甘肃省2013年第二次高考诊断试卷
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={0，1}，B={
}，则 A
B=
A．{0，1} B．{0，1，一1}
C．{0，1，一1，
} D．{0，l，一1，一
}
2．若复数
，则z为
A．i B．一i C．2i D．1+i
3．显示屏有一排7个小孔可显示0或l，若每次显示其中3个小孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有
A．10 B．48 C．60 D．80
4．已知椭圆
的左焦点F1，右顶点A，上顶点∠F1BA=90°，则椭圆的离心率是
A．
B．
C．
D．
5．设变量x，y满足
，则戈．4+2y的最大值和最小值分别为
A．1，-1 B．2，一2 C．1，一2 D．2，一1
6．执行右图所示的程序，输出的结果为48，对判断框中应填人的条件为
A．i≥4?
B．i>4?
C．i≥6?
D．i>6?
7．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸，可
得这个几何体的体积是
A．
B．
C．
D．
8．各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则
这个球的
表
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面积是
A．16
B．20
C．24
D．32
9．已知函数y=2sin2（
则函数的最小正周期
T和它的图象的一条对称轴方程是
A．T=2
，一条对称轴方程为
B．T=2
，一条对称轴方程为
C．T=
，一条对称轴方程为
D．T=
，一条对称轴方程为
10．已知点F是双曲线
的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是
A．（1，+∞） B．（1，2） C．（1，1+
） D．（2，1+
）
11．已知函数
和
在[一2，2]的图象如下图所示，给出下列四个命题：
①方程
有且仅有6个根；②方程
有且仅有3个根；
③方程
有且仅有5个根；④方程
有且仅有4个根．
其中正确的命题个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
12．已知定义域为R的函数
满足
，且当x>2时，
单调递增，如果
且（
）（
）<0，则下列说法正确的是
A．
的值为正数 B．
的值为负数
C．
的值正负不能确定 D．
的值一定为零
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题。每个试题考生都必须做答．第22题一第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若点P是曲线
任意一点，则点P到直线y=x-2的最小值为 .
14．有3人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，则至少有2人分配到同一房间的概率是 .
15．设t为实数，
是向量，若向量2t
与向量
的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 .
16．设函数
表示不超过x的最大整数，则函数y=[
）]的值域集合 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列{
}数的前n项和
，数列{
}为等比数列，且满足
，
（I）求数列{
}，{
}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
}的前n项和．
18．（本小题满分12分）
某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
（I）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
（Ⅱ）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为
，求随机变量
的变分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为
13，M、N分别是以、，BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8．
（I）求证：直线MN∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线MN与平面ABCD所成的角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
抛物线
的准线的方程为x=-2，该抛物线上的每个点到准线x=-2的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线
相切的圆，
（I）求定点N的坐标；
（Ⅱ）是否存在一条直线
同时满足下列条件：
①
分别与直线
交于A、B两点，且AB中点为E（4，1）；
②
被圆N截得的弦长为2．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（I）若函数在区间
上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当
，不等式
恒成立，求实数k的取值范围·
（Ⅲ）求证：[（n+1）!]2>（n+1）·en-2（n∈N*）．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做。则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 曰
已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，以BC为直
径的⊙D交AB 点D，连接DO并延长交AC的延长线于
点E，⊙D的切线DF’交AC于点F
（I）求证：AF=CF；
（Ⅱ）若ED=4，sin∠E=
，求CE的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线
的参数方程是
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
（I）求直线
的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线
与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设命题P：关于x的不等式x+
>1的解集为R，命题Q：函数y=lg（
）的定义域为R．如果P且Q为假命题，P或Q为真命题，求实数a的取值范围．
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