流体有限元-椭圆形方程

流体有限元-椭圆形方程 第二章 有限元的基础理论 ?1基本概念 这一节介绍泛函分析的一些基本知识。 1)线性空间 V定义1,线性空间， :设 是一个非空的集合，对集合中 的元素定义了两种运算 V加法:，在 中都存在一个元素与它们对应，称为" ,uvV uv+它们的和，记作 ; V" vV数乘: 和任意的实数 ，在 中都存在一个元素a 与它们对应，称为这两者的数乘，记作 。 av 加法满足下列规则: uvvu+=+(a)交换律: uvwuvw++=++(b)结合律: ()() Vq" vV(c)在 中存在惟一的一个元素 ，使得 ，都有 V 。这个元素称为 中的零元素 vv+=q V" vV(d)，在 中存在惟一一个元素，记作 ，使得 -v vvq+-= 。这个元素称为 的负元素，并可以定义 v() uvuv-=+-减法 () 数乘满足下列规则: (a)对加法的分配律: aaauvuv+=+() (b)对数乘的分配律: abab+=+vvv() (c)结合律:ababvv= ()() " vV1vv?(d)，都有 V此时，称集合 是一个线性空间。 例: n, 维(实)向量空间 Rn R(注)实数集 作为一维向量空间，也是线性空间。 FW, 全体实函数的集合 () 0CWCW, 全体连续函数的集合 ，或记作 ()() mCW, 全体有直到 阶连续(偏)导数函数的集合 m() ?CW, 全体有任意阶连续(偏)导数函数的集合 () PW, 全体(实系数)多项式的集合 () kPW, 次数不超过 次的全体(实系数)多项式的集合 ()k W(注) 表示函数的定义域。 线性空间是向量空间的推广。因此，向量空间的许多概念都可以 推广过来，例如: , 元素的线性组合:设一组元素 ，一组实数 vvvV,,,LÎ123 aaa,,,LÎR ，则称 123 aaavvv+++L 112222 为这组元素的线性组合。 , 线性相关:设 ，若存在一组不全为零的实数 vvvV,,,LÎ123 ，使得 aaa,,,LÎR123 aaaqvvv+++=L112222 , 线性无关:设 ，若只有当 全为vvvV,,,LÎaaa,,,L123123 零时才有 aaaqvvv+++=L112222 VV 中存在一组元素 ，使得 中, 基:若在vvvV,,,LÎ123 任何一个元素都可以表示成它们的线性组合，则称这组元 V素是空间 的一组基。 , 空间的维数:设 是空间的一组基，若这组vvvV,,,LÎ123 元素只有有限多个，即 ，则空vvvv,,,,L123n V间 称为有限维空间，这组元素的个数 n dimVn=称作空间的维数，记作 ;若这组 V元素有无穷多个，则空间 称为无限维空间， dimV= 记作 。 (注)空间可以有多组基，但空间的维数与基的选择无关。 , 子空间(线性子空间) V, 由一组元素张成的子空间:设 vvvV,,,LÎ ，则空间 123 的子集合 是这组元素的线性组合 Uuu= }{ V构成空间 的子空间，称作由元素 vvv,,,L 张成的子空间。 123 例: nn, 维(实)向量空间 是有限维空间， RdimRn=n k, 次数不超过 次的全体(实系数)多项式的集合 PR 是()k 有限维空间， dim1Pk=+k m, 函数集合 FW 、CW()都是无限维m= 0,1,2,,L()() 空间 , 多项式集合 PW 是无限维空间 () 定义2,乘积空间， :设 和 是两个线性空间，定义VV12 集合 ，并对其中的元素规VvvvVvV= , , 挝(){}121122 定加法和数乘运算 uuvvuvuv , , + , +=+加法: ()()()12121122 aaavvvv , , =数乘: ()()1212 V则 构成一个线性空间，称作 和 的乘积空间，记作 VV12 。 VVV= 12 (注)可以定义多个空间的乘积空间。 一个空间自己与自己的乘积空间可用幂来表示，例如 3 RRRR=创 n所以，维(实)向量空间 R 又可以解释为实数空间的乘积空间。 n 2)距离空间 V定义3,距离空间， :设 是一个非空的集合，对集合中 的元素定义了距离: ，都存在一个实数与它们对应，称为它们的距离，记" ,uvV 作 duv, ，并满足: () (a)对称性:duvdvu,,= ()() (b)正定性:duv,0? ，当且仅当 时 duv,0= uv=()() (c)三角不等式:duwduvdvw,,,? ()()() V则称集合 是一个距离空间。 例: Rdxyxy,=-, 实数集 ，定义距离 () n, 向量空间 ，定义距离 R n2 ddxyxyxy,,==- ()()å2ii=1i n ddxyxyxy,,==-()()å1ii=1i ddxyxyxy,,max==-()()?ii1,in 1 np骣p?ç? ， ddxyxyxy,,1,p ==-()()çå?piiç?ç桫=i1 (注)在同一集合上定义不同的距离，则构成不同的距离空间。 CW, 连续函数集合 ，定义距离 () dfgfxgx,max=-()()()x蜽 2 dfgdfgfxgxdx,,==-()()()()ò2 W 引入距离，可为开展各种分析定义一个最基本的概念——极限。 V定义4,极限， :设 vvv,,,L 是距离空间 中的一{}123 vVÎlim,0dvv=个元素序列，若存在元素 ，使得 ，则称这()ii 个元素序列收敛，而元素 称为这个序列的极限。 v 性质1 :收敛序列的极限是惟一的。 Vvvv,,,L定义5,Cauchy序列， :设 是距离空间 中{}123 N"> 0,的一个元素序列，若 ，都存在自然数 ，使得 dvv,<, ，都有 ，则称这个元素序列是一个"> ,mnN()mn Cauchy序列。 性质2 :收敛序列一定是Cauchy序列。 对于实数集，性质2反过来也是成立的，即:Cauchy序列一定 是收敛序列。但是在一般的距离空间上就不一定了。例如 dxyxy,=-, 有理数集 ，仍定义距离 ，序列 Q() 1.4,1.41,1.414,1.4142,L {} 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592,L {} 都是Cauchy序列。作为实数序列，它们也都是收敛序列， 极限分别是 和 。但是这两个极限值都不是有理数，,2 所以作为有理数序列，它们都没有极限。 轾轾-1,1, 区间 上一元连续函数的集合 ，定义距离 C-1,1()犏犏臌臌 12 dfgdfgfxgxdx,,==- ()()()()ò2-1 考虑连续函数序列 fff,,,L ，其中 {}123 ìï1ï--?-1 , 1xïïnïïïï1ï fxnxx= , ()ínïnïïïï1ï1 , 1< xïïnïî 可以验证，这个函数序列是一个Cauchy序列。 