较较可采取较而不求的解较策略,h
fabc(,,,)0λ=fe(,)0λ=建立目较函数~整理,化繁较较.
yx 解法一,如较~以AB较垂直平分较较较~直较AB较较~建立直角坐较系
yxOy~较CD?较因较曲较较较点双C、D~且以A、B较焦点~由曲较的较性知双称C、D
y较于较较 称
:,c1()?c, 0 ,h()x, yc=|AB|依较意~较A~C~E~其中较曲较的半焦距双~,,0022::
h是梯形的高~由定比分点坐较公式得
cλ?+λchλ?=2()c ~ y20==x1+λ0()1+λ2λ+1
22cxye=较曲较的方程较双~较心率离?=122aab
ce=由点C、E在曲较上~点双将C、E的坐较和代入曲较方程得双a
22eh ~ ??=12b4
22λλeh?2:,:,?=1 ? ,,,,2λλ411b++::::
22he由?式得 ~ ?=?124b
将?式代入?式~整理得
2e ~()4?4λ=1+2λ4
3=?1λ故 2e+1
233231????λ?由较较得~23434e2+
解得 7?e?10
[]7 , 10所以曲较的心率的取较范较较双离
AEAC,AEAC,EC,分析,考较较焦半径,可用焦半公式径, 用的坐较表示~横回避的较算, 达到较而不求的解较策略,h
AEaexACaex=?+=+, 解法二,建系同解法一~~()EC
cAE3?+cλλ?2cλ()=?1=λ~又~代入整理~由较较22==xEAC1+e+1λ++121λλ()
233231????λ?得~23434e2+
解得 7?e?10
[]7 , 10所以曲较的心率的取较范较较双离
5、判较式法
22yx例3已知曲较双~直较较点~斜率较~当A()2,0lk0
x>kx由于~所以~而有从0:
2:2222))k1x()2k2?((k1)+2kx2(k1)+2?k20,++??=(,? ,
2,2(k1)2kkx+0.?+>:
由可知,00
22222.))()k?1x+2k(2(k+1)?2kx+2(k+1)?2k?2=0(
25x由如上较于的方程有唯一解~得其判较式~就可解得 .?=0k=5点较,上述解法较解较目较~不较行较较较较~充分较了扣断体与体全局较念整思较的较越性.
22xy+=28例4已知较较C:和点P;4~1,~较P作直较交较较于A、B两点~在较
APAQ=?段AB上取点Q~使~求较点Q的较迹所在曲较的方程.PBQB
分析,较是一较迹较较~解较个学从困较在于多较点的困较~生往往不知何入手。其较~较较想到较迹较较可以通较法求解参数. 因此~首先是较定~然后想方较法点参数将
Q的、较坐较用表~最后通较消可到解较的目的横参数达参达.
Q(x,y)由于点的较化是由直较AB的较化引起的~自然可较较直较AB的斜率k
x,y作较~如何参数将与较系起来,一方面利用点Q在直较AB上~一方面就另k
APAQ=?是用较目件,运条来较化.由A、B、P、Q四点共较~不较得到PBQB
+?4(xx)2xxABAB=xx~要建立与的较系~只需将直较AB的方程代入较较Ck8?(x+x)AB
的方程~利用较定理可达即.
通较较较的分析~可以看出~较然我较较有较没决始解较~但较于如何解本较~已较做到心中有数.
4(x+x)?2xxABAB=x
8?(x+x)AB
将直较方程代入较较方程~消去y~利用较定理达
x=f()k
利用点Q较足直较AB的方程,y = k (x—4)+1~消去参数k
点Q的较迹方程
x=f()k在得到之后~如果能较整上把从体参握~较较到,所较消~目的不较是得到
?y1=x,yky=k(x?4)+1较于的方程;不含k,~较可由解得~直接代入x?4x=f()k即从参可得到较迹方程。而较化消去的较程。
APAQ=?较解,较A()x,y,B(x~y),Q(x,y)~较由可得,1122PBQB??4xxx11=~x?4x?x22
+?4(xx)2xx1212=x解之得, ;1,8?(x+x)12
yy=k(x?4)+1较直较AB的方程较,~代入较较C的方程~消去得出较于 x的一元二次方程,
222 ;2,()2k+1x+4k(1?4k)x+2(1?4k)?8=0
4(4kk1)?:
xx+,=122,,2k1+? ,22(14)k8??,xx.=122,2k1+:
+k43=x.代入;1,~化较得, (3)k+2
y=k(x?4)+1()2x+y?4(x?4)=0.与较立~消去得,k
210210?+2在;2,中~由~解得 ~较合k?=?64k+64k+24>0<<44
1621016210?+;3,可求得 x.<<99
1621016210?+2x+y?4=0故知点Q的较迹方程较, ;,.x<<99
点较,由方程较较施消元~较生一较准的较于一较量的一元二次方程~其判较个个
式、较定理达模较思较易于想到. 较中~较点在当参参引出~活点在较用~重点在消去参.~而“引参参参几条、用、消”三步曲~正是解析何较合较较求解的一有效通道.
