【doc】具有饱和发生率的SIR模型的持久性和稳定性
具有饱和发生率的SIR模型的持久性和稳
定性
2008年第29卷第6期中北大学(自然科学版)Vo1.29No.62008
(总第122
期)JOURNALOFNORTHUNIVERSITYOFCH1NA(NATURALSCIENCEEDITION)(SumNo.122)
文章编号:1673—3193(2008)06—0479—07
具有饱和发生率的SIR模型的持久性和稳定性
. 王建军,张晋珠.,靳祯
(1.太原工业学院基础部,山西太原030008;2.中北大学理学院,山西太原030051)
摘要:研究了一类具有饱和发生率的虫媒传染病模型.确定了疾病是否流行的阈值
尺..如果R.?1,无
平衡点是全局渐近稳定的,疾病逐渐消失;如果R.>1,地方病平衡点是渐近稳定
的.疾病将流行最终导致地
方病产生.
关键词:SIR模型;饱和发生率;持久性;稳定性
中图分类号:O175.1文献标识码:A
AnalysisofPermanenceandStabilityforSIR
ModelwithSaturationIncidence
WANGJian—jun,ZHANGJin—zhu,.JINZhen
(1.Dept.ofBasicSciences,TaiyuanInstituteofTechnology.Taiyuan030008.China:
2.SchoolofScience,NorthUniversityofChina,Taiyuan030051.China) Abstract:ASIRvector—
borndiseasesmodelwithsaturationincidenceiSstudied.ThethresholdvalueR
isobtainedwhichdetermineswhetherthediseaseisepidemicornot.IfR0?1,thedisease—
free
equilibriumisglobalasymptoticallystable,andthediseasewilldieout.IfR>1,theepidemi
c
equilibriumisasymptoticallystable.andthediseasewillbepermanentandbringontheepide
micfinally.
Key
word
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s:SIRmodel;saturationincidence;permanence;stability
0引言
依靠媒介传播的传染病非常多,如疟疾,登革热等是以蚊子为媒介的虫媒传染性疾病.19l1年公共
卫生医生Ross博士首先利用微分方程对疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为进行了研究,其研究结果
显示,如果将蚊子的数量减少到一个临界值以下,疟疾的流行将会得到控制n."].1979年,Cook:考虑疾
病在蚊子体内具有潜伏期的情形.其建模思想为:不带病的媒介在与感染者接触时,感染者把病毒传给
媒介,而带病的媒介在与易感者接触时又把疾病传给易感者.假设不带病毒的媒介被感染后经过时间r才
有传染力,且假设媒介种群的数量足够大时,具有传染力的媒介在t时刻的数量与感染者在t—r时刻的数
量成比例.因此,在t时刻的疾病发生率为S(f),(—r)?.对这一模型的研究,已有很多好的结果.
当疾病流行时,易感者常常会采取保护措施以避免被蚊子叮咬,例如,住宿于设有空调或蚊隔的房
*
收稿日期:2007—12-06
基金项目:山西省自然科学基金资助项目(2007011019) 作者简介:王建军(1968一),男.副教授.主要从事泛函微分方程及应用研究 480中北大学(自然科学版)2008年第6期
间,便用蚊帐,出外时(特别是由黄昏至日出时)穿长袖衣服,使用驱蚊剂等.因此,May[7使用了更合理
的饱和发生率(f),其中体现了疾病流行时易感者采取保护措施的程度.
假设媒介和人群充分混合.本文研究一类具有饱和发生率(,一r)~SIR模型 fS一6一(,一r),(,),
1一卢(f—r)一.(,j一7(),
lR一71(f)一.R().
式中:S(,),(,),R(,)分别记为t时刻易感者,染病者,移出者的数量;为传染率系数;y染病者的恢
复率;,z,.分别
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示易感者,染病者,移出者的死亡率.这里,b,a,,,.,,y,r都为正常 数.不妨假设?min{,,}.