再考虑不连续的函数 ìï--?1 , 10xïïïïïfxx==0 , 0 í()ïïïïï1 , 01< xïî 经过计算，知 110222nfxfxdxnxdxnxdx-=++-11()()()()1蝌 n--10n 12n=-21nxdx ()ò0 23轾骣骣11112犏2鼢珑鼢=-+=2nn珑犏鼢珑鼢珑nnnn33桫桫犏臌 2所以 dff==lim,lim0()2nnnn3 轾但是由于函数 ，所以上述函数序列没有极限。 fC?1,1()犏臌 定义6,完备性， :如果距离空间中的任何Cauchy序列都是熟练的，则称这个空间是完备的。 在完备的距离空间中，Cauchy序列与收敛序列是等价的。而上面的两个例子都是不完备的距离空间。不完备的原因不是因为Cauchy序列没有极限，而是极限跑到空间以外。也就是说，只是在空间内没有极限。 如果对不完备的距离空间加以扩充，将所有Cauchy序列的极限都包括进来(如果这个极限跑到空间以外的话)，可以得到完备的距离空间。这个过程称为空间的完备化。 例如，有理数集的完备化空间就是实数集。 连续函数空间的完备化比较复杂，需要将通常意义下的积分扩展成广义的积分——Lebesgue积分(过程略)，仍用积分号来表示。通常意义下的积分所具有的许多性质，Lebesgue积分也都具有，例如 轾ababfxgxdxfxdxgxdx+=+线性: ()()()()蝌 犏臌WWW 可加性: fxdxfxdxfxdx=+()()()蝌 W+WWW1212 绝对值不等式: fxdxfxdx?()()蝌 WW 对于连续函数来说，其Lebesgue积分还原成通常意义下的积分。 如果一个函数(不一定是连续函数)的Lebesgue积分存在并且是有限值，则称这个函数是Lebesgue可积的。 我们约定，下面出现的积分，都是指Lebesgue积分。 定义6,-空间， :在函数集合 L2 2 ffx 在其定义域Ω上是Lebesgue可积的 ()}{ 上定义距离 2 dfgdfgfxgxdx,,==-()()()()ò2 W 则构成距离空间，称作(Lebesgue)平方可积(函数)空间，简称为 -空间，记作 LW 。 L()22 性质3 :-空间是完备的距离空间，它就是由连续函数空间L2 完备化得到的。 对本课程而言，讨论空间完备性的意义在于考察有限元近似的收敛性。随着求解区域上的剖分不断细化，可以得到一系列有限元近似，构成一个函数序列。如果这个函数序列的极限跑到了空间以外，有限元近似到底逼近什么就无从谈起。如果能保证这个函数序列在空间内有极限，就可以讨论这个极限是不是原方程的精确解(收敛性)，有限元近似与这个极限的距离有多大(误差估计)，等等。所以，空间的完备性是有限元理论中的一个基本概念。 AV定义7,稠密性， :设 是距离空间 的子集，如果空 VA间 中的任意一个元素都是子集 中的某个元素序列的极限，则 A称 在空间中稠密(简称稠)。 AVV讨论稠密性的意义在于，如果 在 中稠，则 中的任何 A元素都可以用 中的元素来逼近。 距离空间中稠密的概念与线性空间中“基”的概念有一定的相似性。在线性空间中，任意一个元素都可以用“基”通过运算(加法和 A数乘)得到;而在距离空间中，任意一个元素都可以用稠子集 中的元素通过取极限(也可以看成是一种运算)得到。不同之处在于“基”所包含的元素，可以是有限多个，也可以是无穷多个。而稠子集涉及极限运算，必然包含无穷多个元素。 V性质4 :如果一个完备的距离空间 是由某个不完备的距离 AAV空间 完备化得到的，则 在 中稠。 -空间是由连续函数空间完备化得到的，所以任何一个平方可L2 积函数都可以用连续函数来逼近，这正是有限元 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 所做的事情。 3)范数空间 V定义8,范数空间， :设 是一个线性空间，对集合中的元素定义了范数: " vV，都存在一个非负实数与它对应，称为它的范数(有的 v文献上称作“模”，norm)，记作 ，并满足: uvuv+?(a)三角不等式: aavv= a(b)( 表示实数的绝对值) vq=v=0(c)正定性:当且仅当 时才有 V则称集合 是一个范数空间。 V利用范数空间 的范数，可在范数空间上定义距离 duvuv,=- () V从而使 也成为了距离空间。所以范数空间是线性空间和距离空间的结合，既有线性空间的代数性质(与运算有关)，又有距离空间的分析性质(与极限有关)。 例: R, 实数集 ，绝对值本身就是范数 n2nxx==x, 向量空间 ，定义范数 Råi2i1= 2 , 在fffxdx==-空间上定义范数 L()ò22W Vvvv,,,L定义9,强收敛， :设 是范数空间 中的{}123 vVÎlim0vv-=元素序列，若存在元素 ，使得 ，则称这个ii 元素序列强收敛，元素 称为这个序列的强极限。 v 性质5 :强收敛序列的强极限是惟一的。 显然，强收敛也就是按范数收敛，同时也是作为距离空间，按距离收敛。所以范数空间的强收敛与距离空间的收敛是等价的概念。 定义10,Banach空间， :完备的范数空间称为Banach空间。 Vvv定义11,等价范数， :设 和 是在线性空间 上11 定义的两种范数，如果存在正数 、 ，使得 ab abvvv, 121 V对 中的任何元素都成立，则称这两种范数是等价的。 在同一集合上定义不同的范数，则构成不同的范数空间。但如果两种范数等价，则一个元素序列在这两个范数空间中的收敛性相同(同时收敛或同时不收敛)。因而这两个范数空间具有完全相同的分析性质。特别是，如果一个范数空间在某一范数下是完备的，则在所有等价的范数下也都是完备的。 4)内积空间 V定义12,内积空间， :设 是一个线性空间，对集合中的元素定义了内积: ，都存在一个实数与它们对应，称为它的内积，记作 " ,uvV uv, ，并满足: () uvvu,,=(a)对称性: ()() ababuvwuwvw+=? ,,,(b)线性: ()()() vq=vv,0?vv,0=(c)非负性: ，当且仅当 时才有 ()() V则称集合 是一个内积空间。 定义内积，是为了研究空间的几何性质(垂直、投影，等等)。内积也是向量内积的推广，向量内积的许多性质也能推广过来，例如 Schwarz不等式: uvuv,,() V利用内积空间 的内积，可在内积空间上定义范数(称为空间的自然范数) vvv=, () V从而使 也成为了范数空间、距离空间。所以内积空间同时具有线 性空间的代数性质(与运算有关)、距离空间的分析性质(与极限有关)，以及几何性质(与内积有关)， 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 最为丰富，足以供有限元方法开展理论研究时使用。