全等三角形难题(含
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
)
1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
解：延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE
∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2
1＜AD＜3
∴AD=2
2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP为矩形
∴AB=CP=1/2AB
3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
证明
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：连接BF和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF。
∵ ∠ABC=∠AED。
∴ ∠ABE=∠AEB。
∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD
DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（对顶角）
∴△EFD≌△CGD
EF＝CG
∠CGD＝∠EFD
又，EF∥AB
∴，∠EFD＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2
∴△AGC为等腰三角形，
AC＝CG
又 EF＝CG
∴EF＝AC
5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠CAD
∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD （SAS）
∴∠E＝∠C
∵AC＝AB+BD
∴AE＝AB+BD
∵AE＝AB+BE
∴BD＝BE
∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE
∴∠ABC＝2∠E
∴∠ABC＝2∠C
6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，
∵∠EAB=∠BDE，
∴∠AED=∠ABD，
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得：AE=BD，
∵AF=CD,EF=BC，
∴三角形AEF全等于三角形DBC，
∴∠F=∠C。
14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD
BC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量）
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB
要求
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证明）：
证明：
∵DC∥AB
∴∠CDE＝∠AED
∵DE＝DE，DC＝AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE＝BE
∴BE＝DC
∵DC∥AB
∴∠DCE＝∠BEC
∵CE＝CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．
证明：
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠AB E=∠CB E
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而：AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
证明：∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）
26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
证明：
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DC BF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证明：连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM（SAS）
∴CF=BE
31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）
∵BE=DF
∴：△ABE≌△CDF（SAS）
32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。
连接BD；
∵AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC；
∵BC=DC E\F是中点
∴DE=BF；
∵AB=AD DE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
证明：
在△ADC，△ABC中
∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC（两角加一边）
∵AB=AD，BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD
∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）
∴∠DEC=∠BEC
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF（ASA）
35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
证明：
∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∵CE⊥AB
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)
∴BE=CD
36、 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF．
证明：
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
37.已知：如图, AC
BC于C , DE
AC于E , AD
AB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？
∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）
∴AD=AB=5
38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
证明：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB，MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF
∴△BME≌△CMF（AAS）
∴MB=MC．
39.如图，给出五个等量关系：①
②
③
④
⑤
．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA
求证：△DAB≌△CBA
证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
40．在△ABC中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时，求证： ①
≌
；②
；
(2)当直线
绕点
旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE．
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴EC⊥BF．
42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
在△ABF和△CDE中
,AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF≡△CDE（边角边）
∴FB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形
∴BC‖EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
在AB上取点N ,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN
∴AE为公共,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
∵BE为公共边
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
证明：
∵AD是△ABC的中线
BD=CD
∵DF=DE（已知）
∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC
则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。
46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
．
求证：
．
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90o
又∵AB=CD，BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
∵,∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB和△DOC中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB
在△ACB和△DBC中
AC=DB
,∠3=∠4
BC=CB
△ACB≌△DBC
∴AB=CD
48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE
49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
∵AB=DC,AC=DB，BC=BC
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE，AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
作CG⊥AB,交AD于H,
则∠ACH=45o,∠BCH=45o
∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o
∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB
∴△CFD≌△BED
∴∠ADC=∠BDE
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