1预备知识
鉴于系统(1)的实际意义,假设其初值定义在Banach空间C+上, C十一{?c([,r,0],R):()一S(),讫()一(),()一R()),(2) 式中:够(O)>0,(0)>O(一1,2),R一{(,I,R)?R.:S?O,1>7o,R?0). 容易验证,?O时,系统(1)满足初时条件(2)的解是存在唯一的. 定义
R.一b1
.
1I)
系统(1)总有无病平衡点El=(,o,o).当Ro>l时,系统(1)还有地方病平衡点E+一(,I,
R),其中
s一一c一忐一?
引理1系统(1)满足初时条件(2)的解都是正的.
证明:设X一(,I,R)?R.,
F(X)一
F(X)
F,(X)
F.()
6一p—r)一?
卢—r)一.I(t)一),I(t)
),(f)一3R(f)
(4)
式中:F:C+一R.,并且F?C(R.),系统(1)可以表示为向量形式 艾一F(X),(5)
式中:X()一((),仇(),())?C+,僻(0)>0,5c|(O)>O,(一1,2). 可以验证,在方程(5)中当选取X()?C+使得,78一0,则F(X)1z?,(一,,).由文i(t)=O*Xt~C0123
献[9]中引理2知,当x()?C+,即(f)一X(f,x()),对t>O,方程(5)的所有解x(f)?R. iEt时刻的种群个体总数?(,)一S(f)+()+R(,),则N(,)一b一S(,)一2(,)一3R(,)?b一
厶
?(,),则存在T=T(e,N(0))>o,使得当t>T,对任意e>O都有?(f)?+e. ,l
厶
记一{(5,I,R)?尺+.:5++R?+,},容易得到
l
引理2集合是系统(1)在JR中的全局吸引子,正向不变集.
(总第122期)具有饱和发生率的SIR模型的持久性和稳定性(王建军等)481 2持久性
引理3c.考虑方程
"(f)一an(,一r)一bu(,),
式中:口,b,r>O且当一f?f?0时U()>O,则
a)如果a<b,~]lim"():=:0;
?
b)女口果a>6,~iJlim"(f)一+CxD.
…
L
引理4如果R.?l,则系统(1)的无病平衡点E===(,0,0)是全局吸引的. rI
证明:如果R.<1,可以选取充分小的正数e,使得
<2+y.(6)
由式(6)及引理3,根据比较定理司知,lim.. )一O,则对充分小的.>O,存在'一'()使得当?' 总有0<I(f)<e.由系统(1)的第1个方程,可以得到 S(,)?b一(p,+).s(z).
则当f一..时,(f)?辜,此时,又有s(f)?去+,.因此,当,一..时,5(,)一b.
如果R.一l,此时一b.因为(,)?6一(f),当初时易感者人数大于时,(f)总是单调递减
的.只要(f)的初值小于b,则5(,)--g)~Nd,于.这时(f)的变化有两种可能:
c)当一..时,.S(f)一且5(,)>;
d)存在丁,当>TIt,jS(,)一bKS(f)<. 如果C)成立,对系统(1)的第1个方程关于S从r到t-+-r积分,得 S(,+r)一S(r)一j'_(b一S("))du一』_pI(u—r)du?(,+r)一(r)一l(一(")一lp一?
JfJf1l—u,?,
b
一5?一一
b
一川"一?
因此
鱼
p点』I(u)du?一川"…?,
当f一?时,I(f)?L(0.?),日I(f)一0.
篙e一一+一每
482中北大学(自然科学版)2008年第6期
如果d)成立,定义泛函
当t>7+r时,
?一I(t)+(+y))
(,)一(f—r)一(.+),)(f—r)=
一
b
S()
+5()1+
a—
b
l
由于关于是增函数,由文献[8]的Lyapun.V—LaSa11e定理,有l—
imI(t)一0?又由系统(1)的第3个方 程可知,~i
卜+
lim
..
I(一0时,~-lim
..
R(一()_从而证明了R.?1~
卜+
lim
..
(S(),R))一('O'0)的充分条
件.引理4得证.