有限元方法的理论基础，就是建立在一类特殊的内积空间上(后来才又推广到范数空间上)。 例: R, 实数集 ，绝对值本身就是范数 n2nxx==x, 向量空间 ，定义范数 Råi2i1= 2 -空间上定义范数 fffxdx== , 在L()ò22W Vvvv,,,L定义13,弱收敛， :设 是内积空间 中的{}123 vVÎ元素序列，若存在元素 ，使得对空间中的任何一个元素 ，w lim,,vwvw=都有 ，则称这个元素序列弱收敛，元素 称为v()()ii 这个序列的弱极限。 性质6 : (a)弱收敛序列的弱极限是惟一的。 (b)强收敛序列一定是收敛序列，而且其弱极限与强极限相等。 显然，弱收敛也就是在内积的意义下收敛。 定义14,Hilbert空间， :完备的内积空间称为Hilbert空间。 在内积空间中可以像向量空间那样引入正交(垂直)的概念，这 一概念是有限元误差估计的基础。 V定义15,正交性， :设 是内积空间。 (a)设 。若 uv,0= ，则称元素 和 正交，uvuvV,Î() uv^记作 。 AVAuVÎ(b)设 ， 是 的一个子集。若 与子集 中u " vA的所有元素都正交，即:uv,0=()，则称元素 与子u() AuA^集 正交，记作 。 ABVA(c)设 、 是 的两个子集。若子集 中的所有元素 B" uA" vBuv,0=都与子集 正交，即:( ，)，则称() ABAB^子集 与 正交，记作 。 AVA(d)设 是 的一个子集。若子集 中的任意两个元素 AVuv,0=都正交，即:()，则称 为(空间 的)" ,uvA() 正交子集。 AVVA(e)设 是 的一个子集。空间 中与 正交的所有 VA元素也构成 的一个子集，称作子集 正交补子集，简称为正交 ^^A补，记作 ，即: 。 AvvVvA= , 蝆{} 下面给出正交性的一些简单性质。 性质7 , q(a)零元素 与空间中的任何一个元素都正交。 q(b)只有零元素 才能与自己正交。 AB^AB(c)若子集 ，则 与 至多只能有一个公共元素， AB? ABq?就是零元素。也就是说，要么 ，要么 。 {} AA(d)设 是空间的一个正交子集。若 (即 不包含qÏA A零元素)，则 中的所有元素都是线性无关的。 ^(e) 。 AA^ uv^性质8,勾股定理， ,设 。若 ，则有 uvV,Î 222 uvuv+=+ VMV定义16,投影， :设 是内积空间， 是 的线性子VMVvVÎ空间( 作为线性空间， 是 的子空间)，元素 。 若存在元素 ， ，使得 ，则称元vMÎvM^vvv=+1212 M素 是 在子空间 上的投影，元素 称为垂足。 vvv=-vv121 关系式 ( ，) vvv=+vMÎvM^1212 称作元素 的正交分解。 v VMV性质9,垂足最短， ,设 是内积空间， 是 的线 MvVÎ性子空间，元素 ，元素 是 在子空间 上的投影。vv1 则有不等式 " wMvvvw-? () 1 VMV投影定理 ,设 是Hilbert空间， 是 的闭线性子空 V间。则空间 中的每一个元素 都存在惟一的正交分解。 v 5)线性算子与泛函 在研究了集合本身的性质(各种空间)之后，现在我们来研究定 义在空间上的算子，它是函数这一概念的推广。 UVDU定义17,算子， :设 和 是两个范数空间， 是 " uDvVÎ的线性子空间。若 ，都存在惟一的 与之对应，则 UVT称 这种对应关系为 到 上的一个算子，记作 。元uva vTu=D素 称为元素 的像，记作 。子空间 和子集 vu D 是 中某个元素的像 RTvvVv= , }(){ NTuuDTuq=? , (){} 分别称为算子的定义域、值域和核。 TUV定义18,线性算子， :设 是 到 上的算子。如" ,uvDT果 ， ，都有 " ,abR() TuvTuTvabab+=+ () T则称 为线性算子。 TUV性质10 :设 是 到 上的线性算子。 TUV(a) 将空间 的零元素映射成空间 的零元素。 TVRT(b) 的值域 是空间 的线性子空间。 () TUNT(c) 的核 是空间 的线性子空间。 () TUV定义19,有界算子， :设 是 到 上的算子。如 M>0果存在常数 ，使得 TuMu?" uDT ， ()VU T则称 为有界算子。 TUV定义20,算子的模， :设 是 到 上的有界算子， TuV?T=supT则 称为算子 的模。 ÎuDu?0Uu TUV定义21,泛函， :设 是 到 上的算子。如果空间 TUVR= ，则称 为空间 上的泛函。 根据习惯，常常改用 表示一个泛函，它的像是一个实数，通f 常写成函数的形式，即 vfu= ，而不是 。 vfu=() 显然，泛函是一类特殊的算子(算子的像都是实数)，因此可以定义线性泛函和有界泛函，以及有界泛函的模。 在泛函分析里面，关于有界线性泛函，有两个重要的定理。 V延拓定理,Hahn-Banach定理， ,设 是范数空间 上f DV的有界线性泛函。如果它的定义域 是 的线性子空间，则可以 DV将泛函 的定义域从 延拓到整个空间 ，使得 在整个空ff间上有定义。并且这种延拓不改变泛函 模的大小。 f 根据这个定理，我们在研究有界线性泛函时，总可以认为它在整个空间上处处有定义。 VRiesz表示定理 ,设 是Hilbert空间。则对空间上的每一个有界线性泛函 ，都存在空间中的一个元素 ，使得 fvVÎf " vV ， fvvv=,()()f 在有限元理论中，还要用到双线性泛函的概念。 V定义22,双线性泛函， :设 是Hilbert空间。如果 Buv,，都存在一个实数与它们对应，记作 ，并满足: " ,uvV() BuuvBuvBuvabab+=+,,,(a) ()()()1212 BuvvBuvBuv,,,abab+=+(b) ()()()1212 VBuv,则称 是空间 上的一个双线性泛函。 () VV定义23 :设 是Hilbert空间， 是 上的一个双Buv,() 线性泛函。 (a)如果 ，都有 BuvBvu,,= ，则称 Buv," ,uvV()()()是对称的。 vq=" vV(b)如果 ，都有 Bvv,0? 。当且仅当 时， () 才有 Bvv,0= ，则称 Buv, 是正的。 ()() " vVa>0(c)如果存在常数 ，使得 ，都有 2 Bvvv,?a ，则称 Buv, 是正定的。 ()()V M>0(d)如果存在常数 ，使得 ，都有 " ,uvV Buv, ，则称 是有界的。 BvvMuv,?()() ?2 Sobolev空间 nWxxxx=,,,L蜽设 是 中的开区域， 是其中的任R()12n Wux意一个空间点, 是定义在 上的函数。 () aaaa=L,,,又设 ，其分量 ()都是非ain=L1,2,,()12ni aaaa=+++L负整数。这样的向量 称作多重指标， 称a12n作多重指标的阶。记号 aa抖uua Du==aaaa12n?x抖xxxL 12n a表示函数 的一个 阶偏导数。 u 例: n=3, 在三维()区域上，，，。如果xx=xy=xz=123 a=1,2,0 ，则 a=3 ， () 33抖uua Du==1202抖抖xyzxy n=2, 在二维()区域上，， 。 xx=xy=12 a(a=2)表示函数 的所有二阶偏导数，即 Duu 222?u?u?u ， ， 22抖xy?y?x aa?2Du()表示 及其直到二阶的所有偏导数，即 u 222?u?u?u?u?u ， ， ， ， ， u22?x?y抖xy?y?x aa=m, Du()表示函数 的所有 阶偏导数 um aa?m, Du()表示函数 及其直到 阶的所有偏导数 um aa=0, 当 时，Du 表示函数 本身 u Wux定义24,支集， :设 是定义在 上的函数。 () (a)集合 的闭包称为函数 u , 0 xxux蜽且 (){} suppu的支集，记作 。 suppu(b)如果 是有界的，并且 ，则称函数 usuppu蘔 具有紧支集，记作 。 suppu烫W 下面给出有限元理论分析中常用的函数集合。用 W 表示区域 WG=禬W 的闭包， 表示区域 的边界。 W,a,定义在 上的函数 , 有直到 阶连续导数的函数，组成集合 m maW 在 上连续 CumDuW=" , , aa}(){ , 有任意阶连续导数的函数，组成集合 ?aW 在 上连续 CuDuW=" , a}(){ , 连续函数组成集合 0W=WC 在 上连续 CuuW= }()(){ ,b,定义在 上的函数 W , 有直到 阶连续导数的函数，组成集合 m ma 在 上连续 WCumDuW=" , , aa}(){ , 有任意阶连续导数的函数，组成集合 ?a 在 上连续 WCuDuW=" , a}(){ , 连续函数组成集合 0=WC 在 上连续 WCuuW= }()(){ ,c,有紧支集的函数 , 有直到 阶连续导数的函数，组成集合 m maW 在 上连续，且 CumDuW=" , , aa(){0 supp u烫W }, 有任意阶连续导数的函数，组成集合 ?aWsupp u烫W 在 上连续，且 CuDuW=" , a}(){0 , 连续函数组成集合 0Wsupp uC烫W=W 在 上连续，且 CuuW= }()(){00 m性质11 :设 ，则 ，都有 uC蜽" aa , m()0 a Du=0禬 还可以在上面定义的各种函数集合上定义范数(或距离)，使它们变成范数空间(或距离空间)。但是这样的函数空间都是不完备的。 要想将它们完备化，需引入广义导数的概念。 分部积分 1?v=0 uC蜽 。"vC蜽 ，由上述性质，知 。设()()0禬于是利用Green公式，有 骣抖uvuv()()?抖uvv ç?çvdxudxudxdx=-=-+?ç蝌蝌?ç?抖抖xxxxx ?çiiiiiWWWW桫 抖vv=-+=-udxuvnxdsudxcos,()Ñi蝌 抖xxiiW禬W muC蜽类似地，设 反复利用上式，有 () a?aa"vC蜽 ， DuvdxuDvdx?- 1()()0蝌 WW 这就是分部积分公式，它对任意一个多重指标都成立。 广义导数 uxL蜽定义25,广义导数， :设 ， 是一个多重a()()2 wxL蜽指标。如果存在函数 ，使得 ()()2 a?a"vC蜽 ， wvdxuDvdx?- 1()()0蝌 WW a则称 是 的一个 阶广义导数。 wu 性质12 :函数空间 中的函数如果有广义导数存在，LW()2 那么这个广义导数(在测度意义下)是惟一的。 性质13 :如果函数 具有古典意义下的偏导数，则它也有u 广义导数存在，而且这一广义导数与古典导数相等。 这个性质表明，广义导数确实是古典导数的推广。 Sobolev空间 定义26,Sobolev空间， :具有直到 阶广义导数的函数，m组成集合 ma HumDuLW=" , , aa,W()(){}2在这个函数集合上定义内积 aauvDuDvd, =W ()åòmma?W 可以使这个函数集合成为内积空间，而且是完备的，从而构成了一个 Hilbert空间，称为 阶Sobolev空间。 m 阶Sobolev空间的自然范数是 m 2a vvvDvd==W, ()()åòmmma?W mCW在函数集合 也可以定义内积 () aauvDuDvd, =W ()åòmma?W 使得这个函数集合成为内积空间，但不是完备的。将它完备化的结果， 就是 阶Sobolev空间。从而有 m m性质14 : 的完备化空间就是 阶Sobolev空间。 CWm() m性质15 : 在 阶Sobolev空间中稠。 CWm() 这个性质表明，虽然 阶Sobolev空间中的函数是用广义导数m 定义的，但是可以用具有古典导数的函数来逼近。 m类似地，在函数集合 CW 上定义内积 ()0 aauvDuDvd, =W ()åòmma?W 可以使这个函数集合成为内积空间，但也是不完备的。 mCW定义26,齐次Sobolev空间， : 的完备化空间称为 m()0 mHW阶齐次Sobolev空间，记作 。 ()0 mCW性质16 : 在 阶齐次Sobolev空间中稠。 m()0 这个性质表明， 阶齐次Sobolev空间中的函数可以用具有古m 典导数和紧支集的函数来逼近。 m-1uC蜽性质17 :设 。如果 在 上具有分块连Wu() muH蜽续的 阶古典导数(各个偏导数)，则 。 m()这个性质揭示了 单元 初级会计实务单元训练题天津单元检测卷六年级下册数学单元教学设计框架单元教学设计的基本步骤主题单元教学设计 整体光滑度 的实质，即:要求有限元近m mHW似是空间 中的元素。 () 性质18 : 11 HuuHuW= , =0 蜽()(){}0禬 禳镲u?22镲 HuuHu , =0 , =0 W=蜽()()睚0禬镲n?镲禬铪 这个性质给出了一阶和二阶齐次Sobolev空间的具体描述。 ?3 变分原理 先来看一个简单的例子。考虑二元一次方程组 ìïaxayf+=11121ïïï (3.1) íïïaxayf+=21222ïïî 骣骣骣aaxf???ççç11121???ççç???çççu=f=记矩阵 A= ，未知向量 和右端项 ，???ççç???ççç??????çççyfaa???ççç桫桫2桫2122 则上述方程组可写成 (3.2) Auf= 不妨称为方程组(3.1)的算子形式(矩阵形式)。 另一方面，任取实数 和 ，做线性组合 ab ababaxayaxayff+++=+ (3.3) ()()1112212212 Tvab=,这是一个与方程组(3.1)同解的方程。