数学毕业论文-反常积分的若干计算方法

数学毕业论文-反常积分的若干计算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 学号: 反常积分的若干计算方法 学院名称: 数学与信息科学学院 专业名称: 数学与应用数学 年级班别: 2009级应数二班 姓 名: 指导教师: 2013年5月 河南师范大学本科毕业论文 反常积分的若干计算方法 摘 要 反常积分的应用非常广泛,反常积分包括两类:无穷积分和瑕积分.反常积分的定义是计算反常积分的基础,定积分的计算方法一般也可以用到反常积分的计算中:如换元积分法,分部积分法.文中还介绍了反常积分的其他计算方法:应用复变 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 中留数定理的方法可以较简便地计算一些类型的广义积分;还可以用二重积分理论,Lagrange中值定理,Euler公式,函数的对称性,正态分布函数和?,B函数以及概率论方面的知识来计算某些特定类型和相对复杂的反常积分. 反常积分的类型复杂多样,求解方法也灵活多变,在计算反常积分时,合理的利用上述一种或几种方法,问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 也就迎刃而解,并且解答过程简洁明了. 关键词 反常积分;计算方法;换元积分法;分部积分法. Several calculation methods of improper integral Abstract Improper integral has extensive applications. This paper presents the concept of the improper integral. Improper integral includes two kinds: infinite integral and flaw points. The definition of improper integral is a foundation of calculating improper integral. The calculation methods of the definite integral general can also be used to improper integral calculation: such as integration by substitution, integration by parts. By using residue theory , we can work out some kinds of generalized integral easily. This paper also introduces the other calculation methods: double integral theory, the symmetry, etc. If we can use these methods, the calculation of improper integral can be answered and these methods make answer process simple. Keywords improper integral; calculation method; integration by substitution; integration by parts. 河南师范大学本科毕业论文 前 言 反常积分是数学分析的一个重要概念,实际应用中经常会遇到反常积 分的计算题. 大家都比较熟悉定积分的计算方法:换元法,分部积分法等.反 常积分的应用也较广泛,因此有必要研究反常积分的计算方法.其实定积分 的计算方法一般也可用到反常积分计算中:如换元积分法,分部积分法.当然 反常积分还有很多计算方法:如留数定理,二重积分理论, ?,B函数等.合理地 使用这些方法,反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明了. 近年来,国内许多专家对反常积分的计算方面进行了研究.朱水源2010 年在《无穷积 [1]分的敛散性的判别和计算》一文中分析了无穷积分的敛散性,并给出 了无穷积分的计算方 法. 赵士银2012年在《用分部积分法计算反常积分》[2]一文中研究了用分部积分法计算反常积分的相关问题. 王碧桂2011年在《用参数展开法计算一类反常积分》[3]一文中从参数展开出发,给出了用参数展开计算一类反常积分的方法. 孙正杰2010年《一类反常积分的另解及推广》[4]一文中给出了用欧拉公式计算一类反常积分的方法. 杨继明2008在《一类 [5]反常积分的计算问题》一文中针对反常积分中比较复杂的计算问题,结合复变函数的相关 知识,提出来一种用留数定理计算反常积分的方法.