6、求根公式法
22APxy例5较直较较点P;0~3,~和较较较次交于A、B两点~较求的l1+=94PB取较范较.
xAAP?分析,本较中~较大多数学同不较得到,=~但从此后却一较莫展, 较xBPB
较的根源在于较较目的整把体握不较. 事较上~所较求取较范较~不外乎两条路,其一是构个几个参数数造所求较量较于某;或某,的函较系式;或方程,~较只需利用较较
的思想较施~其二较是造较于所求量的一不等较系构个.
xAAP?=已较是一较系式~个两个但由于有较分析1:从条第一想法入手~xBPB
x,x量~同较较较量的范较不好两个控制~所以自然想到利用第3个——较量直较ABAB
x,x的斜率. 较较就较化较如何将较化较较于的表式~到此较达将止~直较方程代入kkAB
x较较方程~消去y得出较于的一元二次方程~其求根公式呼之欲出.
把直较l的方程y = kx+3代入较较方程~消去y得到
较于x的一元二次方程
求根公式
= f;k,~x= g;k,xAB
AP/PB = —;x/ A
x,B得到所求量较于k的函较系式数
由判较式得出k的取较范较
所求量的取较范较
AP1=?较解1,直较当垂直于x较较~可求得;lPB5
y=kx+3当与x较不垂直较~较A()x,y,B(x~y)~直较的方程较,~ll1122
22y代入较较方程~消去得()9k+4x+54kx+45=0
2???kk27695解之得 =x.1,22k+94
因较较较较于y较较~点称P在y较上~所以只需考较的情形.k>0
22????+?27k69k527k69k5当较~~~k>0==xx12229k+49k+4
2?+?18kxAP9k29k51?1=?所以 ===22PBx9k+29k?59k+29k?52
181?.59+29?2k
5222k?由 , 解得 ~()?=(?54k)?1809k+4?09
181???11所以 ~559+29?2k
AP11????较上 .PB5
分析2: 如果想造较于所求量的不等式~较较较考较到,判较式往往是较生构
不等的根源. 由判较式较的非较性可以很确快定的取较范较~于是较较较化较如何所将k
求量与较系起来. 一般较~较定理较是充较较较较的较来达当达梁~但本较无法直接较用较k
xAP1=?x,x定理~原因在于不是较于的较较系式称. 原因到后~解较较的找决12PBx2
x,x方法自然也就有了~我较可以造较于即构的较较系式称.12
把直较l的方程y = kx+3代入较较方程~消去y
得到较于x的一元二次方程
较定理达
x+ x= f;k,~x x= AB AB
g;k,
AP/PB = —;x/ x,A B
构与造所求量k的较系式
由判较式得出k的取较范较
较于所求量的不等式
yy=kx+3较解2,较直较的方程较,~代入较较方程~消去得l
22 ;*,()9k+4x+54kx+45=0
54k?:
xx+,=122,,9k4+较,
45,xx.=122,9k4+:
2xk11324=λ令~较~λ++=2.2xλk+45202
52??0,k?在;*,中~由判较式可得 ~9
2136324k36λ42?++?从而有 ~所以 ~解得 4??2λ5545k20+
1?λ?5.5
1?λ?1较合得. 0<λ?15
AP11????较上~.PB5
点较,范较较较不等较系的建立途多多径~较如判较式法~均较不等式法~较量的有
界性法~函的性较法~形较合法等等数数. 本较也可形较合的角度入手~较出又从数一较美解法.
解较如犹冲并打仗~不能只是忙于较陷较~一较局部的较利不能较明较较~有较甚至会清被局部所较较而看不较较的较较所在~只有较微知著~较立全局较念~较究排兵布较~
运帷决较幄~方能较较千里.
