不定积分教案

不定积分 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 第三章 一元函数积分学 一、 不定积分 ,一,、 不定积分的概念 已知一个函数的导数(或微分)，求此函数。 ,例如:已知则 s,f(t)v,f(t) ,反之，若已知，则这是积分学的基本问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。 v,f(t)s,? 1、原函数的定义: ,若在某区间上，则在某区间上叫做的原函数。 F(x),f(x)F(x)f(x)例如:是的原函数。 F(x),sinxf(x),cosx 32f(x),3xF(x),x又如是的原函数。 若有原函数，则一共有几个, f(x)F(x) , ？F(x),f(x) 显而易见 ,[F(x)，1],f(x) ,[F(x)，100],f(x) ,[F(x)，c],f(x) 其中C為任意的常数 即函数族:F(x)，c是f(x)的原函数。 一个函数若有原函数就必有无穷多个，它们之间相差一个常数。 2、不定积分的定义 f(x)dxf(x)所有原函数的全体，叫做f(x)的不定积分。记为 ,其中叫做积分号，f(x)叫被积函数，f(x)dx叫被积表达式，x叫积分变量; , f(x)dx,F(x)，c设f(x)的原函数F(x)，则其中c是任意常数(c叫做积分常数)。 , cosxdx,sinx，c例如: , 233xdx,x，c , 2xdx例31,1、 , 1 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 132,解: ？(x),x3 123 ？xdx,x，c,3f 1 例31,2、 dx2,1，x 1,解: x,？[(arctan)]2，x1 1 ？dx,arctanx，c2,1，x O-2 -1 1 x3、不定积分的几何意义 ,设的原函数， f(x)F(x)F(x),f(x) ,f(x)dx,F(x)，c [F(x)，c],f(x), 即沿y轴上下移动的全部积分曲线所形成的积分族。 ,二,、 不定积分的性质 kf(x)dx,kf(x)dx? (k为常数) ,, (f(x),g(x))dx,f(x)dx,g(x)dx? ,,, d,d(f(x)dx),f(x)dx(f(x)dx),f(x)? 或或 (f(x)dx),f(x),,,dx ,F(x)dx,F(x)，cdF(x),F(x)，c? ,, ,三,、 基本积分公式 n，1xndx,x，Cxdx,，C1、 2、 ,,1n， 1dxxx3、 4、 ,ln|x|，Cadx,a，C,,lnxaxxedx,e，Csinxdx,,cosx，C5、 6、 ,, 2cosxdx,sinx，Csecxdx,tanx，C7、 8、 ,, 2cscxdx,,cotx，Csecxtanxdx,secx，C9、 10、 ,, 11xcscxcotxdx,,cscx，C11、 12、 dx,arctan，C,22,aaa，x 1xdx,arcsin，C13、 ,22aa,x 2 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 131，121222xdx,x，c例31,3、 x，c,xdx,,,131，2 44111x,，x2dx,dx,例31,4、 (x,1，)dx22,,2,11，x，x1，x13 ,x,x，arctanx，c3 x1，cosx112例31,5、 cosdx,dx,dx，cosxdx,,,,2222 11 ,x，sinx，c22 222(secx,1)dx,secxdx,dx,tanxdx,tanx,x，c例31,6、 ,,,, ,四,、 换元积分法 1、第一换元积分法(凑微分法) 2(x，1)dx例31,7、 , 12232(x，1)dx,(x，2x，1)dx解法一: ,x，x，x，c,,3 12223(x，1)dx,(x，1)d(x，1)u,x，1udu解法二: ,u，c1,,,3 111133232 () ,(x，1)，c,(x，3x，3x，1)，c,x，x，x，cc,c，1113333 10(x，1)dx 对于解法一展开很繁，而解法二很简捷 , 11(x，1)1010,(x，1)d(x，1)(x，1)dx,，c ,,11 sin2xdx例31,8、 , 111sin2xdx解法一: ,sin2xd(2x),d(,cos2x),,cos2x，c,,,222 2,2sinx.cosxdx,2sinx.d(sinx)sin2xdx解法二: ,sinx，c,,, 2,2sinx.cosxdx,,2cosx.d(cosx)sin2xdx,,2d(cosx)解法三: ,,,,2 ,,cosx，c ,(x),u第一换元积分法(令) ,f,[(x)],(x)dx,F[,(x)]，cf(u)F(u)u,,(x)设有原函数，且可导，则有换元公式 , 3 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 dx1d(2x，1)1du11例31,9、 ,令u,2x，1,ln|u|，c,ln|2x，1|，c,,,2x，122x，122u2 2xx,3dx例31,10、 , 2，则 解:令u,x,3du,2xdx 33111122222xx,3dx,(x,3)，c,udu,u，c ,,233 22211xx2xxedx例31,11、，c ,ed(x),e,,22 d(cosx)sinxtanxdx例31,12、 (公式推导) ,,ln|cosx|，c,dx,,,,,cosxcosx cosxd(sinx)cotxdx同理 ,ln|sinx|，c,dx,,,,sinxsinx 1111例31,13、 (公式推导) dx,(,)dx22,,,2ax,ax，axa dx,adx，a1()()1,, [(],[ln|x,a|,ln|x，a|]，c,,ax,ax，a22a 1x,a ,ln||，c2ax，a 1111同理 dx,(，)dx22,,,2aa，xa,xax 11a，x ,[ln|a，x|,ln|a,x|]，c,ln||，c2aa,x2a d(cosx)d(cosx)sin1xcscxdx例31,14、,,, (公式推导) ,dx,dx,222,,,,sinxsin1,cosxcosx,1x 21(cosx,1)1cosx,11,cosx,ln||，c ,ln||，c,ln||，c22cosx,12cosx，1sinx ,ln|cscx,cotx|，c 1111cscxdx解法二: ,dx,dx,dx,,,,xxxxsinx222sincostancos2222 xx2xdsec()d(tan)x22,, ,ln|tan|，c,,xx2tantan22 xx2sin2sin1,cosxx22cscx,cotx,,,tan ,xxx2sinxcos2sincos222 4 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 ,由于 cosx,sin(x，)2 利用上述结果可证 ,d(x，)1,,2secxdx ,,dx,ln|csc(x，),cot(x，)|，c,,,,cosx22sin(x，)2 ,ln|secx，tanx|，c 12,111x3332,(x,1)d(x,1),dx例31,15、 dx,,,3333x,1,1x 1,，13221(x,1)3 ,，C,x,1，c1331,，2 dx1x，1d(x，1),arctan，C,例31,16、 ,2,22x，2x，4(x，1)，(3)332、第二换元积分法:令 x,,(t) 22a,xdx例31,17: (公式推导) , 解:令 x,asintdx,acostdt 2a2222a,xdx,,acostdtacost.acostdt,(1，cos2t)dt ,,,,222a1a,(t，sin2t)，C,(t，sint.cost)，C 222 2222axxa,xaxx22,(arcsin，)，C,arcsin，a,x)，C 2aaa2a2 dx例31,18、 (公式推导) ,22x，a 2x,atant解:令 dx,asectdt 5 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 22sectdtasectdtdx,,sectdt ,ln|tant，sect|，C,1,,,,222sectx，aatant，1 22xx，a22,ln|，|，C ,ln|x，x，a|,lna，C11aa 22 ,ln|x，x，a|，C dx例31,19、 (公式推导) ,22x,a 解:令 x,asectdx,asect.tantdt asect.tantdtdx,sectdt,ln|sect，tant|，C ,1,,,22atantx,a 22xx,a22,ln|，|，C ,ln|x，x,a|，C1aa 3xdx例31,20: 3,22(1,x) 解:令 x,sintdx,costdt 323sin.cos(1cos)sin.ttdt,ttdtd(,cost)xdx,, ,,sintdt23,3,,2,,coscosttcost22(1,x) 2211,x2,，1,x，C ,，cost，C,，C22cost1,x1,x解法二:用凑微分法 22231,xd(1,x)11,x,1xdx2,,d(1,x) 33,,,322222222(1,x)(1,x)(1,x) 1311,,,11222222222,[(1,x),(1,x)]d(1,x),[2(1,x)，2(1,x)]，C ,22 221,x2,,x，，C1 ,，C221,x1,x 补充积分公式: tanxdx,,ln|cosx|，C14、 , 6 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 15、cotxdx,ln|sinx|，C , 16、secxdx,ln|secx，tanx|，C, x17、 cscxdx,ln|cscx,cotx|，C,ln|tan|，C,2 dx1x,a18、 ,ln||，C,222ax，ax,a dx2219、 ,ln|x，x,a|，C,22x,a 2axx222220、 a,xdx,，a,x，Carcsin,a22 dx例31,21 求( ,2xx,1 解一 令 , 则 ( x,secudx,secutanudu secutanudu1dx,,du ( ,arccos，C,u，C,,,22xxx,1secusecu,1 xdx222du,解二:令 ,u , 则，即(而， x,u，1xdx,udux,12x,1 dudxxdxudu,,, 所以 ,,2,2,222(u，1)u1，uxx,1xx,1 2,( ,arctanx,1，Carctanu，C 11解三: 令 , 则 x,dx,,du2uu du1dxdx,, ,( ,arccos，C,arccosu，C,,,22x1xx,11,u2x1,2x 由上可见，计算积分问题，采用何种变换取决于对被积函数的分析，着眼点不同就有 不同的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ( dx例31,22、 ,216x，8x，5 7 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 1d(4x，1)11dt2,4x，1,t ,ln|t，t，4|，C,,222444t，2(4x，1)，4 12 ,ln|4x，1，16x，8x，5|，C4 ，5x1(2,2x),12dxdx,,例31,23、 ,,2223，2,3，2x,xxx 21d(3，2x,x)d(x,1)x,12,,，6 ,,3，2x,x，6arcsin，C,,22223，2x,x4,(x,1) ,五,、 分部积分法 ,,,,或, (u.v),uv，uvd(u.v),vdu，udv,,,,或, uv,(u.v),uvudv,d(u.v),vduudv,d(u.v),vdu ,,, udv,u.v,vdu即: ,, xxxxxxxedx,xde,xe,edx,xe,e，C例31,24、 ,,, xcosxdx,xd(sinx)例31,25、,x.sinx,sinxdx ,x.sinx，cosx，C,,, 1例31,26、 xcos2xdx,xd(sin2x),,2 1111 ,x.sin2x,sin2xdx,x.sin2x，cos2x，C,2224 1lnxdx,例31,27、 xlnx,x.dx,xlnx,x，C,,x 2111122x.lnxdx,例31,28、 lnxd(x),xlnx,x.dx,,,222x1122 ,xlnx,x，C24 2xx2xx2x2xxe,e2xdx,xe,2xd(e)xedx,xde,例31,29、 ,,,, 2x2xxx2xxx,(x,2x，2)e，C,xe,2[xe,edx],xe,2xe，2e，C , xxxxesinxdx,sinxd(e),esinx,ecosxdx例31,30、 ,,,xxxxx,esinx,cosxd(e),esinx,e.cosx,esinx.dx ,,xxx2esinxdx,esinx,ecosx , 8 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 1xx esinxdx,e(sinx,cosx)，C,2 dx,31、 例31arcsinxdx,x.arcsinx,x,,21,x 21d(1,x)2 ,x.arcsinx，,x.arcsinx，1,x，C,221,x 12例31,32、x.arctanxdx ,arctanxd(x),,2 22x11xdx111，,122 xxdx,x.arctanx,,.arctan,,2,222221，x1，x 2x，111112 ,.arctanx,x，C,x.arctanx,x，arctanx，C22222 2xdx2222a，xdx,x.a，x,x.例31,33、 ,,222x，a 222，,xaa22,，, x.axdx,22，xa dx22222a，xdx，a ,x.a，x,,,22x，a 2222222a，xdx，aln(x，a，x) ,x.a，x,, 22222222a，xdx,x.a，x ，aln(x，a，x), 2ax222222？a，xdx，ln(x，a，x) ,.a，x,22 ,六,、 有理函数的积分 P(x)n,R(x)分子和分母都是多项式 Q(x)m dx1、形如 (k,1,2,3,？？) k,(x,a) 1,C(k1)，,k,1,(1k)(xa),, ,, ,ln|x,a|，C(k,1), 9 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 ,2，2dxdxxdxx例31,34、,，2 ,dx222,,,,x,2(x,2)(,2)(x,2)x 2 ,ln|x,2|,，Cx,2 332,8，8,，，x(x2)(x2x4)8xdx,,，dx[]dx例31,35、 ,,,x,2,2,,xx2x2 3x822,，x，4x，8ln|x,2|，C,，，， (x2x4)dx,3,x2 ，MxN2、形如dx 2,，，xpxq 4411,2dx,36、 例31,dxdx,2,,322，3x3222，x，()x22 222x,2arctanx，C,arctan，C 3333 22 ，5x例31,37、 dx2,2,,1xx 22x,x,1,(2x，1)(x,1)解: x，5AB,， 22x，1x,12x,x,1 x，5,A(x,1)，B(2x，1),Ax,A，2Bx，B,(A，2B)x，B,A 比较同次项系数和常数项得: A，2B,1,B,2 3B,6A,,3,B,A,5, x，5,32？