该算法有效地解决了一类复杂反常积分计算问题. 本文给出的计算方法并没有超出课程教学大纲,只是从不同 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 、不同角度去理解问题, 通过分析研究,结合所学内容,巧妙地解决了问题.有的方法采用函数论中?,B的函数[6]的性质,有的方法利用了概率论与数理统计中的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布的性质[7],有的方法利用了数学分析中不同章节的内容. 1 反常积分的定义和性质 1.1 无穷积分的定义和性质 定义 1 设函数f定义在无穷区间[a,??)上,且在任何有限区间[a,u]上可积.如果存在极限 lim?f(x)dx=J (1-1) u???au 则称此极限J为函数f在[a,??)上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记作 2 河南师范大学本科毕业论文 J??并称? ??a ?? a f(x)dx (1-2) ??a f(x)dx收敛.如果极限(1-1)不存在,为方便起见,亦称? ??a f(x)dx发散. 定理1.1 无穷积分?便有 f(x)dx收敛的充要条件是:任给??0,存在G?a,只要u1,u2?G, ? u2 a f(x)dx??f(x)dx? a u1 ? a u2 u1 f(x)dx??. 性质 1 若? ?? a f1(x)dx与? ?? f2(x)dx都收敛,k1,k2为任意常数,则 ? ?? a [k1f1(x)?k2f2(x)]dx也收敛,且 ? ?? a [k1f1(x)?k2f2(x)]dx?k1? ?? a f1(x)dx?k2? ??a ?? a f2(x)dx. (1-3) ??a 性质2 若f在任何有限区间?a,u?上可积,a?b,则? f1(x)dx与? f2(x)dx同敛散,且有 ? ?? a f(x)d?x? ba f()x?d?x ??b (1-4) (f). x d x ??a 性质 3 若f在任何有限区间?a,u?上可积,且有?并有 ?? a f(x)收敛,则? f(x)dx亦必收敛, ? ?? a f(x)dx?? ?? a f(x) . (1-5) 1.2 瑕积分的定义与性质 定义 2 设函数f定义在区间(a,b]上,在点a的任一右领域内无界,但在任何内闭区间 ?u,b??(a,b]上有界且可积.如果存在极限 limfx(dx)?J, (1-6) ?? u?a ub 则称此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分,记作 1-7) J??f(x)dx, ( ab 并称反常积分?f(x)dx收敛.如果极限(1-6)不存在,这时也说反常积分?f(x)dx发散. a a bb 在定义2中,被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点,而无界函数反常积分 ? b a f(x)dx又称为瑕积分. ??a 定理1.2 瑕积分?便有 f(x)dx收敛的充要条件是:任给??0,存在??0,只要u1,u2?(a,a??), 3 河南师范大学本科毕业论文 ? a u2 f(x)dx??f(x)dx? u1 b ? a u2 u1 f(x)dx??. 性质 4 若?f1(x)dx与?f2(x)dx都收敛, k1,k2为任意常数,则 a bb ?[kf(x)?k a 11 b 22 f(x)]dx也收敛,且 ? b a [k1f1(x)?k)]?dx?1k2f2(x a b f)?xd?x2k1( a b 2 (1-8) (. f ) x d x 性质 5 如果a与b均为f(x)的瑕点,对积分 ? b a f(x)dx 如存在c?(a,b), 使 ? c a f(x)dx与?f(x)dx均收敛,则称?f(x)dx收敛, 且 c a bb ? b a f(x)d?x? ca f()x?d?x bc (1-9) (f). x d x ba 与无穷区间上的广义积分一样,读者可以证明,瑕积分?f(x)dx的收敛性 及值与c的取法无关( 性质 6 若?f(x)收敛,则?f(x)dx亦必收敛,并有 a a b b ? b a f(x)dx??fx(dx). (1-10) a b 2 反常积分的计算方法 2.1 利用定义计算反常积分 对反常积分? ?? a f(x)dx,若对任意的A?0,lim ??a A???a ? A f(x)dx存在,称反常积分? ?? a f(x)dx 收敛且称上述极限值为反常积分的值,即? f(x)dx=lim A???a ? A f(x)dx. 