记 ，由于实数 () 和 是任意的，所以(3.3)式可写成 ab TT2vAuvf= (3.4) " vR或 2Auvfv,,= " vR (3.5) ()() 可称为方程组(3.1)的内积形式。 A如果矩阵 还是对称(aa=)正定的，则可以给出方程组1221 (3.1)的第三种等价形式。为此考虑二次函数 122Juaxaxyayfxfy=++-+2()()()111222122 11TT=-=-uAuufAuufu,,()() 22 2我们考虑求这个函数极小值的问题，即:求 ，使得 uRÎ (3.6) JuJv=min()()2vRÎ 如果 是函数 Ju 的极小值点，那么 一定是函数 Ju uu()()的驻点，即有 ìï?Jï=+-=axayf0ï11121ï?xï íï?Jïï=+-=axayf021222ï?yïî A所以 就是方程组(3.1)的解。反之，利用矩阵 的正定性，可u Ju以证明方程组(3.1)的解也一定是函数 的极小值点。 () 综上所述，方程组(3.1)可以等价地改写成三种形式:算子形式(3.2)、内积形式(3.5)和极小值问题(3.6)。 对于流体力学问题，流动控制方程相当于描述问题的算子形式，内积形式就是有限元方法要用到的积分形式(在函数空间，内积都是用积分定义的)，而极小值问题则与变分原理相对应。 2m考虑一个 阶的椭圆型微分方程定解问题(边值问题): ìïAuf=W ïïï2mïuC蜽求 ，满足 (3.7) Bug=G ()í111ïïïBug=G ï222ïî A2m式中 是一个 阶椭圆型微分算子， 是求解区G+G=禬12W域 的边界。 表示强制边界条件， 代表自然边界条件。 BB12例: 2轾, 二阶常微分方程两点边值问题:求 ，满足 uCabÎ,()犏臌 2ìïduï-+=ufxaxb ,()ï2ïdxï (3.8) íïïïBuaub , ==ab()()1ïïî 这个问题没有自然边界条件。 2轾, 二阶常微分方程两点边值问题:求 ，满足 uCabÎ,()犏臌ìï骣ïddudu?çï?-++=pxqxrxufxaxb ,ç()()()()ï?çï?çdxdxdx桫ïïï (3.9) íïBua =aï()1ïïïï?Bub =b()ï2ïî 轾ab,px>0rx>0这里要求在 区间上 ，。 ()()犏臌 2uC蜽, Poisson方程第一边值问题:求 ，满足 () ìï-D=Wuf ïï (3.10) íïBug =ï1禬ïî 这个问题没有自然边界条件。 2uC蜽, Poisson方程第二边值问题:求 ，满足 () ìïïuf -D=Wïïïï (3.11) íïu?ïïBg =2ïn?ï禬ïî 这个问题没有强制边界条件，而且解不是惟一的(可以相差一个 udW=1任意常数)。规定 ，可以消除这种不惟一性。 ò W 4, 重调和方程边值问题:求 uC蜽 ，满足 () ìï2ïuf D=Wïïïï (3.12) íïu?ïïBu 0 , 0==1ï禬n?ï禬ïî ?u=0对于这个问题，通常的自然边界条件 变成了强制边界条 ?n禬 件之一。 现在将这些例子改写成积分形式。 2轾, 二阶常微分方程两点边值问题:求 ，满足 uCabÎ,()犏臌 2ìïduï-+=ufxaxb ,()ï2ïdxï íïïïBuaub , ==ab()()1ïïî 先做一些准备工作。取函数 bxxa--2轾uxCab=+ ab, ()()犏0臌baba-- 2轾它满足(3.8)中的强制边界条件，于是 满足 uuCab- ,()犏0臌 2ìïdwï-+=-wfxuxaxb ,()()ï02ïdxï íïïïBwawb 0 , 0==()()1ïïî 这个例子表明，对于线性问题，如果有强制边界条件，可以事先找一个已知函数 ，满足相同的强制边界条件，则 满足齐uu-u00次强制边界条件。所以，下面只需考虑齐次强制边界条件。 2ìïduï-+=ufxaxb ,()ï2ïdxï (3.13) íïïïuaub==0 , 0()()ïïî ?轾步骤一:任取函数 ，用它乘以方程的两边，并在区vCab,Î()0犏臌 轾ab,间 上积分，得 犏臌 2骣bbdu?ç?-+=vuvdxfvdx ç?蝌2çaa?çdx桫 步骤二:上式左边积分号下得第一项分部积分 b骣骣bbdudvdu鼢珑鼢 +-=uvdxvfvdx珑蝌鼢珑aa鼢珑dxdxdx桫桫a ?轾va=0vb=0步骤三:由于 ，所以 ， ，于是vCab,Î()()()0犏臌 上式成为 骣bbdudv?ç?+=uvdxfvdx ç蝌?çaa?çdxdx桫 1轾步骤四:将上式推广到一阶齐次Sobolev空间 上，VHab=,()犏0臌 uVÎ即:求 ，满足 骣bbdudv?ç?" vV+=uvdxfvdx ， (3.14) ç蝌?çaa?çdxdx桫 这里的导数应理解为广义导数，积分看成是Lesbesgue积分。 步骤五:记 骣bbdudv?ç?Fvfvdx=, ， Buvuvdx=+()()çòò?çaa?çdxdx桫 VV则 Buv, 是空间 上的双线性泛函，Fv 是空间 上的线()() uVÎ性泛函。最终得到下述问题:求 ，满足 " vVBuvFv,= ， (3.15) ()() 其他几个例子也将得到这种形式的问题。 2轾, 二阶常微分方程两点边值问题:求 ，满足 uCabÎ,()犏臌ì骣ïddudu?ïç?-++=pxqxrxufxaxb ,ç()()()()ï?çï?çdxdxdx桫ïï (3.16) íïï?ïuaubb==0 , ()()ïïïî ?轾va=0步骤一:任取函数 并满足 ，用它乘以方vCab,Î()()犏臌 轾ab,程的两边，并在区间 上积分，得 犏臌 骣骣bbddudu?ç?ç? ?-++=pvqvruvdxfvdxçç?蝌?ççaa??ç?çdxdxdx桫桫 步骤二:上式左边积分号下得第一项分部积分 b骣骣bbdudvdudu鼢珑鼢pqvuvdxpvfvdx++-= 珑蝌鼢珑aa鼢珑dxdxdxdx桫桫a ?va=0ubb=步骤三:由于 ， ，所以上式成为 ()() 骣bbdudvdu?ç?pqvuvdxfvdxpbvb++=+b ()()ç蝌?çaa?çdxdxdx桫 步骤四:将上式推广到空间(也是一种Sobolev空间) 1轾 VvvHabva=? , , 0 ()(){}犏臌 uVÎ上，即:求 ，满足 骣bbdudvdu?ç?pqvuvdxfvdxpbvb++=+b ， ()()ç蝌?çaa?çdxdxdx桫 " vV (3.17) 步骤五:记 骣bdudvdu?ç?,Buvpqvuvdx=++()çò?ça?çdxdxdx桫 b Fvfvdxpbvb=+b()()()òa VVBuv,Fv则 是空间 上的双线性泛函， 是空间 上的线()() uVÎ性泛函。