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费马大定理的证明论文.doc

费马大定理的证明论文

童话里滴公主
2017-09-30 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《费马大定理的证明论文doc》,可适用于综合领域

费马大定理的证明论文【法】等轴双曲线方程的通解与费尔玛大定理的证明摘要:由等轴双曲线方程与费尔玛方程的内在联系寻找到一种费尔玛方程是否有正整数解的充要条件再由对此条件的否定证明了费尔玛大定理并且把费尔玛大定理与勾股定理有机地统一起来。QQ关键词:完全解可导出解连环解中图法分类号:O文献标识码:A文章编号:R通解本文所用数集:自然数集有理数集实数集。本文讨论不超出的RQRN范围。nnnnxy,z本文中方程及同类方程中的指数以后不再说明。N引理方程nnnnxy,z()()Q有解的充要条件是它有解。Nnnnnxy,z引理方程()()有解的充要条件是它有既约解。NNQ这样在以后的讨论中只需讨论解及既约解的情形可使过程简化。Nnnnnxy,z引理方程()()有解的充要条件是方程NnnnXY,()()Q有解。wunnnQXY,证明充分性如果方程()()有解设()vvwunnnnnQ为其解则()(),。于是方程()uvwN,两两互素uv,wvvnnnnxy,zuvw()有解。Nnnnnxy,zuvw必要性如果方程()()有解设uvwN,两两互素NwunnnnnnnnQXY,为其解则()(),。于是方程()()有uv,wNvvwu解()。证毕vvnnnnxy,zQ引理如果方程()()有解那么只有两类:Quvwuvw,Qi)完全解Q,u,v,w解,,,QuvwQ。ii)可导出证明第i)类属显然。nnn,u,v,w第ii)类把代入方程()得,,,uvw,nnnuv,wQuvw于是导出方程()的解。Q除此以外由其它任何形式的带无理因子的解都不能导出解。事实上设,,,uvwuvw,,,QQ(中至少有一个且三个数中含有不可通约的无理因子)为方,,,程()的解则由的定义知它们的无理因子是不能从上式中完全提到括号外面去的Q即由它不能导出方程()的解。证毕从引理及其证明过程可以得到以下三条结论:QQuvw()若将第i)类解的三个数同乘以一个数ξ(ξ)得到ξ则QQ此解仍是方程()的第i)类解若将三个数同乘以一个数λ(λ)得uvwQ到λ则此解变为方程()的第ii)类解。Quvw()若将第ii)类解的三个数同乘以一个数得到则此解,,Q,QRQ且,,,变为方程()的第i)类解若将三个数同乘以一个数δ(δ)uvwQ得到δλ则此解仍是方程()的第ii)类解。QQ()方程()的第i)、ii)类解与非第i)、ii)类解之间是封闭的。即无论对数组的三个数同乘以一个什么正实数它们之间都不可能互化。nnnnxy,zR定理方程()()的解公式是nnnAddddRd,,,,,,()()() (、),,,rrn,,nn,、)rRr,,,,()()Br或(。,,,,zynnnnnxyz,Rxy,z证明当时由得()()。根据引理这两个方程,,xxQ在是否存在解方面是等价的。从而得到nnnnzyzy()()()(),,,,,,xxxxnnnnzyzy(),(),于是设则。由此解得()()(),,ddxxdxxnnzdyd,z:x(),(),。恢复和的比例系数后得y:xxdxdnn,,(d),(d,),zy拆开后即得(),(),(,,R)xd,xd,,,nnnAxyzdddRd,,,,,,,,()()()() (),,,,nnnn。,,,,,,,,()()() ()dddRdnnnnnnzxzxzxnnnxy,z(),(),()()()()又由得。,,,,,,,,,,yyyyyynnnnzxzx()()(),,rr设则。仿上法又得到(),(),yyyyr,,rr,nnn,,BxyzrrRr,,,,()()() (、)。,,,,,,ap,,,、(、、、drabpqR若设a,b,p,q)则之间的变换关系是A、Bbqppabdr,,将两式分别代入方程()等式成立。因此两式都是方程A、BA、Bpqab,,R()的解公式。证毕R定理说明i)方程()的任何一个解都可以由两式同时表出两式表出A、BA、BQRR的任何一个数组都是方程()的解。ii)如果方程()有(或)解则必能用NA、BQQ两式同时表出如果两式同时表出(或)数组则方程()有(或)解。