故可看出,反常积分由定义计算可分两步: 第一步求定积分:?f(x)dx=F(A); aA 第二步取极限:lim ?? A???a ? A f(x)dx?limF(A). A??? 例1 计算反常积分? 2 1 dx. x(x?1) 分析 用反常积分的定义来解题,分两步来计算: 解 第一步:? A A111A?1dx??(?)dx?ln?ln2; 2x(x?1)x?1xA 2 4 河南师范大学本科毕业论文 第二步:lim[lnA??A?1?ln2]?ln2. A 所以??? 21dx=ln2. x(x?1) 计算较简单的反常积分时,先考虑用反常积分的定义求解. 2.2 利用换元积分法计算反常积分 由于反常积分是通过变限定积分的极限来定义的,有关定积分的换元法也可引用到反常积分中,换元积分法是定积分计算的最基本方法之一,在反常积分中也是如此. 下面通过具体的例题介绍. 例2 计算瑕积分?10的值. xn?1 ?C 计算, 那就需分析 如果分子也出现1?x ,就能用?xdx?n?12n 1要先把x变为 ?d?1?x2?,再进行计算. 2 解 ?10 11??u11122222????1?x?d?1?x???lim??1?x?d?1?x2?. 202u?10 令1?x2?t,则 1上式?lim?2u?111-u21tdt=?lim22u?1?121?1. ? 注意 本题用的是第一换元积分法?g???x??d??x??G???x??d??x?+c(c为常数). 关键在于把被积表达式f?x?dx凑成G???x??d??x?的形式,以便选取u???x?,化为易于积分的?g?u?du,最后把新引入的变量还原为起始变量. 2.3 利用分部积分法计算反常积分 分部积分法与换元积分法一样,也是计算反常积分最基本的方法.分部积分公 式:?u?x?dv?x??u?x?v?x???v?x?du?x?.用这种方法计算反常积分关键要合理选择u?x?v?x?,才能简便地进行计算. 5 河南师范大学本科毕业论文 例3 计算?e?xxndx(n是非负整数). 0?? 解 分为 n?0和n?1 两种情况讨论. n?0时,I0??e?xdx?1; 0?? n?1时,用分部积分法计算. ??In??e?xxndx??e?xxn|0?n?e?xxndx?n?e?xxn?1dx 000?????? ?nIn?1, In?nIn?1?n?n?1?In?2????????n!. 例4 计算?lnxdx. 01 分析 本题用分部积分法做很简单. [解法一] ?lnxdx??xlnx?|??dx???dx??1. 01000111 注意 lim?xlnx??0 ,当然这个题还可用换元积分法. x?0 结合上题结论做. [解法二] 令lnx??t,则lnxdx?tedt,?lnxdx??te?tdt??I1??1(利用例2.3的结?t11 0?? 论In?n!). 注意 本题可用分部和换元积分法两种方法计算,第一种简便,做题过程中用一种方法做完后要想想还有无其他方法,还要比较哪种简便,这样就可以事半功倍. 2.4 利用留数定理计算反常积分 用数学分析中计算反常积分的方法计算一些反常积分 如 ?sinx2dx,?0????0sinx,是麻x 烦的,而且没有统一处理的方法,但是利用留数定理来计算,往往就比较简单. 定义 3 设函数f?z?以有限点a为孤立奇点,即f?z?在点a的某去心邻域 0?z?a?R内解析,则称积分 记为Resf?z?. z?a1f?z?dz??:z?a??,0???R? 为f?z?在点a的留数,2?i?? 定理 2.1 f?z?在周线或复周线c所范围的区域D内,除a1,a2,???an 外解析,在闭域D?D?C上除a1,a2,???an外连续,则(“大范围”积分) 6 ? 河南师范大学本科毕业论文 ?f?z?dz?2?i?Resf?z?. (2-1) ck?1z?an 应用留数基本定理计算某些类型实函数的积分,大致思想是:为了求实函数f?x?在实数轴上或实数轴上的某一段L上的积分,我们在坐标平面上适当添加某一曲线使其与L构成一简单闭曲线C.其内部为D,选取适当函数f?z?,然后在 D上对f?z?应用留数定理,这样就把实轴上f?x?的积分转化为计算f?z?在D内奇点的留数与那部分添加曲线上的积分,将问题大大简化了.下面通过举例来介绍如何用留数定理计算某些类型的反常积分值. 例5 计算???? ??P?x?dx型积分. QxP?z?有理分式,其中 Qz解 设f?z?? P?z??c0zm?c1zm?1?????cm?c0?0?与Q?z??b0zn?b1zn?1?????bn?b0?0? 为互质多项式,且符合条件:(1)n?m?2;(2)在实轴上Q?z??0, 则有 ??? ??f?x?dx?2?iImak?0?z?akResf?z? . (2-2) 注意 (1)有理分式中分母比分子的次数至少高两次,(2)f?z?