第三、推理较较,推理是由已知的命较得出数学数学它新命较的基本思较形式~是数学真数学求解的核心。以已知的较命较~定较、公理、定理、性较等较依即当据~较较恰较的解较方法~到解较目较~得出较较的一系达列推理较程。在推理较程中~必较注意所使用的命较之较的相互较系;充分性、必要性、充要性等,~做到思考较密、推理较密。通较较思较写来流程较较较自己的大较~快速提高解较能力。
A,B例6较较较较端点较~较较较中心~较较较的右焦点~且OF~AF?FB=1OF=1,
;?,求较较的较准方程~
P,Q;?,较较较的上较点较~直较交较较于两点~较,是否存在直较~使点llMF
?PQM恰较的垂心,若存在~求出直较的方程;若不存在~较较明理由。l
思较流程,
;?, 由~~
写出较较方程ab==2,1
k=1PQMFMPFQ??,由F较的重心PQ;?,
yxm
=+ 消元 222234220xmxm++?=xy22
uuuruuur两根之得出较于+=解出m和~m的方程 MPFQ =0 两根之较
解较较程,
22xy;?,如较建系~较较较方程较,较c=1+=>>1(0)ab22ab
222又?即 ?()()1acacac+ ?==?a=2~AF?FB=1
2x2故较较方程较 +=y1
2
P,Q?PQM ;?,假较存在直较交较较于两点~且恰较的垂心~较lF
k=1PxyQxy(,),(,)MF(0,1),(1,0)较~?~故~PQ1122
yxm=+ 22yxm=+于是较直较较 ~由得~ l34220xmxm++?= 22xy+=22
uuuruuur
yxmi=+=(1,2)? 又MPFQxxyy ==?+?0(1)(1)ii1221
xxxmxm(1)()(1)0?+++?=得 即1221
2 由较定理得达2()(1)0xxxxmmm++?+?=1212
2224mm?2 2(1)0 ??+?=mmm
33
44解得或;舍, 较较较符合件条,m=?m=1m=?
33
点石成金,垂心的特点是垂心较点的较较垂直较较~然后较化较向量与两乘较较零,
A(2,0)?B(2,0)例7、已知较较的中心在坐较原点~焦点在坐较较上~且较较、、E
3 C1,三点, 2
;?,求较较的方程,E
FH(1,0),(1,0)?;?,若点D较较较上不同于、的任意一点~~当ΔEAB
内切较的面较最大较~求Δ内心的坐较~DFHDFH
思较流程,
较方程较;?, 由较较较较A、B、C三点得到的方程较
解出
;?,
由切较面较最大内较化较面较最大
较化较点的较坐较的较较较最大最大较较较短较端点
31面较最大较较r=S=×周较×r内切较?DFH内切较32
得出点坐较较
22()m>0,n>0A(2,0)?B(2,0)mx+ny=1解较较程, ;?,较较较方程较将、、~
3C(1,)代入较较E的方程~得2
41,m= 2211 xymn==,解得.?较较的方程 ,E+=1 9mn+=14343 4
1||2FH=S=×2×h=h;?,~较Δ较上的高较DFH?DFH2
S 点当在较较的上较点较~最大较~所以的最大较较,hD33?DFH
较Δ的切较的半较内径~因较Δ的周较较定较6,所以~RDFHDFH
1S=R×6?DFH2
33 所以的最大较较,所以切较较心的坐较较内(0,)R.33
1S=×?的周较×r点石成金,?的切较内?的切较内2
22C(?1~0)x+3y=5例8、已知定点及较较~较点的较直较较较相交于与C
两点.AB~
1?;?,若较段中点的坐较是横~求直较的方程~ABAB2
x;?,在较上是否存在点~使较常,若存在~求出点数MMA?MB
的坐较~若不存在~较较明理由.M
思较流程,
ykx=+(1);?,解,依较意~直较的斜率存在~较直较的方程较~ABAB
222222yykx=+(1)x+3y=5(31)6350.kxkxk+++?=将代入~ 消去整理得
AxyBxy() () ~~~~较 1122
422 ?=?+?>364(31)(35)0 (1) kkk~ 2较 6kxx+=?. (2) 12231k+
21xxk+31312?由较段中点的坐较是横~ 得~解得~符= k=?=?AB2322312k+合较意。
所以直较的方程较 ~或 . xy?+=310xy++=310AB
xMm(,0);?,解,假较在较上存在点~使较常数.MA?MB
x? 直较当与较不垂直较~由;?,知 AB
22635kk? xxxx+=?=~ . (3)1212223131kk++
uuuruuur2所以MAMBxmxmyyxmxmkxx =??+=??+++()()()()(1)(1)12121212
2222(3)=++?+++(1)()().kxxkmxxkm 将代入~整理得 1212
1142(2)(31)2mkm?+??2uuuruuur(61)5mk??2233MAMBmm =+=+223131kk++
1614m+2=+??mm2.233(31)k+
76140mm+==?~注意到是与无较的常~ 而有数从~ 此较kMA?MB3uuuruuur4MAMB =. 9
22 x???11~、~? 直较当与较垂直较~此较点的坐较分较较~当AB~AB 33
uuuruuur74m=?MAMB =.较~ 亦有 39
7 xM?~0 较上~在较上存在定点~使较常数.MA?MB 3
1142(2)(31)2mkm?+??2uuuruuur(61)5mk??点石成金,2233MAMBmm =+=+223131kk++
1614m+2=+??mm2. 233(31)k+
例9、已知较较的中心在原点~焦点在x较上~较较较是短较较的2倍且较较点M;2~1,~平行于OM的直较在y较上的截距较m;m?0,~交较较于llA、B两个不同点。
;?,求较较的方程~
;?,求m的取较范较~
;?,求较直较MA、MB与x较始较较成一等个腰三角形.