反之A、BNNQQ如果两式不能同时表出(或)数组则方程()没有(或)解。A、BNN有N解的充要条件nnnnxy,zQ引理方程()()有解的充要条件是nnnAdddd,,,()()() (),,rr,nnnBrr,,()() ()或,,,,,,Q能同时表出或导出数组。,,证明根据引理的结论()可将两式的系数略去因为这样一者可使讨A、BQ论简化二者既不会使第i)、ii)类解增生也不会使之消失三者必要时再同乘以一个公共因子。AAQ先证。必要性根据定理如果方程()有解必能用式表出或导出。根据dd,dQQ引理其解只有两类:i)如果是第i)类解即存在当时其解,,nnnAQQA是解则能表出数组ii)如Adddd,,,()()() ()AQQQ果是第ii)类解根据引理由这个第ii)类解必能导出第i)类解从而能导Q出数组。AQQQ充要性如果式能表出或导出数组显然是方程()的解即方程()有解。BA对于式与式同理可证。证毕A、B根据引理、、不难找到思路:方程()有解的充要条件是两式能同时表出N或导出既约数组。N定理方程nnnxy,z(()n,)有解的充要条件是以下两式:Nnnnnnnnnn,,,nnnAababab,,,,,()()()()()n※,,nnn,(奇())abaNbab,,,,,nnnn,,()()()()pqpq,nnnnBpq,(),,或n(),,,,(二奇())pqpq,,,能同时表出既约数组。Nnnn,ab,,abab※也可以是奇(),。有且仅有这两种情形N因为自然数只有奇偶两类。此类情形与上同理故未写出。无妨下同。AB证明必要性如果方程()有既约解根据引理、、必可由、两式同时N表出或导出。此时两式分别为nnn,Adddd,,, (),,rr,nnnBrr,, (),,,,,,anAdi)证。根据引理的三条结论先让。为此必须设,Qd,,a,b,(n)b一奇一偶则(a,b),nnnnAababab,,bnnnn,n,nab(ab),必须再设奇则a,ab,ba,b,Nnnnnnnnnn,,,nnnnAabababA,,,,,()()()()()nnbb()pnr,,Br,Qii)再证。根据引理的三条结论先让。为此必须设p,q,(n)q二奇(p,q),则,,pqpq,nnnnBpq,。,,,,q,,nnp,q,(p,q),必须再设二奇则p,pq,qnnnn,,()()())pqpq,nnnnnnBpqB,,,,。()nn,,()qq,,ABAB同时易证、中的底数分别两两互素。到此、两式仍必能表出方程()(n)(n)(n)(n)AB的既约解。于是、必能同时表出既约数组。NN(n)(n)ABAB充分性如果、都能表出既约数组同时易验知、能使方程()N(n)(n)(n)(n)成立那么此时这两个既约数组就是方程()的既约解。即方程()有解。证毕NNNnnnxy,z推论方程(有解的充要条件是一下两式:n,)Nnnn,(一奇一偶)(a,b),Aababab,,()()()a,b,(n),,pqpq,nnn,()()()Bpq,或(二奇)p,q,(p,q),,,()n,,,,能同时表出既约数组。N,,ABAB不难看出、两式内容详细、两式简明扼要。它们各有所长作用相(n)(n)(n)(n)同。,定理方程nnnxy,z(()n,)有解的充要条件是一下两式N,,nnnnnnnnnnnnAababab()()()()(),,,,(,,n),,nnna,Nb奇(a,b),)(a,b,,,nnnn()()()()pqpq,nnn,,nn或Bpq(),,()n,,,,,,,,p,q,(p,q),)(二奇能同时表出既约数组。NAB证明必要性如果方程()有既约解根据引理、、必可由、两式同时表N出或导出。此时两式分别为,,nnnAdddr,,,(,)()(),,,,,,rr,nnnBrr,,()()()。,,,,,,AB将、的证明同时进行以便比较。下面分四种情形讨论:ai)根据引理的三条结论若则必须设一奇一偶d,Q(a,b),d,,a,b,b则nnnnAababab,,()()()。bnnnnnnab(a,b),必须再设奇则a,ab,ba,b,N,,nnnnnnnnnnnnAababb,,,,()()()()()a,,b,,,A(n)bpr,,若则必须设二奇则r,Qp,q,(p,q),q,,pqpq,nnnnBpq,()()(),,,,q,,nnp,q,(p,q),必须再设二奇则p,pq,q,,nnnnpqpq()()()(),nnn,,nnBpq,,(),,,,,,q,,,B。(n)qnd,Q(d),Qii)根据引理的三条结论若为了让必须有。