在实轴上没有奇点, (3)Z?ak为f?z?在上半平面内的极点. 例6 计算反常积分? 分析 被积函数 x2??x20xx222?a2x2?b2?a?0,b?0?. x2?ax2?b2是偶函数,已有 ??? 01??x2dx=?dx, 22222222??2x?ax?bx?ax?bx2 2?x?????a2x2?b2dx符合定理2.1的条件,可运用定理2.1计算. 解 f?z??z2 z2?a2z2?b2有四个一阶极点:?ai,?bi,在上半平面内有两个极 7 河南师范大学本科毕业论文 点:ai,bi.令:??z???z?ai?f?z?, Resf?z????ai??z?ai ??ab,同理:, Resfz??ai?????2222z?bi2ia?b2ib?a?????ba??dx=2?iResf?z??Resf?z?=2?i??=?2 2222222z?aiz?bi??x?ax?b??2ib?a2ia?b??x2?. a?b 被积函数是偶函数,故: 1=x2?a2x2?b22 ?????x20?x????x22?a2x2?b2dx=?2a?b. 例7 计算???P?x?imxedx型积分. QxP?z?其中P?z?及Q?z?是互质多项式,且符合条件: Qz解 设g?z?? (1)Q?z?的次数比P?z?的次数高, (2)在实轴上Q?z??0 , (3)m?0, 则有 ??? ??g?x?eimxdx?2?iImak?0?z?akResg?z?eimz , (2-3) 特别是将(2-3)分开实虚部,就可以得到形如 ??? ????P?x?P?x?cosmxdx及?sinmxdx的积分. ??QxQx由数学分析的结论知 可知,上面两个反常积分都存在,其值就等于柯西主值. 注意 (1)分母比分子的次数至少高一次,(2)f?z?在实轴上无奇点,(3)Z?ak为f?z?在上半平面内的极点. 例8 计算反常积分??? 0cosx?a?0?. 22x?a????x2cosx1??cosxdx满足上述 的??dx,???222222??2x?ax?ax?a分析 被积函数是偶函数?0 8 河南师范大学本科毕业论文 条件. 解 被积函数是偶函数,故:??? 0cosx1??cosx??dx, 2222??x?a2x?a??? ???eiz?e?a?e?aeix?=2?i= dx?2?iRes?2222z?ai2aia?x?a?z?a?? ???? 0?e?acosx. =22ax?a注意 掌握简单留数的求法,熟悉定理2.1的内容,能简便地计算一些反常积分. 2.5 利用二重积分理论计算反常积分 利用二重积分计算反常积分时,应分两步:第一步:把反常积分巧妙地化为一个二重积分;第二步:计算二重积分,从而计算出反常积分的值. 例9 计算反常积分?e0???x2dx. ??2分析 直接计算反常积分?e?xdx 很困难,先把它化为一个二重积分,再计算二重积0 分,从而计算出反常积分的的值. 解 ?e0???x2dx??e?ydy, 0 2??2???e?x2dx????e?y2dy??e?x2dx, ?0??0??0?? 而:?e0???y2dy?e0 2???x2dx=??eD2?x2?y2??dxdy,其中D=?0，+????0，+??, ??2??x故:??e?xdx?=??e???0?D?y2?dxdy. 下面用换元法计算二重积分:令x?rcos?,y?rsin?, 上式=??erdrd???2d??D0-r2???0???-r??1?2erdr?????d?? ed??r2??, 04?2?0-r22 ??e?xdx?0??22. 注意 本题是典型的一道利用二重积分理论计算反常积分的题,先把反常积分巧妙地化为一个二重积分再利用换元法计算二重积分,从而计算出反常积分的的值. 2.6 利用函数的对称性计算反常积分 9 河南师范大学本科毕业论文 定理 2.2 奇函数f?x?在区间???,???上连续,且对任意取定的实数c,反常积分 ? ?? c f?x?dx 和 ? c ?? f?x?dx都收敛,则反常积分 ? ?? ?? f?x?dx?0. ??0 定理 2.3 偶函数f?x?在区间???,???上连续,反常积分?收敛,则: f?x?dx和? ?? f?x?dx 都 ? ?? f?x?dx?? 1 ?? 1?? f?x?dx??f?x?dx. (2-4) 2?? 例10 计算反常积分? ?. 分析 被积函数是个奇函数,满足定理2.2的条件,运用定理2.2可以计 算. 解 ?f? x?? 1 ,且满足定理2.2的条件要求 , ?? ??0. 合理地使用这种方法,这类反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明了. 2.7 利用函数计算反常积分 2.7.1 利用?,B函数计算反常积分 利用?,B函数也是一种重要的计算反常积分的方法,先介绍?,B 函数: ?