平方根与算术平方根概念辨析【精品推荐-doc】
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平方根与算术平方根概念辨析
裴义明
平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下:
一、区别:
1、定义不同。
2平方根:一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方x,a
22根。例如，，2是4的平方根，，,2是4的平方根，即2和,2都是4的2,4(,2),4
平方根。
2算术平方根:一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做ax,a
2的算术平方根(特别规定:0的算术平方根是0)。例如，，正数2是4的算术平方根。2,4
2虽然，但,2不是正数，所以,2不是4的算术平方根。 (,2),4
2、表示方法不同。
,a,5平方根:一个非负数a的平方根记做。例如，5的平方根记做。
a5算术平方根:一个非负数a的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作。
3、个数不同。
平方根:一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是,4。
算术平方根:一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。
二、联系
1、二者之间存在着从属关系。
一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。
1111例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。 ,9339
2、二者被开方数的取值范围相同。
只有非负数才有平方根，负数没有平方根。
只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。
一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。
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三、典型例题
例1 求下列各数的平方根。
92(1)121 (2) (3)0 (4) (,5)25
2,11解:(1)因，故121的平方根是。 (,11),121
23939,,(2)因，故的平方根是。 ,,,,,255525,,
2(3)因，故0的平方根是0。 0,0
222(4)因，故的平方根是。 (,5),(,5)(,5),5评析:求数a的平方根，就是要把平方后等于a的数都找出来。正数的平方根有两个，
不要丢掉负的平方根。
例2 求下列各数的算术平方根。
64625(1)225( (2) (3)0.49 (4)81
2解:(1)因，故225的平方根是，取正的平方根，即225的算术平方(,15),225,15
根是15。
2648864864,,(2)因，故的算术平方根是，即。 ,,,,819819981,,
20.49,0.7(3)因，故0.49的算术平方根是0.7，即。0.7,0.49
2625,25625(4)因，而，所以的算术平方根是5。 5,25
评析:求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。
例3 下列说法是否正确,为什么, (1)5是25的平方根。 (2)25的平方根是5。
2解:(1)正确。因，所以5是25的平方根。 5,25
2(2)不正确。因都等于25，所以25的平方根是。 (,5),5
22评析:判断x是不是a的平方根，只需看是否等于a，若，那么x就是a的平xx,a
方根，求a的平方根，则需将所有平方后等于a的数全部找出来。
例4 下列说法正确的是( )
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2A. ,5是的算术平方根 (,5)
B. 81的平方根是 ,9
C. 2是,4的算术平方根
D. 9的算术平方根是 ,3
解:选B。
评析:解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才
有平方根和算术平方根，所以选项C错误;一个正数有两个平方根，其中正的平方根才叫
做算术平方根，所以选项A、D错误。
例5 求下列各式的值。
492(1),169 (2),64 (3) (4)(,4)144
,169,,13解:(1)
,64,,8(2)
497(3) ,14412
2(4) (,4),16,4
,aa评析:解这类题的关键是弄清三种符号的意义:表示a的平方根，表示a的算
,a术平方根，表示a的负的平方根。
例6 下列各式正确的是( )
22A. B. (,8),,8(,8),,8
22C. D. ,(,8),8(,8),8
解:选D
评析:解答此题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和表示方法。一个正数a的平
,a方根记为，它的结果是互为相反数的两个数，所以C错误。一个正数a的算术平方根a记为，它的结果是一个正数，所以A、B错误。
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