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高等数学第二章讲议.doc

高等数学第二章讲议

被爱的晨曦雨露
2019-06-17 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高等数学第二章讲议doc》,可适用于高等教育领域

高数讲义系列之二第二章极限与连续数列的极限、数列:按照某一规律排列的无穷多个数,叫无穷数列,记为{un}=u,u,u…un…,其中每一个数叫做数列的项,第n项un叫数列的通项。、观察一组数列,当项数n无限增大时,un是否无限趋近于一个常数①,,…n…该数列数值越来越趋近于,极限等于②,,,…()nn…该数列数值越来越趋近于,极限等于③,,,…nn…该数列数值越来越趋近于,极限等于④,,,…()n…该数列数值越来越趋近的数不唯一,极限不存在⑤,,,…n…该数列数值越来越趋近无穷大,极限不存在(或∞)、数列极限的定义:对于数列{un},当项数n趋近无穷大时(n→∞),若通项un无限接近于一个确定的常数A(un→A),则A是{un}的极限。记为:limun=A含义是:n→∞,un→A注意:①极限是一个常数,极限是A,并不表示取到了A,而是无限趋近于A。②极限不存在有两种情况:)无穷大)不唯一③常数的极限在任何情况下都等于常数本身。④若极限存在,则数列收敛,若极限不存在,则数列发散。、作业:习题(P):、函数的极限、函数极限与数列极限基本意思相同,但有两个区别:①函数极限变量是x不是n②x既可以趋近无穷大(x→∞),也可以趋近某个常数(x→x)、x→x极限定义:对于y=f(x),当自变量x从x两边无限趋近于x时(x→x),若对应的函数值f(x)无限接近于唯一的常数A(f(x)→A),则A是f(x)的极限。记为:limf(x)=A,含义是:x→x,f(x)→A、单侧极限:①左极限:当x从x左边无限趋近于x时(x→x),若f(x)→A,则A是f(x)左极限,记为f(x)②右极限:当x从x右边无限趋近于x时(x→x),若f(x)→A,则A是f(x)右极限记为f(x)结论一:x点极限存在的充要条件是f(x)=f(x)结论二:①求初等函数某点极限时,一般不用求左右极限。②求分段函数分段点极限时,一定要求左右极限。结论三:函数在某点有无极限与该点有无定义无关。、x→∞极限定义:对于y=f(x),或x→∞,f(x)→A,则A是f(x)的极限。记为:limf(x)=A含义是:x→∞,f(x)→A结论四、x→∞极限存在的充要条件是:x→∞极限与x→∞极限相等。、无穷小量与无穷大量①若x→x,f(x)→,或limf(x)=,则f(x)是无穷小量。②若x→x,f(x)→∞,或limf(x)=∞,则f(x)是无穷小量比如:、无穷小量与无穷大量的关系:在某个极限过程中:①若f(x)是无穷大量,则f(x)是无穷小量(即无穷大量的倒数一定是无穷小量)②若f(x)是无穷小量,且f(x)≠,则f(x)是无穷大量(即无穷小量的倒数不一定是无穷大量)作业:习题(P):、、、极限的运算法则、无穷小量的运算法则①有限个无穷小量的和(积)是无穷小量②无穷小量×有界变量=无穷小量、极限的运算法则①有限个函数的和(差)极限等于每一个函数极限的和(差)②有限个函数的积极限等于每一个函数极限的积③常数乘以函数的极限,常数不变,函数求极限。④函数商的极限等于每一个函数极限的商。结论五、求极限的方法:①代入法:直接代入计算函数值,若该值存在,此值一定是极限,绝对不会错。②对型,先因式分解(或有理化)消去零因子,再代入计算函数值。③若分子趋近,分母不趋近,极限是若分母趋近,分子不趋近,极限是∞。④对∞∞型,分子分母同除以最快的一项(不带系数)。⑤对∞∞,先通分或有理化化成型或∞∞型。⑥对型三角函数用第一个重要极限,对∞型用第二个重要极限。⑦使用无穷小量*有界量=无穷小量。⑧用等价无穷小量代替求极限。⑨用罗必塔法则求导求极限。作业:习题(P):、、两个重要极限、limsinx=(x→)特征:①型②分子(分母)是正弦、正切、反正弦、反正切函数③分子分母的变量部分相同。本极限的关键是型的三角函数,只要是型的三角函数,都可用该极限、lim(x)x=e(x→∞)特征:①∞型②底数有两项,其中一项是③底数另外一项与指数互为倒数本极限是∞型,其它条件不满足,可以配。作业:习题(P):、无穷小阶的比较一、设αβ同一过程中的两个无穷小量,若limαβ=A①A≠,称αβ为同阶无穷小量,记为β=o(α)②A=,称αβ为等阶无穷小量,记为α~β③A=,称α是比β高阶的无穷小量,记为β=O(α)④A=∞,称α是比β低阶的无穷小量。二、用等价无穷小量代替求极限当x→时,下面是等价无穷小量:x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(x)~excosx~x(x)k~kx注意:①只要是无穷小量,只要有上述等价函数,都可以代替,不一定x→②等价无穷小量只有在乘除时代替,在加减时不能代替。作业:习题(P):函数的连续性一、连续点、连续区间、连续函数、若f(x)的图形在x没有中断,则x是连续点。、若f(x)在a,b的每一点都连续,则a,b是连续区间,连续区间就是函数定义域。、若a,b是连续区间,则f(x)在a,b上是连续函数。二、改变量(增量)、自变量改变量(或增量):自变量x先取第一点x,后取第二点x,△x=xx或x=x△x、函数的改变量(增量):△y=f(x△x)f(x)三、f(x)在x连续的定义:定义一(有△x定义):当△x→,△y→,即△x→,f(x△x)f(x)→,则x连续。定义二(无△x定义):当x→x,f(x)→f(x),则x连续。四、判定x连续的方法:、设f(x)是初等函数,若x有定义,则x连续,即初等函数有定义的地方一定连续。、若x是分段函数分段点,当f(x)=f(x)=f(x),即三值相等时,x连续。五、闭区间上连续函数的性质:、若f(x)在a,b连续,则f(x)在a,b有界、若f(x)在a,b连续,则f(x)在a,b一定有最大值M和最小值m、(介值定理):若f(x)在a,b连续,则f(x)能取到最大值与最小值中间之间的一切值。、(零点定理):若f(x)在a,b连续,且f(a)*f(b)<,则在(a,b)之间至少存在一点ξ,使f(ξ)=。零点定理可以证明一元方程在某个区间内至少有一根。六、函数的间断点间断点也叫不连续点,判定x间断的方法:、设f(x)是初等函数,若x无定义,则x间断,即初等函数无定义的地方一定连续。、若x是分段函数分段点,当三值不完全相等时,x间断。七、间断点的分类若x是间断点,当f(x)与f(x)都存在时是第一类间断点,当f(x)与f(x)至少有一个不存在时是第二类间断点。、在第一类间断点中,当f(x)=f(x)时,x是可去间断点当f(x)≠f(x)时,x是跳跃间断点。、在第二类间断点中,当f(x)与f(x)至少有一个是无穷大,则x是无穷间断点当f(x)与f(x)至少有一个是不唯一,则x是振荡间断点作业:习题(P):、、、、、

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