函数:??s??? ?? xs?1e?xdx,(s?0); 1 p?1 B函数:B?p,q???x ?1?x? ?? q?1 dx,?p?0,q?0?. 注意 利用公式计算,首先要熟悉公式,记忆公式,其次在解题中要掌握 如何运用公式. 例11 计算反常积分? 2 ?? x2e?xdx. ???? 2 分析 被积函数e?xx2是个偶函数,?x2e?xdx?2? 2 ?? x2e?xdx,但是? 2 ?? x2e?xdx 并不 2 符合?函数形式,那就需要变形,看能否化成?函数的形式. 解 ? 被积函数e?xx2是个偶函数, ?? ???? 2 x2e?xdx?2? 2 2 ?? x2e?xdx=? ?? 12?t 2 ?? xe?xdx2, 2 ?3?1?1? 令 t?x,则:上式 =?tedt?????????, 0222???? 10 河南师范大学本科毕业论文 ?? ?? ?? x2e?xdx? 2 2 . 注意 如果被积函数符合?,B 函数形式,那就直接运用公式;如果形式相 近,但又不符合?,B函数形式,那就需要变形,看变形后能否运用?,B 函数,关 键是变形. 2.7.2 利用标准正态分布的分布函数来计算反常积分 2标准正态分布的分布函数为?? x?? x ? t2 ?? edt. 根据概率论与数理统计 ?? ???? ?? ?t22 ?? edt?1. t2又函数e ?2 是实数域上的偶函数, 从而有 2? ?? ? t2 edt? 2 再作变量替换,令 ?u,dt?于是 , ? ?? e?u 2 ? , 进而有 : ? ?? e?t2 dt? 合理地使用这种方法,这类反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答 过程简洁明了.2.8 利用重要极限来计算反常积分 n ?x?n 因为?x2 nlim??????1?1? 2n???e,所以nlim?????? 1?n? ??e.从而, ?? 2 2 ?n ?? 2 ?n ? e?xdx?? ?? ?x?0 nlim?????1?n??dx?nlim?????0?? 1?x? n??dx. ?t,得 ??n nlim ???? ?? ??0 ??1?x2?n??dx?nlimdt0? 1?t2?n?nlimn. 11 河南师范大学本科毕业论文 其中I??dt n??0?1?t2?n.运用分部积分法[6], 得 Idtt??2?n?1????t2dt n?1???? 0?1?t2?n?1??1?t2?n?1|0?0?1?t2?n?2?n?1?In?1?2?n?1?In. 于是根据递推关系, I2n?32n?32n?531??dt?2n?3?!! n?2n?2In?1?2n?2?2n?4?????4?2?01?t2?2n?2!!?? 2. 根据瓦里斯公式(Wallis公式, 1655年) 可知 ?2n?2?!!?2? nlim?????2n?1???2n?3?!!?2?2. 进而有 ????x2 0edx?nlim?2n?3?!!??? 2n?2!!?? 2?lim?2n?3?!!n??? 2n?2!!? 2 =?2?2. 合理地使用这种方法,这类反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明了. 2.9 利用Lagrange中值定理来计算反常积分 定理2.4 若f(x),g(x)满足: (i) f(x),g(x)在[a,b]上连续; (ii) f(x),g(x)在(a,b)内可导; (iii) g'(x)在(a,b)内恒不为0; (iv) g(a)?g(b); 则在(a,b)内至少存在一点?,使得f'(?)f(b)?f(a) g'(?)?g(b)?g(a). 设函数 f?t????te?x2?2dx,g?t???1e??1?x2?t2 001?x2, 12 河南师范大学本科毕业论文 易知, 当t???时, g?t??0 , 而f?t?的极限就是所求. 并且 f' ?t??2e ?t2 ? t ?x2 edx. 当t?0,0?x?1时, g' ?t???1 ?2te ??1?x2? t2 dx, 通过变量替换s?xt,有 g' ?t???2e ?t2 ?t ?s2 e ds??2e ?t2 ?t e ?x2 dx. 于是, f'?t??g'?t??0. 根据定理2.4, 当时t?0, f?t??g?t??常数. 取t?0,易得f?0??0,g?0??? 1 101?x2dx??4.f?0??g?0???4 .即 ? ?te?x2 0dx? 2 ??1 e??1?x2? t2 01?x2 dx?? 4 . 在这个恒等式两边取极限, 便得到 ?? ?? ?x2 e dx ? 2 ? ? 4 . 再由e?x2 的非负性并利用定积分的保号性质, 就能得到 ? ?? ?t2 edt? . 