,， 22x，1x,12x,x,1 ，5,323x dx,dx，dx,,ln|2x，1|，2ln|x,1|，C2,,,2,,12x，1x,12xx x，5,A(x,1)，B(2x，1)另解: B,2令时，则 x,16,3B 193x,,令时，则 ,,AA,,3222 10 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 sinx例31,38、至少用三种方法求不定积分; dx,sinx，cosx sinxsinππx解一 (令，则，) dx,dx,t,x，,txdx,dt,,πsinx，cosx442sin(，)x4 πtsin(,)1tt1sin,cos4 tt,(1,cott)dt,d,d,,,t22sint2sin 1ππ1,[x，,lnsin(x，)]，C( ,(t,lnsint)，C2442 解二 2sinxsinx，cosxsinx，，sinx，sinxcosx,dx,dxdx ,,,，，，，sinx，cosxsinx，cosx1，2sinxcosxsinx，cosx 1,cos2xsin2x，11，sin2x,cos2x22,dx,dx ,,1，sin2x21，sin2x 11d1，sin2x，， ,x, ,241，sin2x 1cos2x11,(1,)dx ( ，，,x,ln1，sin2x，C,21，sin2x24解三 2sinxcosx,sinxsinx，，sinxcosx,sinx,dx,dxdx ,22,,，，，，cosx，sinxcosx,sinxcosx,sinxsinx，cosx sin2x1,cos2x,1cos2x，sin2x,122,dx ,dx,,cos2x2cos2x 1,(1，tan2x,sec2x)dx,2 111 ，，，，,x，tan2xd2x,sec2xd2x,,244 111( ,x,lncos2x,lnsec2x，tan2x，C244 小结: 1、 求不定积分的方法: 11 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 f(x)dx基本积分公式F(x)，C , (已知) f(x)dx恒等变形g(x)dx ,, (未知) (已知) 第一换元积分法,f(x)dxf(,(x)),(x)dx,f(u)du ,,,可导u,(x), (未知) 第二换元积分法,f(x)dxf(,(u)),(u)du,f(u)du ,,,可导x,(u), ,(单调可导) (未知) ,(u),0f(x)dx分部积分法　uv,vdu ,,2、在凑微分法中常用 1 f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b),,a 1nn,1nn f(ax)xdx,f(ax)d(ax),,an 1xxxx f(e)edx,f(e)d(e),,an x222f(1，x)dx,f(1，x)d(1，x) ,,21，x 1 f(lnx)dx,f(lnx)d(lnx),,x f(cosx)sinxdx,,f(cosx)d(cosx) ,, f(sinx)cosxdx,f(sinx)d(sinx) ,, 1 f(tanx)dx,f(tanx)d(tanx)2,,cosx 1f(arcsinx)dx,f(arcsinx)d(arcsinx) ,,21,x 3、熟记下列常用的微分关系式 1 dx,d(ax，b)a x2dx,d(1，x) 21，x 12 一元函数积分学 第 页 共 37 页 2010成考高等数学 主讲教师:顾伟超 xxedx,d(e) x2dx,,d(1,x) 21,x 1 dx,d(ln|x|)x 12 xdx,dx2 1kk，1xdx,d(ax，b) (k，1)a cosxdx,d(sinx) sinxdx,,d(cosx)4、分部积分法 xP(x)sinxdxP(x)cosxdxP(x)edx?、、、 nnn,,, xdv,edx(sinxdx、cosxdx)u,P(x) n P(x)arccosxdxP(x)arctanxdxP(x)lnxdxP(x)arcsinxdx?、、、、 nnnn,,,, arctanx(、、) arccosxu,lnxarcsinxdv,P(x)dx n xxecosxdxesinxdx?、、 ,, xesinxdx可以任意设 , 5、换元积分法 22?、 f(a,x)x,asint 22x,atant?、 f(a，x) 22x,asect?、 f(x,a) 13 一元函数积分学 第 页 共 37 页