引理5如果R.>1,则存在正常数IT/(一1,2,3),当t充分大时,系统(1)的正解满足
S(f)?mt,
I()?m2,R(,)?m3.
证明:设(S(,),I(t),R(,))是系统(1)满足初始条件(2)的正解.
定义
(,)一(f)+(/12+y)I(u)d". 则
()l(1一[一j](z—z-).()
记11:一(R.一1)>o. 可以断言,存在to>0,当,?f.时,(,)?.如果?f.时,(f)?,则由系统(1)的第1个方
程可
知,当f?,.+r时,有
(,)一6一,(,一r)一(f)?
b—S(f)1一lS(t)一
b一(pl14-1)5(f),
即
5()?e—c十)f[5(.)+6j':e(,十)("一f.d"]?
注意到一2b
b
8Ijr/11
(1一去)一e_(,由式(8)有 可以选择丁>o,使得丢
)?[1一e
b(3R+I)
2/I1Ro(R.+1)'S,t?to+T1.
显然>,并且容易验证篙>.+y.由式(7),式(9)可得 (8)
(9)
(总第122期)具有饱和发生率的SIR模型的持久性和稳定性(王建军等)483
广*-1
(f)I?>』9l南一斋J(一r),?.+T1. 设i—min(,.+丁+f+)>O.事实上,当,?.+丁,有,()?.否则,存在丁?O,使得
一OE,r,0j
(,)?,t.+7?t?to+T+r+T,
I(t.+Tl+r+丁)一!,
(f.+丁+f+丁)?0.
但是由系统(1)的第2个方程可知,当t=t.+丁+r+丁,有 l(t?[一cy]>』9[一]>.,
与假设矛盾.因此,当f?,.+7'时,(,)?!.从而,由式(10)得到 (10)
肌)>|8[斋一]!>?丁
即当f一..时,(f)一...这与(f)?N+zI(.+y)?的有界性矛盾.因此,断言成立.
从而,当t充分大时,(,)的变化趋势只有两种可能:
e)I(f)?l;
f)I(t)关于,振动.
定义:一,e_..以下说明当t充分大时,(f)?.成立.在e)条件下,结论显然成立.若f)成 立.设t,tz满足
I(t1)一I(t2)=Il,
()<II.tl<t<t2.
如果t2?f+r,由于,(f)>一(:+),)I(t)和I(t)一I成立,当t1<<f.时,显然(f)?.. 如果t2?f+r,容易验证当,?Et,t1+r]时,,(f)?m2成立.Nt?It+f,t2],可以证明(f)?2.否
则.存在T>O,当t?f?,+r+7"时,(,)?,I(,+r+7)一.,且,(+r+丁)?0.但是,由系 统(1)的第2个方程可知,当t一+f+丁时,
(f)?[
[
5(,)
1+aS(f)(2+?
一
(+y)1iN2>0.一(2十)夕u'
与i(f+f+了)?0矛盾.因此,当t?Et,t2]时,()?z成立.由于区间[,,tz]选取的任意性(只需要
t,t充分大),可以说明当t充分大时,I(f)?"z.对f)也成立.
由以上讨论可以得知,m的选取是不依赖于系统(1)的正解,即当t充分大时,系统(1)的正解都
满足,(,)?2.
另一方面,已知I(f)?NM,由系统(1)的第1个方程可知,当t充分大时, (,)?6一(b--
1
)S(f),
则存在e.>..使得s(,)?一e:=.由系统(1)的第3个方程,得到R(,)?:一..gin5
得
证.
由引理2和引理5,根据文献ElO]中持久性定义,可以得到系统(1)的持久性结果.
定理1当R.>1时,系统(1)是持久的. 484中北大学(自然科学版)2008年第6期 3稳定性
由于系统(1)的动力学性态完全由其前两个方程决定,所以,以下只考虑系统(1)的
子系统
f=6一(f—r)一(f),
1一Ict--?,?.