合理地使用这种方法,这类反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明了.2.10 利用Euler公式计算反常积分 引理 2.1 当n为偶数时,有 sinnx sinx ?2??cos?2k?1?x?cos?2k?3?x?????cosx??. 当n为奇数时,有 sinnx sinx ?2??coskx?cos2?k?1?x?????cos2x???1. 引理 2.2 2?cosx?cos2x?????cosnx??sin?n?1?x?sinnx?sinx sinx . 结论 1 当n为偶数时,? ? sinnx sinx =0; 13 河南师范大学本科毕业论文 当n为奇数时, ? ? sinnx =?. sinx 结论 2 ? ? nx??sin??dx?n?. x??sin ? 2 结论 3 当n?4i,4i?2时,? 当n?4i?1时, ?sinnx? ??dx=0; ?sinx? 3 3 ? ? ?sinnx?2??dx=?12i?6i?1??; ?sinx? ?sinnx?2 12i?18i?1??. =dx??? ?sinx? 3 当n?4i?3时, ? ? 2.11 利用概率论的知识计算反常积分 定义 4 E?Y??E??g?x???=?定理 2.4 E?C??C. 定理 2.5 E?CX??CE?X?. 定理 2.6 E?X?Y??E?X??E?Y?. 例12 计算? ?? ???? g(x)f(x)dx. ?? ??x 2 ??1x??2?e ?x2?bx?c ?? dx的反常积分??0,?1,?2,b,c为任意实数?. b??b2??2 解 因为??x?bx?c????x????c??,所以 2??4?? 2 ???x ?? ?? 2 ??1x??2?e ?x2?bx?c ?? dx ?? ?? ?? ?? ??x 2 ??1x??2?e 22 ?b??b???x????c?? 4??2???? dx ?? ?? ??x 2 ??1x???2e ?b? ??x???2? 2 ?b2????c??? 4?? e xd ?b???x???2? 2 ?e ?b2????c?4???? ?? ? ?? ?? 2 x??1x???22 xd ?b? ??x???2? 2 ??b2????c?4???? ?? ?x? 2 ?? ?? ????21x 12d. x (2-5) 14 河南师范大学本科毕业论文 ?b设连续性随机变量X:N??,?2???1?,则它的概率密度为 2??? ?b???x???2?2 f? x??1 e2,???x???. 所以 (2-5) 式可以写为: ?b2????c?4???????x?2 ??0?????d x . (2-6) ?2?f?x[9] 1x 设连续性随机变量Y为X的函数,且Y?g?X???0X2??1X??2,由定义4及定理2.4---2.6 得 ?b2????c?4????? ??x??0 ?? ????2??1x??2?f?x?dx ??b2????c?4????? g?X?f?X?dX ??b2????c?4????E??g?X??? 2E??x??1x??2?0?? ??b2????c?4???? ??b2????c?4????2???E??Ex?0????1E?x???2?. ?b因为X:N??,?2??1??,所以E?X???b,D?x??1,又由Dx?E?x2???Ex?2,得 ????????2?22?? 1b22?b2 E??E?x????2?4?4. ?x???D?x???22 所以(2-6)式变为 即 ?b2????c?4??????2?b2??b?1??0???2?. (2-7) 42???? 15 河南师范大学本科毕业论文 ? ??x??0??2??1x??2?e?x2?bx?c??dx ??b2????c?4??????2?b2??b?1??0???2? 42???? ??b2????c?4???? . (2-8) 以上我们利用连续性随机变量的正态分布特点,将一内反常积分的计算转化为计算一个随机变量函数的数学期望,经过严格推导得到了这内反常积分的计算公式(2-8), 使得计算该类积分的难题得以解决. 2.12 利用Laplace变换求反常积分 设f?t?当t?0时有定义而且积分??? 0f?t?e?stdt(s是一个复参量)在s的某一域内收 ?? 0敛,则由此积分所确定的函数可以写为F?s???f?t?e?stdt,称F?s?为f?t?的Laplace变 换,记为F?s??L??f?t???,F?s?称为f?t?的象函数,f?t?称为F?s?象原函数. 例13 计算?tnf(t)dt的积分. 0?? 解 (1)当n??1时, 由象函数的积分性质: ???0??f(t)dt??F?s?ds,其中F?s??L?f(t)?. 