最终得到下述问题:求 ，满足 " vVBuvFv,= ， ()() 2uC蜽, Poisson方程第一边值问题:求 ，满足 () ìï-D=Wuf ïï (3.18) íïu=0ï禬ïî ?WvC蜽步骤一:任取函数 ，用它乘以方程的两边，并在区域 ()0 上积分，得 -DW=Wuvdfvd 蝌 WW 步骤二:上式左边分部积分 ?u 炎裌uvdvdsfvd-=WÑ蝌 ?nW禬W ?v=0步骤三:由于 vC蜽 ，所以 ，于是上式成为 ()0禬 炎裌uvdfvd=W 蝌 WW 1VH=W步骤四:将上式推广到一阶齐次Sobolev空间 上，即:()0 uVÎ求 ，满足 " vV炎裌uvdfvd=W ， (3.19) 蝌 WW 步骤五:记 Buvuvd,=炎裌Fvfvd=W ， ()()òò WW VVBuv,Fv则 是空间 上的双线性泛函， 是空间 上的线()() uVÎ性泛函。最终得到下述问题:求 ，满足 " vVBuvFv,= ， ()() 2uC蜽, Poisson方程第二边值问题:求 ，满足 () ìïïuf -D=Wïïïï (3.20) íïu?ïïBg =2ïn?ï禬ïî ?WvC蜽步骤一:任取函数 ，用它乘以方程的两边，并在区域 () 上积分，得 -DW=Wuvdfvd 蝌 WW 步骤二:上式左边分部积分 ?u炎裌uvdvdsfvd-=W Ñ蝌 ?nW禬W?u=g步骤三:由于 ，上式成为 ?n禬 炎裌uvdfvdgvds=W+ Ñ蝌 WW禬 1VH=W步骤四:将上式推广到一阶Sobolev空间 上，即:求 () uVÎ ，满足 炎裌uvdfvdgvds=W+ ， Ñ蝌 WW禬 " vV (3.21) 步骤五:记 Buvuvd,=炎裌 ()ò W Fvfvdgvds=W+ ()Ñ蝌 W禬 VVBuv,Fv则 是空间 上的双线性泛函， 是空间 上的线()() uVÎ性泛函。最终得到下述问题:求 ，满足 " vVBuvFv,= ， ()() 4, 重调和方程边值问题:求 ，满足 uC蜽() ìï2ïuf D=Wïïïï (3.22) íïu?ïïu0 , 0==ï禬n?ï禬ïî ?W步骤一:任取函数 vC蜽 ，用它乘以方程的两边，并在区域 ()0 上积分，得 2DW=Wuvdfvd 蝌 WW 步骤二:上式左边两次分部积分 禗u() -袲籽uvdvdsfvdW+=W()Ñ蝌 ?nW禬W 禗u()?v DDW-D+=Wuvdudsvdsfvd蜒蝌蝌抖nnW禬禬W ?v?=0v=0vC蜽步骤三:由于 ，所以 ， ，于是()0禬?n禬上式成为 DDW=Wuvdfvd 蝌 WW 2VH=W步骤四:将上式推广到二阶齐次Sobolev空间 上，即:()0 uVÎ求 ，满足 " vVDDW=Wuvdfvd ， (3.23) 蝌 WW 步骤五:记 Buvuvd,=DDWFvfvd=W ， ()()òò WW VV则 Buv, 是空间 上的双线性泛函，Fv 是空间 上的线()() uVÎ性泛函。最终得到下述问题:求 ，满足 " vVBuvFv,= ， ()() 通过上面几个例子可以发现，经过类似的步骤，定解问题(3.7) uVÎ可以化成以下问题:求 ，满足 " vVBuvFv,= ， (3.24) ()() VABuv,其中 是空间上的双线性泛函，由算子的具体形式给出，() VFv 是空间上的线性泛函，由右端项和自然边界条件确定。 () 定义27,Galerkin弱解， :问题(3.24)称为定解问题(3.7) 的Galerkin变分形式(变分方程)，它的解称为定解问题(3.7)的 Galerkin弱解，任意函数 称为试探函数。 v 几点说明: 2m, 定解问题(3.7)要求函数 具有 阶的连续导数，而u 变分方程(3.24)只要求函数 具有 阶的导数，而且um 还是广义导数，所以叫做“弱”解。 , 弱收敛是指在积分(内积)的意义下收敛。类似地，函数 u 在积分意义下满足方程，这是弱解的第二层意思。 V, 强制边界条件在变分形式中转化成对空间 中元素的要 V求。也就是说，强制边界条件决定了如何选取空间 。而 自然边界条件最终变成了变分方程右端项的一部分变分方程 的解将自动满足它。这就是两类边界条件的本质区别。 已有的微分方程数学理论表明，定解问题(3.7)的解并不一定总是存在的，存在的时候也不保证是惟一的。但是对于变分方程(3.24)，下述定理保证了它的解总是惟一存在的，这也是我们要把原来的定解问题改写成积分形式(就是变分方程)的理论意义。 VLax-Milgram定理 ,设 是一个Hilbert空间，Buv, 是() VM>0空间上的双线性泛函，而且是有界的、正定的，即存在常数 a>0和 ，使得 BuvMuvuvV, , ,? () 2 BvvvvV, , ? a() VFv 是空间上的有界线性泛函，则变分方程(3.24)的解存在而() 且惟一，并有不等式 1?uF? (3.25) a ?FFv成立( 表示有界线性泛函 的模)。 () Buv,Buv,证明,节选, 对称的情形，,由于 是正定()()的双线性泛函，如果它还是对称的，则可以利用它在空间上定义一种新的内积，称为能量内积 uvBuvuvV,, , ,=" ()()E 相应的范数称为能量范数 vvvBvvvV==" ,, , ()()EE 从而在同一集合上构成了一个新的内积空间，记作 。 VE 由 的有界性和正定性， Buv,() 22 aavvBvvMvMv=,,=() 即 avvMv,E 此式表明新定义的能量范数与原有的范数是等价的，从而新空间与原 空间有着相同的分析性质。特别是，新空间 也是完备的内积空VE间，即Hilbert空间。 Fv由 的有界性和上述等价性， () 骣11?ç????FvFvFvFv,= ç()?çEE?ç桫aa Fv这表明 在新空间里仍然是有界的线性泛函。于是，根据Riesz() uVÎ表示定理，存在惟一的元素 ，使得 FvuvvV=" , , ()()E 即 BuvFvvV, , =" ()() 所以，这个惟一的元素 就是变分方程的解。 (证毕) u Buv,另外，在 是对称的条件下，还存在着与变分方程等价() 的极小值问题。 VVBuv,定理 ,设 是一个Hilbert空间， 是空间 上的() VFv双线性泛函，而且是有界的、对称的、正定的。 是空间 上()的有界线性泛函。定义泛函(不是线性泛函) 1JvBuvFvvV=-" , , ()()() 2 uVÎ则变分问题(3.24)等价于下述变分极小值问题:求 ，满足 (3.26) JuJv=min()()vVÎ " vV证明 ,设 是变分问题(3.24)的解。 ，记 u ，则有 wvu=- 1JvJuwBuwuwFuw=+=++-+,()()()()2 1轾轾 =++-+BuuBuwBwwFuFw,2,,()()()()()犏犏臌臌2 轾11轾犏=-+-+BuuFuBuwFwBww,,,()()()()()犏犏臌22臌 即 1轾JvJuBuwFwBww=+-+,, ()()()()()犏臌2 wVÎ由于 是变分问题(3.24)的解，而 ，所以 u BuwFw,0-= ()() Buv,从而由 的正定性， () 1JvJuBww-= ,0 ()()() 2 wq?而且当 (即 )时， vu? 1JvJuBww-=>,0 ()()() 2 Jv这就证明了 是泛函 的极小值。 u() vq?" vV反之，设 是泛函 的极小值。 ，如果 ，Jvu() " 0,uvu+ ,则 ， ，从而 JuvJu+>, ，即 JuvJu+->,0 ()()()()但 JuvJu+-,()() 轾轾11犏犏=++-+--BuvuvFuvBuuFu,,()()()(),,,犏犏22臌臌 1轾轾=++-+BuuBuvBvvFuFv,2,, ()()()()(),,,,犏犏臌臌2 轾1犏 ,--BuuFu()()犏2臌 12轾=-+BuvFvBvv,,()()()犏臌,,2 下面用反证法。如果 不是变分问题(3.24)的解，即 u BuwFw,0- BuwFw,- ，则通过选取 与 反号,,()()()() 并满足 BuvFv,-()() , < 1Bvv,() 2总可以使 12轾,,BuvFvBvv,,0-+< ()()()犏臌2 JuvJu+->,0这与 矛盾。 ()() 所以 就是变分方程的解。 (证毕) u 定义28,Ritz弱解， :变分极小值问题(3.26)的解称为定解问题(3.7)的Ritz弱解。 由于变分极小值问题与变分方程等价，所以Galerkin弱解和Ritz弱解可以统称为Ritz-Galerkin弱解。 ?4古典变分方法和有限元方法 古典变分方法也称作直接法或Ritz-Galerkin方法，它是有限元方法的基础和原型。 V设 是一个Hilbert空间。古典变分方法在空间中选取一组线 L性无关的元素 ， ， ， 作为基函数，用它们张成一个,,,12N NV=Lspan,,,,,,有限维(维)子空间 。这个子空间中{}hN12 L的元素都可以写成元素 ， ， ， 的线性组合 ,,,12N N vV=++= aaaa,,,,åhNNiih1122=i1 现在考虑分别与变分方程(3.24)和变分极小值问题(3.26)相对应的两个问题。 变分方程 ,求 uVÎ ，满足 hh BuvFv,= ， " vV (4.1) ()()hhhhh 这个问题称为变分方程(3.24)的Galerkin近似，它的解称为原定解问题(3.7)的解的Galerkin近似，通过求解(4.1)而得到原问题近似解的方法称为Galerkin方法。 变分极小值问题 ,求 ，满足 uVÎhh (4.2) JuJv=min()()hhÎvVhh 这个问题称为变分极小值问题(3.26)的Ritz近似，它的解称为原定解问题(3.7)的解的Ritz近似，通过求解(4.2)而得到原问题近似解的方法称为Ritz方法。 现在我们就来求解这两个问题。先考虑变分极小值问题(4.2)。 N Jv将 代入泛函 ，得 va=,()åhiii=1 1JvBvvFv=-,()()()hhhh2 NNN骣骣1??çç?? ,,,=-BFaaa , çç邋 ?jjiiii?çç?ç?ç2桫桫jii===111 NNN1=-aaaBF,()(),,,邋 ijjiii2iji===111 LBuv,这是系数 ， ， ， 的二次型，而 的正定性保aaa()12N 证了这个二次型的正定性。所以这个二次型一定有极小值。设当系数 ***Laa= ，aa= ， ，aa= 时达到极小值，则这组系数1122NN 应满足驻点条件 ?Jv()h0 , 1,2,,L==iN a?i***aaaaaa===,,,L1122NN 由此导出了代数方程组 N*aBF,,,,= () iN=L1,2,,()()åjjii1=j 定义矩阵(称为总刚矩阵) 骣BBB,,,,,,,,,L()()()?ç11211N?ç?ç?ç?ç?BBB,,,L,,,,,,()()()12222N?ç?ç B=?ç?ç?MMMç?ç??ç?ç?çBBB,,,L?()()()ç,,,,,,桫12NNNN 和向量 *骣骣骣aaF,()???ççç111???ççç???ççç???ççç*???aççça??F?,()222???ççç*???ççça= ， ， a=F=???ççç???ççç???MMMççç???ççç??????ççç???ççç*???çççaaF???çç()çN桫,桫桫NN则上述代数方程组可写成 *BFa= (4.3) N**a显然，在子空间 中，由解 确定的元素 就Vua=,åhhiii1=是变分极小值问题(4.2)的解。 N*再来考虑变分方程(4.1)。设 是它的解，就有 ua=,åhiii1= NNN骣骣*??çç??BFaaa,,, , = çç邋 ??jjiiiiçç?ç?ç桫桫111===jii 即 NNN*aaaBF,,,,= ()()邋 ijjiii111===iji 或写成 TT* aaaBF= N由于 是任意的，所以向量 也是任意的，从而vVÎaÎRhh 再次导出了代数方程组 * BFa= 由此可见，在 Buv, 是对称的情形下，变分方程(4.1)与变() 分极小值问题(4.2)也是等价的，因为两者归结为同一个代数方程组(4.3)。所以这两个问题的解可以统称为原定解问题(3.7)的解的Ritz-Galerkin近似，而这两种近似方法也可以统称为Ritz-Galerkin方法。 Buv, 不是对称的情形，只能定义变分方程(4.1)而没有变分() 极小值问题(4.2)。 例:用Galerkin方法求二阶常微分方程两点边值问题 2ìïdwï-+=wxx 01,ï2ïdxï (4.4) íïïïwwe01 , 11==+()()ïïî wxex=+1wx取 ，则满足边界条件。令 ，uww=-()()000则 是定解问题 u 2ìïduï-+=-uxwxx 01,()ï02ïdxï (4.5) íïïïuu00 , 10==()()ïïî 1轾uVÎ相应的变分方程为:求 ( )，满足 VHab=,()犏0臌 " vVBuvFv,= ， (4.6) ()() 骣11dudv?ç?Fvxwvdx=-Buvuvdx,=+这里 ， ()()ç()òò?0ç00?çdxdx桫 i取 ,xxx=-1，()，则 i=L,3,2,1()()i ,00= , ,10= ，() i=L,3,2,1()()ii 所以 ,xVÎ，()。 i=L,3,2,1()i NVN取定 ，则 V=Lspan,,,,,, 是空间 的 维{}hN12 子空间。