系统(1lL)有无病平衡点(/1
1
,.)和正平衡点(s,,),其中s,Jr满足式(3). 设丘一(,J『)是系统(11)的任一平衡点,将系统(11)在应线性化,得到系统(11)的特征
方程为
det
++e—r
—
p—e—r+(+y)
==:0.(12)
g)如果R.<1,平衡点('0)是渐近稳定的; h)如果尺.1'平衡点(鲁'O)是线性中立稳定的; 如果R.>l,平衡点(,O)是不稳定的. 证明:在平衡点('0)处,特征方程(12)的一个特征根为一,其它特征根满足方程
_垒_
F)一,i一.+c+y一o.s
鱼鱼
如果尺0<l'且口p[A1<Nr=O时, 方程(13)的特征根彘<.,这时平l
衡点(去'0)是渐近稳定的.事实上,对任意r?0,方程(13)的特征根均具有负实部.否则,设一i(>o)
是方程(13)的特征根,则一定满足
鱼
+(+y)2一(—O.4
当R.<1时,方程(14)没有正实根.引理6g)成立.
鱼
如果R.一1,即与=z+7,容易验证—o是方程(13)的特征单根.设方程(13)有其它形如l十口一
—a+iw的特征根,满足F(+=i)一0,即
[a+(2+),)]+.一(2+),)e,(15)
则必须?O.如果a>O,式(15)成为矛盾方程?因此'('O)是线性中立稳定的. 如果风>1'F(O)<O,而F(+..)一+..?因此)至少有一个正根,所以('0)是不稳定的. 结合引理4和引理6,可以得到系统(1)无病平衡点的稳定性结果. (总第122期)具有饱和发生率的SIR模型的持久性和稳定性(王建军等)485 即
d.et
+(1一e
1,lJ=U.Lbl,c嘉一忐—c+y打+c:+y)1
.+Icc一+/*1+c专R0=
e[(+)+(2+y)1].(17)
容易验证,r一0时,方程(17)的特征根都具有负实部.
设=i(?>0)是方程(17)的特征根,分离实部和虚部可以得到
+[十(1一(+y)(+y)c.s(+in(18)
+(+y)+()2(1一去)]一(.+),)?Os一.+),)Si….(19)
方程(19),(20)满足
[十c一去]+
c一忐+[c一去+2]-o.
当R.>1时,方程(20)没有正实根.因此,对所有r?0,正病平衡点(s,I)是渐近稳定
的,即系
统(1)的正平衡点E+是渐近稳定的.
注:定理3说明.系统(1)的局部稳定性不依赖于时滞f,只由R.的值决定.
参考文献:
[1]陆征一,周义仓.数学生物学进展[M].北京:科学出版社,2006.
[2]RossR.ThepreventionofMalaria[M].London:Marray,1911.
EJ]马知恩,周义仓,王稳地.等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版
社,2004.
[4]CookeK.Stabilityanalysisforavectordiseasemodel[J].RockyMountainJournalofMathematics,1979(9):31—42.
Is]MaWB,SongM,TakeuchiY.GlobalstabilityofanSIRepidemicmodelwithtimedelay[J].AppliedMathematics
Letters,2004(17):114卜1l45.
[6]JinZ,MazE,HanMA.GlobalstabilityofanSIRSepidemicmodelwithdelays[j].ActaMathematicaScientia,
2006,26B(2):291—306.
[7]AndersonRM,MayRM.Regulationandstabilityofhost—
parasitepopulationinteractions[J].JournalofAnimal
Ecology,1978(47):219-267.
[8]KuangY.Delaydifferentialequationswithapplicationsinpopulationdynamics[M].NewYork:AcademicPress,
1993.
[9]YangX,ChenLS,ChenJF.Permanenceandpositiveperiodicsolutionforthesinglespeciesnonautonomous
delaydiffusivemodel[J].Computer&MathematicswithApplications,1996(32):109—116.
[10]XiaoYN?ChenIS.Modelingandanalysisofapredator—
preymodelwithdiseaseinthepreyEJ].Mathematical
Biosciences,2001(17):59—82.