燕尾定理!10
燕尾定理
简介
燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理(如图
?ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O)。
S?ABC中，S?AOB:S?AOC=S?BDO:S?CDO=BD:CD;
同理，S?AOC:S?BOC=S?AFO:S?BFO=AF:BF;
S?BOC:S?BOA=S?CEO:S?AEO=EC:AE。 证法
证法1
下面的是第一种MATCH_
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_1713500684826_0:利用合比性质
??ABD与?ACD同高
?S?ABD:S?ACD=BD:CD
同理，S?OBD:S?OCD=BD:CD
利用分比性质，得
S?ABD-S?OBD:S?ACD-S?OCD=BD:CD
即S?AOB:S?AOC=BD:CD
命题得证。
证法2
下面的是第二种方法:相似三角形法
证法1图
已知:?ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证:AE=CE 证明:
如图，过点O作MN?BC，交AB于点M，交AC于点N;
过点O作PQ?AB，交BC于点P，交AC于点Q。
?MN?BC
??AMO??ABD，?ANO??ACD
?MO:BD=AO:AD，NO:CD=AO:AD
?MO:BD=NO:CD
?AD是?ABC的一条中线
?BD=CD
?MO=NO
?PQ?AB
??CPO??CBF，?CQO??CAF
?PO:BF=CO:CF，QO:AF=CO:CF
?PO:BF=QO:AF
?CF是?ABC的一条中线
?AF=BF
?PO=QO
?MO=NO，?MOP=?NOQ，PO=QO
??MOP??NOQ(SAS)
??MPO=?NQO
?MP?AC(内错角相等，两条直线平行)
??BMR??BAE(R为MP与BO的交点)，?BPR??BCE
?MR:AE=BR:BE，PR:CE=BR:BE
?MR:AE=PR:CE
?MN?BC，PQ?AB
?四边形BMOP是平行四边形
?MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)
?AE=CE
命题得证。
证法3
下面的是第三种方法:面积法
已知:?ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证:AE=CE
证明:
如图，
?点D是BC的中点，点F是AB的中点
?S?CAD = S?BAD，S?COD = S?BOD
?S?CAD - S?COD = S?BAD - S?BOD
即S?AOC(绿) = S?AOB(红)
?S?ACF = S?BCF，S?AOF = S?BOF
?S?ACF - S?AOF = S?BCF - S?BOF
即S?AOC(绿) = S?BOC(蓝)
?S?AOB(红) = S?BOC(蓝)
?S?AOE:S?AOB(红) = OE:OB，S?COE:S?BOC(蓝) = OE:OB
?S?AOE:S?AOB(红) = S?COE:S?BOC(蓝)
?S?AOB(红) = S?BOC(蓝)
?S?AOE = S?COE
?AE=CE
命题得证。
证法4
下面的是第四种方法:中位线法
已知:?ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证:AE=CE
证明:
如图，延长OE到点G，使OG=OB。
?OG=OB
?点O是BG的中点
又?点D是BC的中点
?OD是?BGC的一条中位线
?AD?CG(三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半)
?点O是BG的中点，点F是AB的中点
?OF是?BGA的一条中位线
?CF?AG
?AD?CG，CF?AG
?四边形AOCG是平行四边形
?AC、OG互相平分
?AE=CE
命题得证。
证法5:因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证
推广:共边比例定理
四边形ABCD(不一定是凸四边形)，设AC,BD相交于E
则有BE/DE=S?ABC/S?ADC
此定理是面积法最重要的定理
浙公网安备 33021202002483