6.2 稳定性 奇点 常微分方程课件 高教社
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6.2 稳定性 奇点 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教
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?6.2稳定性奇点
dyY(x,y)?dxX(x,y)(X(x,y)?0)dxX(x,y)或?dyY(x,y)(Y(x,y)?0)?dx?X(x,y)??dt??dy?Y(x,y)??dt(18)
奇点
驻定解奇点?dx?ax?by??dt(21)??dy?cx?dy??dt
ab?0cd
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
形式
???k11x?k12y???k21x?k22y???0???1???0??????0?,?,?,???????0???
0????????
a??b?0cd??2??p??q?0,p??(a?d),q?ad?bc
情形?同号相异实根
情形?同号相异实根d?d????,???dtdt
?t?t?(t)?Ae,?(t)?Be?(t)B(???)t???e?0(当t??)?(t)A
1?(t)A(???)t??e?0(当t??)12122112
??(t)B
情形?同号相异实根图
结点稳定结点不稳定结点
情形?异号实根
情形?异号实根d?d???1?,??2?dtdt
———————————————————————————————————————————————
?t?t?(t)?Ae,?(t)?Be
鞍点不稳定12
情形?
异号实根图
情形?重根(1)
情形?重根?(1) b?0或c?0 d?d??????,???dtdt
?t?t?(t)?(At?B)e,?(t)?Ae
?(t)A??0(当t??)?(t)At?B?dx?ax?by??dt(21)??dy?cx?dy??dt
退化结点稳定退化结点不稳定退化结点
情形?重根(1)
图
情形?重根(2)
?
(2) b=c=0?t?tx(t)?Ae,y(t)?Be奇结点稳定的不稳定的
dx??x,dtdy??y,??a?ddt
情形?非零实部复根
?情形?非零实部复根
d???????,dtd????????dt
d?d?drd?d?2d??dt??dt?rdt,?dt??dt?rdt
?tdr??r,dtd????dtr?Ae,????t?B
情形?
非零实部复根图
———————————————————————————————————————————————
情形?纯虚根
?情形?纯虚根中心零解稳定
线性奇点定理
?2?p??q?0,p??(a?d),q?ad?bc(24)?dx?ax?by??dt(21)??dy?cx?dy??dt
acbd?0(22)
定理6 ?(1) 结点鞍点?(2)退化结点奇结点?(3) 焦点中心
奇点类型图
?2?p??q?0,p??(a?d),q?ad?bc(24)
p2-4q=0
例1 讨论二阶线性微分方程的奇点:d2xdx?3?2x?02dtdt
?dx?y??dt??dy??2x?3y??dt解
极限环例
例1 drd?2?r(1?r),??1dtdtr?0,??t0?t,t?t0和
r?1,??t0?t,t?t0?dx22?x?y?x(x?y)??dt??dy??x?y?y(x2?y2)??dt
drd??R(1?R)?0,??1?0dtdt??drd??R(1?R)?0,??1?0dtdt121r?R1??222
r?R2????
极限环
稳定不稳定半稳定极限环
?dx?X(x,y)??dt??dy?Y(x,y)??dt(18)
环域定理dxdy?X(x,y)?Y(x,y).(18)dtdt
定理7?X?Y定理8?x??y
证?:x?x(t),y?y(t),0?t?TTT??X?Y?dydx???dxdy?Xdy?Ydx?X?Y???????dt???
———————————————————————————————————————————————
XY?YX?dt?0????x?y?dtdt?D???0?0
数学摆和范得波尔(van der Pol)方程例2 dxdyg?
解?y,??sinx?y,(??0)dtdtlm??X?Y????0?x?ym范得波尔(van der Pol)方程
李纳(Lienerd)方程
d2xdx?f(x)?g(x)?02dtdtxdxF(x)??f(x)dx,y?0d2xdx2??(x?1)?x?02dtdtdt?F(x
)
dx?y?F(x),dtdy??g(x)dt
李纳(Lienerd)方程定理d2xdx?f(x)?g(x)?02dtdt
dx?y?F(x),dtdy??g(x)dt定理9(1) (2) F(x)??f(x)dx(3) 稳定的极限环
x0
范得波尔方程极限环d2xdx2??(x?1)?x?02dtdt
dxx2dy?y??(?1),??xdt3dt
Poincare映射k重极限环
Poincare映射P
后继函数?k重极限环
希尔伯特第16问题
个数唯一性唯n性
平面图貌?dx?X(x,y)??dt??dy?Y(x,y)??dt(18)
两种群模型
(36)竞争系统被捕食-捕食系统共生系
统?dx?rx(1?ax?by)??dt??dy?sy(1?cx?dy)??dt
竞争系统
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Volterra被捕食-捕食模型
xec?dxyea?by?k
分界线、同宿、异宿环(轨)
分界线同宿环(轨)异宿轨异宿环全局图貌
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