0t ???f(t)?L???F?s?ds, ?t??0 ? 取s?0即可. ??0??f(t)?stedt??F?s?ds, 0t (2)n为非负整数时, 有 ? 由象函数的微分性质: ??0tnf(t)dt???1?limF?ns?0n??s?. nnL???t?f(t)??F???s?, ?? nnnL??t?f(t)????1?F???s?. ??由积分性质: tnn1L???t?f(t)dt????1?F?n??s?. ???0?s 因F?s?是s平面右半部的解析函数, 具有任意阶导数, 故F?n??s?亦在s右半面解析, 从而 16 河南师范大学本科毕业论文 1?n?F?s?在s右半面解析,依终值定理: s ??? 0tf(t)dt?lim??t?f(t)dt nt???0tn ???1?limF?n s?0n??s?. 由于反常积分的计算方法灵活多样,除了归纳总结出的下述12种方法外,还有很多计算反常积分的方法,需要进一步去探索,归纳总结. 因此在计算反常积分时,首先要熟悉各种计算方法的原理及相应知识点.其次,要有良好的分析方法与解题习惯,学会分析思考,也要学会积累归纳总结某一类型题的解法,从而提高解题能力和速度. 结束语 计算较简单的反常积分时,先考虑用反常积分的定义求解;由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和分 部积分法一般都可引用到无穷积分中来;应用复变函数中留数定理的方法可以较简便地计算一些类型的广义积分;还可用二重积分理论,函数的对称性,正态分布函数与?,?函数计算反常积分,有时计算一个反常积分要同时用到几种方法,我们要找到最佳方法.本文主要通过理论与举例相结合的方式对反常积分的求解问题进行了研究. 反常积分的类型复杂多样,求解方法灵活多变,我们这里总结出来的求解的方法不一定全面(所以,要想解决教学和科研上遇到的反常积分的求解问题,必须不断地进行探索,因此本文仅起到抛砖引玉的作用. 随着科学的发展,以及人们不竭的求知精神,后继者必将探索出更多更好的解法. 17 河南师范大学本科毕业论文 参考文献 [1] 朱水源.无穷积分的敛散性的判别和计算[J].数学通 报,2010,6(7):12-16. [2] 赵士银.用分部积分法计算反常积分[J].长江大学学 报,2012,10(8):2-8. [3] 王碧桂.用参数展开法计算一类反常积分[J].湖州师范学院学报,2011,2(5):2-8. [4] 孙正杰.一类反常积分的另解及推广[J].浙江工商大学学报,2010,5(7):8-13. [5] 杨继明.一类反常积分的计算问题[J].湖南工程学院理学院学报,2008,3(5):9-12. [6] 舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].科学出版社,2008,4(7):12-14. [7] 沈恒范.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2003. [8] 张拥平.一类复杂反常积分的简单计算[J].张家口教育学院学报,2009,10(6):2-9. [9] 王艳妮.反常积分的计算[J].西安航空职业技术学院学报,2008,6(7):2-10. [10] 景妮琴.浅析反常积分的计算方法[J].北京电子科技职业学院学报,2009,7(8):2-7. [11] 黄慧.反常积分的一致收敛性[J].宝鸡文理学院学报,2008,6(9):12-15. [12] 李立清.积分和反常积分的几点注记[J].武汉科技大学学报,2007,5(6):1-5. [13] 黄绪明.用Laplace变换求反常积分[J].长江大学学报,2007,10(12):6-17. [14] 钱芳.浅谈含参量无界函数反常积分[J].浙江师范大学学报,2008,2(8):3-7. [15] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2009. 18 河南师范大学本科毕业论文 致 谢 在论文的准备和写作过程中,笔者得到了xxx老师的悉心指导和热情帮 助(她平日里工作繁多,但在我做毕业论文的每个阶段,从查阅资料到设计草案的确定和修改,中期检查,后期详细修改等整个过程中都给予了我悉心的指导(除了敬佩xxx老师的专业水平外,她的治学严谨和科学研究的精神也将是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作(其次要感谢和我一起作毕业论文的同班同学(然后还要感谢大学四年来所有的老师,为我们打下扎实的专业基础知识,正是因为有了你们的支持和鼓励,此次毕业论文才会顺利完成(最后感谢xxx大学四年来对我的大力栽培( xxx 2013年04月于xxx大学 19