思较流程,
22xy解,;1,较较较方程较+=1(a>b>0)22ab
=2ab:2
:a8=,,22xy较 ?较较方程较+=1解得8241,,2
+=1,b2=,:22
ab:
;?,?直较l平行于OM~且在y较上的截距较m
11的方程较,?ly=x+m又K= OM22
1:
=+yxm,,222由?++2x?2mx4m=0,22xy,+=1
,82:
??=??>22(2m)4(2m4)0,
?直较l与较较交于A、B两个不同点~ 解得?2>1(0)ab22ab
由已知得,~acac+=?=31~
22ac==21~~xy? 较较的较准方程较,+=1222?=?=bac343
AxyBxy()()~~~;II,较,1122
ykxm=+~ 22较立 xy+=1. 43
222得~较(34)84(3)0+++?=kxmkxm
222222 ?=?+?>+?>6416(34)(3)0340mkkmkm~即~ 8mk xx+=?~ 12234+k 2 4(3)m?xx=. 12234+k
223(4)mk?22,又yykxmkxmkxxmkxxm=++=+++=()()()12121212234+k
D(20)~因较以较直的较较较较的右较点径~AB
yy12?=?1?=?kk1?+?++=yyxxxx2()40~即. ,ADBD121212xx22??12
2223(4)4(3)15mkmmk??22,,?+++=40?++=71640mmkk222343434+++kkk
2k22mkm=?=?2~~且均较足解得,,340+?>km127
mk=?2ykx=?(2)(20)~当较~的方程~直较较点~已知与矛盾~l1
222k ykx=?~0m=?较~当的方程较~直较较定点,l 2777
2 ~0所以~直较较定点~定点坐较较,l 7
?点石成金,以AB较直的较较较较径C的右较点 CA?CB;
22yxF、F例12、已知曲较双的左右焦点分较较两个,点P在双?=1(a>0,b>0)1222ab
曲较右支上.
34116;?,若点当P的坐较较较,,求曲较的方程~双PF?PF(,)1255
e;?,若,求曲较心率双离的最较,并写双出此较曲较的较较较方程.|PF|=3|PF|12
思较流程,
3411634116解,;?,(法一)由较意知,, ,PFPF=(?c?,?)=(c?,?)125555
341341162, ,PF?PF?PF?PF=0,?(?c?)(c?)+(?)=01212555;1分,
2解得 . 由曲较定较得双: c=25,?c=5|PF|?|PF|=2a,12
34116341162222?2a=(?5?)+(?)?(5?)+(?)5555
22?a=3,b=4, =(41+3)?(41?3)=6
22yx 所求曲较的方程较双: ??=1916
(法二) 因,由斜率之较较,可得解.PF?PF?112
;?,较,|PF|=r,|PF|=r1122
(x,y) (法一)较P的坐较较, 由焦半公式得径::r=|a+ex|=a+ex,r=|a?ex|=ex?a,1::2::
22a2a2rraexexax,?2a?c~,=?+=??=,x?a,??a,3,3(),::::12cc
22?cbca2?e的最大较较2,无最小较. 此较,=2,==e?1=3aaa
y=?3x此较曲较的较较较方程较双 ?
θ?(0,π]?FPF=θ(法二)较,.12
,r+r=2c,且r=3r~?2c=4r2a=r?r=2r(1)当θ=π较, , 12122122
r4c22e===2此较 .ar222
(2)当,由余弦定理得:θ?;0~π,
22222?;2c=,r+r?2rrcosθ=10r?6rcosθ121222
r106cos2c106cos??θ?θ2e,===2a2r22
,cosθ?(?1,1)e(1,2)??ee,,较上,的最大较较2,但无最小较. (以下法一)