为此(d),Qnn,annn(,)ab,,dab,,a,Nb奇必须设则nbnnnnnnnnn,,,nnnAababab,,,()()bnpn,r,Qr,Qrp,q,若为了让必须有为此必须设二rQ,nq(p,q),奇则nnnn,,pqpq,nnnnnBpq,,()(),,,,q,,但是在情形ii)下方程()若有既约解必须被、两式同时表出。于是得到Nn,pqn,nnn,nnab,,()    ,,,nnnnn,nnabpq()  ,,    ,,nnpqnnn,,nnab()() ,    ,,比较后发现式中左边的底数不是完全平方数而右边的底数是完全平方数式的情形恰好相nnna,Nb奇(ab),反。为此必须再设a,ab,ba,b,b则,,nnnnnnnnnnnnAababab,,,,()()()()(),,b,,,A(n)bp,q,(pq),必须再设二奇则p,pq,q,,nnnnpqpq()()()(),nnn,,nnnBpq,,(),,,,,,q,,,B。(n)qAB、这样情形ii)就归结到情形i)中去了。同时易证中的底数分别两两互素。()()nnd,Qr,Qd,Qr,Q至于情形iii)和情形iv)显然被情形ii)所包含。到此AB、AB、两式仍必能表出方程()的既约解。于是必能表出既约数NN()()nn()()nn组。AB、AB、充要性如果都能表出既约数组同时易验知分别能使N()()nn()()nn方程()成立那么此时这两个既约数组就是方程()的既约解即方程()有解。NNN证毕nnnxy,z推论方程()有解的充要条件是以下两式:(n,)Nnnn,(一奇一偶)(ab),Aababab()()(),,a,b,(n),,pqpq,nnn,Bpq()()(),(二奇)p,q,(pq),,,()n,,,,能同时表出既约数组。N将推论、归纳到一起就是nnnxy,z推论方程()有解的充要条件是以下两式:(n,)Nnnn,(一奇一偶)(ab),Aababab,,((()))a,b,(n),,pqpq,nnn,()()()Bpq,(二奇)p,q,(pq),,,()n,,,,能同时表出既约数组N,,AB顺便指出,当时,由二式便可得到:n,(n)(n)推论方程xy,z()的既约解公式是以下二式:N,A,(aba,bab)(一奇一偶)(ab),a,b,(),,pqpq,,或Bpq,(二奇)p,q,(pq),,,(),,连环解定理方程,xyz,(),,解没有。Nxy,z推论方程没有解。Nnnnxy,z推论方程没有解。N推论设那么。xzNxz,,z,x,Qnnnnxy,z定义如果都是方程()()的解那么就把它(abc)(acd)们称做方程()的一对连环解。引理设一奇一偶一奇一偶那么(ab),,,,,(,,),a,b,方程组,,,ab,,ab,,,,,没有解。N证明假设方程组有解则由式变形后设Nma,,,(mm,Nm,m)bm,代入式得m(mm)a,bm(m,m)m,mm,m当时式左正右负相矛盾当时将式两边开平方得ma,m,mbm(m,m)m,m,Q根据推论。那么式左边是有理数右边是无理数相矛盾。故原方程组没有解。证毕Nnnnnxy,z定理方程()()没有连环解。N(xyz)(xzr)证明假设方程()有连环解则可设是它的一对连环NN,A解。根据推论中的式它们必可表示为(n)nnn一奇一偶(ab),)(a,b,()()()()xyzababab,,nnn(,,,,一奇一偶,(,,,),)()()()()xzr,,,,,,,,nnn=()()()abab,,对比、两式得方程组,,,ab,,ab,,,,,ab、、、,,根据引理上方程组没有解。此与的定义相矛盾。故方程()没有连环NN解。证毕nnnnnnnzxNzxzx,,,,()、推论设那么z,x与zx中至少有一个。N,nnnnnn证明假设不是这样那么可设z,x,y,Nzx,r,N。nnnnnn。xy,zxz,r()、()xyzxzr于是恰好构成方程()的一对连环解。此与定理中方程()N没有连环解相矛盾。故原结论成立。证毕N费尔玛方程没有N解nn那么。引理设mnNm、,,m,N,m,Nnnnxy,z定理方程()(没有解。n,)N,B证明假设不是这样那就是说方程()有解。根据定理中的式必有N(n),nn,()()pq,n,N,,,,,,p,q,(pq),(二奇),nn,()()pqn,N,,,,,,,再根据引理必有nn,()()pq,n,,vN,,(u,v,(uv),),nnpq()(),nuN,,,,()nnnnn,puv,,()nnnnnquv,,,nnn,uv,p,N,。