变速圆周运动
1、如图1所示，是绳子牵引下的小球在竖直面内作圆周运动，如图2所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均没有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况：
（1）临界条件；绳子和轨道对小球没有力的作用
根据牛顿第二定律得
即
这个速度可理解为恰好转过或恰好转不过的速度．
（2）能过最高点的条件： （当 时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）
（3）不能过最高点的条件： （实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）
2、如图3所示，是杆子约束下的小球在竖直面内作圆周运动，如图4所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况：
（1）临界条件： （支承物对物体的支持力等于mg）
（2）当 ，即 ，如图5所示支承物对物体既没有拉力也没有支持力．
当 ，即 ，如图3所示支承物对物体产生拉力、且拉力随v增大而增大．如图4所示，小球将脱离轨道作平抛运动，因为轨道不能对它产生拉力．
当 ，即 ，如图5所示支承物对物体产生支持力，且支持力随v减少而增大，范围是0~mg。
例2. 用细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 小球过最高点时，绳子中张力可以为零
B. 小球过最高点时的最小速度为零
C. 小球刚好能过最高点时的速度是
D. 小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
点拨：细绳对由它拴住的、做匀速圆周运动的物体只可能产生拉力，而不可能产生支撑力，因而小球过最高点时，细绳对小球的作用力不会与重力方向相反。
所以，正确选项为A、C。
这是一道竖直平面内的变速率圆周运动问题。当小球经过圆周最高点或最低点时，其重力和绳子拉力的合力提供向心力；当小球经过圆周的其它位置时，其重力和绳子拉力的沿半径方向的合力（法向合力）提供向心力。
例3. 用轻杆拴着质量为m的小球，使小球在竖直平面内做变速圆周运动，试讨论小球过最高点时轻杆对小球的弹力情况。
讨论：
（4）当v＝0时，轻杆对小球的支撑力等于小球的重力mg，这是小球在竖直平面内做圆周运动，能经过最高点的临界条件。
变式题：长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个可看作是质点的零件A，A的质量m＝2kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示，在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力：（1）A的速率为1m/s；（2）A的速率为4m/s。（g＝10m/s2）
点拨：
（1）本题虽是竖直平面内的圆周运动，但由题干可知是匀速率的而不是变速率的；
（2）题目所求A对杆的作用力，可通过求解杆对A的反作用力得到
答案
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；
（3）A经过最高点时，杆对A的弹力必沿杆的方向，但它可以给A以向下的拉力，也可以给A以向上的支持力。在事先不易判断该力是向上还是向下的情况下，可先采用假设法：例如先假设杆向下拉A，若求解结果为正值，说明假设方向正确；求解结果为负值，说明实际的弹力方向与假设方向相反。
拓展讨论：
（1）该题中A球分别以1m/s和4m/s的速度越过最低点时，A对杆的作用力的大小、方向又如何？
（2）把上面的杆如果换成绳子，A能不能以1m/s的速率沿圆周经过最高点？ A能沿圆周经过最高点的最小速率为多少？
例4: 一辆载重汽车的质量为 4m ,通过半径为 R 的拱形桥,若桥顶能承受的最大压 力为 F = 3mg ,为了安全行驶,汽车应以多大速度通过桥顶?
选题目的:考查向心力的实际应用.
解析:如图所示,由向心力公式得
4mg- FN = 4m v2 R v2 R …… ①
∴ FN = 4mg 4m
为了保证汽车不压坏桥顶,同时又不飞离桥面,根据牛顿第三定律,支持力的取值范围 为 0 ≤ FN ≤ 3mg …… ②
将①代入②解得 1 Rg ≤ v ≤ Rg
例5、某冒险家开车穿越沙漠，突然发现在与他前进方向垂直的方向上横亘着一道很长的沙墙，为避免与之相撞，冒险家有两种
方案
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：一是直接刹车，二是保持车速不变不断转变使车做匀速圆周运动，哪一种方法更安全？
思路点拨：这是一个考查物理学知识在实际生活中的应用问题.汽车直接刹车时汽车做匀减速直线运动，转弯时则为匀速圆周运动，分别利用运动学公式和圆周运动的有关知识来
分析
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.
解析：（1）若采用急转弯方式，则汽车受到的摩擦力提供向心力的作用，使汽车在水平路面上做匀速圆周运动.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，根据向心力公式：F向=m，根据摩擦力公式f=μN=μmg,解得：R=.
（2）若采用急刹车的方式，则由题意可知：汽车在水平方向受滑动摩擦力的作用，在竖直方向受到两个力：重力、支持力，二力平衡，因而在水平面上做匀速直线运动.根据牛顿第二运动定律：f=ma.根据摩擦力公式f=μN=μmg，得加速度的大小为：a=μg.刹车时末速度为0,根据运动学公式vt2-v02=2as,得
汽车滑行距离为：s==.
比较上面s、R大小的表示式可以看出：当汽车的速度v一定、距障碍物距离一定时，s小于R，即采用急刹车方法滑行距离短，因而采用这种方式较好.
答案：直接刹车较好
浙公网安备 33021202002483