在 上，Galerkin近似满足变分方程 Vh BuvFv,= ， (4.7) " vV()()hhhhh N=2V=span,,,下面对的情形进行具体计算，此时 。 {}h12 2轾骣12d,犏?ç1?Bdx,=+,,,ç()犏()?ò111ç?0çdx犏桫犏臌 122轾2 =-+-121xxxdx()()犏ò0犏臌 111234=-+-+=1452xxxxdx()ò030 2轾骣12d,犏?ç2?Bdx,=+,,,ç()犏()?ò222ç?0çdx犏桫犏臌 122轾24 =-+-xxxxdx231()()犏ò0犏臌 1123456=-+-+=412102xxxxxdx()ò07 骣1dd,,?ç12?BBdx,,==+,,,,,,ç()()?ò211212ç0?çdxdx桫 12轾23 =--+-12231xxxxxdx()()犏()ò0犏臌 1112345=-+-+=2772xxxxxdx()ò060 1 Fxwdx,,=-()()ò1010 1轾=----111exxxdx ()()ò犏臌0 11+e32轾=----=-exexxdx12()()ò犏臌012 1 Fxwdx,,=-()()ò2020 12轾=----111exxxdx ()()ò犏臌0 123+e432轾=----=-exexxdx12()()ò犏臌060 **所以 和 满足方程组 aa12 ìï11111+e**ïaa+=-ï12ï306012ï íï11123e+ï**ïaa +=-12ï60760ïî 解得 ìï14669e+ï*ïa0.7052=-?ï1473ïï íï71e-ï()*ïa0.27972=-?ï2ï43ïî **变分方程(4.7)的解为 uaa=+,, ，而原定解问题(4.4)h1122 的近似解是 **wwuw=+=++aa,,hh001122 210.705210.279721=+----exxxxx ()() 2312.0130.42550.27972=+++xxx 精确解为 11x23wxexxx=+=++++L12 26 古典变分方法的不足 必须满足齐次强制边界条件。这样的函数在一(1) 基函数 ,i 维情形里还比较容易找到，但是对于二维和三维问题，除 了形状比较规整的简单区域(矩形、长方体、圆，等等) 外，一般来说构造这样的函数是很困难的。 WB,～,F,(2) 计算 和 涉及整个区域 上的积分。()()jii 和上面一样，对于形状复杂的区域，计算这些积分也变得 非常困难。 (3) 由于不同问题的求解区域也各不相同，所以无论是构造基 函数还是计算积分，都没有规律可循。因此古典变分方法 很难通用化。 BN(4) 矩阵 中非零元素很多。当 较大时，代数方程组的 求解也变得很困难了。 总之，由于古典变分方法强烈地依赖于求解区域的形状，因而在应用中遇到了很多困难，很难得到广泛的应用。 但是，当古典变分方法的原理与有限元方法的技术结合在一起，形成了有限元方法，就完全克服了上面这些不足，发展成为一种高效的数值方法，得到了广泛的应用。 所谓有限元方法的技术，其核心就是“分片近似”，就是将区域 划分成有限多个小的子区域(单元)，在每个单元上用多项式来近似 所求解的函数。 有限元方法的优点 (1) 齐次强制边界条件只需在单元水平上得到满足。也就是说， 对于有一条或多条边落在区域边界上的单元，只需将这些 边上的单元自由度设为零。而对于区域内部的单元，则根 本不必考虑边界条件。 W(2) 区域 上的积分被分解成每个单元上的积分。单元的形 状简单，而且还有 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 单元，使得计算积分变得很容易。 (3) 单元划分、单元上积分的计算，以至于总体合成、强制边 界条件的处理，都具有很强的规律性，易于编制通用的、 模块化的计算程序。 B(4) 只要两个基函数 和 的支集没有交集，矩阵 中,,ij B相应的元素就等于零，即 。因此矩阵 B,～,=0()ji 中出现了大量的非零元素，成为稀疏矩阵。这将有利于代 数方程组的求解。 整体基函数 由此可见，有限元方法只不过是一种特殊的古典变分方法。在有限元方法中，基函数 称为整体基函数(相对于单元基函数 而,Nij言)。 N假设已经给定了求解区域的一个剖分，共有 个整体自由度。 ()应满足下列条件: 则整体基函数 ,iN=L1,2,,i (1) 是分片函数，即 在每个单元上是多项式。 ,,ii i2) 在第 个自由度上等于1，在其他所有自由度上均为(,i 零，从而它们是线性无关的。 m,蜽H(3) 的整体光滑度为 ，从而 。 ,m()ii (4) 满足齐次强制边界条件。 ,i 有限元近似 N uuuuuV=++= ,,,,åhNNiih1122=i1 其中的系数 就是各个整体自由度。 ui 整体基函数 与单元插值基函数 的关系 ,Nij 例:一维二次Lagrange单元 ?5有限元误差估计 uVÎ定理,Céa引理， ,设 是变分方程(3.24)的解， 是它的Galerkin近似(即变分方程(4.1)的解)。则有 uVÎhh uuvvV-=" ,0 , ()hhhhE uuuv-=-infhhEEÎvVhh 证明 ,由(3.24)式和(4.1)式，有 BuvFvvV, , =" ()() BuvFvvV, , =" ()()hhhhh 因为 ，所以取 时第一式成为 VVÐvv=hh BuvFvvV, , =" ()()hhhh 与第二式相减，就得到 BuuvvV-=" ,0 , ()hhhh 也就是 uuvvV-=" ,0 , ()hhhhE 这就证明了第一条结论。 记误差 euu=- ，则上式表明 ，于是有 eV^hh uuevVeV=+ , , 蝆 hhhh 这其实就是 的正交分解，而 就是 在子空间 上的投uuuVhh影。根据投影定理，就得到 uuuv-=-infhhEEÎvVhh 这就是第二条结论。 (证毕) Céa引理告诉我们， uuuvvV-?" , hhhhEE uv-uu-也就是说，任取一个元素 ， 都比 大。vVÎhhhhEE uv-所以，如果能够找到一个特殊的 ，使得 可以具体计算vhhE uu-出来，也就得到了对 的估计。这就是有限元误差估计的基hE 本思路。 有限元误差估计的主要结论 k设单元的代数精度为 ，整体光滑度为 ，整个剖分中，单m mh元的最大尺度为 。又设 uVH翁W 是变分方程(3.24)的()mk+1解，并且 uHH蜽IW ，而 是 的GalerkinuVÎu()()hh m近似，这里的有限元子空间 VVH烫W 。则有 ()h 2+k1 uudChu-W òh+k1W 2k?W uudChu ()òh+k1W ?uu第二式中， 表示梯度向量 的长度。 ?uu()()hh