,nnn,u,v,q,N,nnnnnn此与由推论中得到的与中至少有一个相矛盾。因此方,Nuvu,v程()没有解。证毕N(n)(n)(n)xy,z推论方程没有解。N现将有关内容概括一下:nnnxy,z)推论方程没有解。Nnnnxy,z)定理方程没有解。N(n)(n)(n)xy,z)推论方程没有解。N由此得到:nnnxy,z定理费尔玛方程没有解。(n,)N,,nn这就是说当自然数时任何一个自然数的次幂都不能分成两个自然数的次幂之和。n,参考文献高等教育出版社闵嗣鹤严士健《初等数论》梁宗臣《世界数学简史》【法】五个相似直角三角形与费尔玛大定理的证明(摘要)R通解Rt,ABCRt,ABCRt,ABCRt,ABCRt,ABC引理设、、、、的AAAAA,(,,,)一个锐角分别为、、、、、其度数都为如图那么它们的三边之长可以分别表示为以下五个三角数组:bb,,,,(),,aaGabcab,,,,() (),,bb,,()()aa,,,A,(abc),(dd,d)(d,),,rr,,Babcrr,,,() (),,,,,C,(abc),(aba,bab)(a,b,),,pqpq,,。Dabcpqpq,,,,() (),,,,b,,,,,,()证明首先对于设tg,则,()tg,()a,,bb,(),,tgtgbaa,,即cos,,sin,,,()a,b,,,bbatg()tg()aabb,,,,(),,aa,,。Gabcsincossin,cos,,,,,()(),,bb,,()()aa,,pqp,q,其次易知当C,(ab)Ga,b,或p,abq,a,bap,,,,,,时C,D,,当,d,时ACrBD,,,,,,当时bqqbpqabd,当或时。因此这五个直角三角形在上述变换条件下都相r,pq,ab,,,,,似(或全等)且它们的三边之长可以分别用三角数组表示。G、A、B、C、D定理方程nnnnxy,z()()的解公式是以下四式:RnnnAdddd,,,,,,()()() (),,rr,nnn,,Brr,,,()()() (),,,,,,nnnC,,((ab)(a,b)(ab))(,,a,b,),,pqpq,nnn,,Dpqpq,,,,()()() ()。,,,,,,(abc)(i,)证明由引理都是方程iiiXY,Z()nnn,,R的解即。所以对任意的都有。从而ab,c(,a)(,b),(,c)iiiiiiiiiinnnnnnnnn是方程()的任意R解。故。令,,,abc,(,a,b,c)iiiiiiiiiiiinnnnnnnnn就是xaybzcabcabc,,,,,,,,,,则即,,iiiiiiiiiiiiiiiinnnnxy,z方程()R()的解公式。证毕有N解的充要条件nnnnxy,zQ引理方程()()有解的充要条件是它有解Nnnnnxy,z引理方程()()有解的充要条件是它有既约解NNnnnnxy,zQ引理如果方程()()有解那么只有两类:Q(uvw)(uvw,Q)i)完全解Qii)可导出解(证明及三条结论同法略),,,,uvwQuvwQ(),,引理(同法略)(下接法的第页第行引理)EquilateralHyperbola’sGeneralSolutionAndFermat’sLastTheorem’sDemonstrationTengXihe(JiangheMiddleSchool,LushanCounty,HenanPC:)Abstract:BasingontherelationshipbetweenEquilateralHyperbolaandFermat’sEquationtomakesureifthereissomenecessaryrequestforpositiveintegralsolutioninsolvingFermat’sEquationThenaccordingtothenegativeconclusion,Fermat’sLastTheoremisproved,andthegoalofsystematicallycombiningFermat’sLastTheoremandPythagoreanTheoremisreachedQQKeywords:completesolutioncanreasonedsolutioninterlinkedsolution

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