【doc】三向应力状态分析的图解法

【doc】三向应力状态分析的图解法 三向应力状态分析的图解法 第29卷增刊 2001年12月 河海大学 JOURNALOFHOHAIUN1VE~ Vol29Supplement Dee?1 三向应力状态分析的图解法 沈少峰,王南根,王建锋 (无锡无线电工业学授,江苏无锡214061) 摘要:根据斜截面上应力分量的计算式,提出了"辅助应力圆"的概念,以"辅助应力圆"和莫尔圆的 组合探讨了三向应力状态下任意斜截面上应力分量的图解法,以及获得主应力和主方位角的方法. 关键词:辅助应力圆;莫尔圆;同向同步旋转;逐渐逼近 中图分类号:0343文献标识码:A 三向应力状态下斜截面上应力分量及主应力的图解法,文献[1]对此作了探讨,斜截面上应力分量一般 都是以三向主应力出发利用莫尔圆进行图解,图解过程相当繁杂,不易掌握和运用;主应力的图解,文献[1J 通过旋转单元体使之逼近"正规单元体"再进行处理,但文中对如何旋转逼近以得到"正规单元体"比较含糊, 图解方法不是从斜截面上应力的图解法获得,因而没有将斜截面上应力的图解法与主应力的图解法统一起 来, 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 应用价值不大.本人通过以方位角n, 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示斜截面的方位得出的应力分量计算式得出了斜截面 上应力分量的图解方法;主应力和主方位角的图解能从斜截面上应力分量的图解 方法中得出.图解过程简 单.掌握,运用方便. 1斜截面上应力分量的图解法 以斜截面的法线n与y平面的夹角 及n在xy平面上的投影与轴的夹角n 表示斜截面的方位;,的正负号规定 为:从轴正向看,n逆时转为正;从n 在y颊上的投影至轴正向旋转为正,图 l所示的口,均为正. 取如图2所示的四面体,四面体上的 应力根据材料力学规定均为正,此时斜截 面上的应力分量,rrn2根据[2]得 图1方位角 Fig.1A丑ml丑hal锄 图2四面体应力 Fig.2Stress0ntetralu~on !—;sin2+r2c.s2r2:r2+9sin+r1c.s(1) = 专+c0s2.一sin2.=2nc.s2n=inn+r=cos~(2) r2+=r,~sin(口+90~)+rcos(d+9)=r~cosa—r=sin~(3) ,】,2为方位角口,=0斜截面上的应力,+为口+9截面上与2同向的剪应力. 由式(2)前2式得 由式(2)第3式及式(3)得 (Oo一旦)+r=()+r2 收稿日期:200110—26 作者简介:沈步峰(1960一).男,江苏无锡人,讲师,主要从事结柯研究 (4) 舯 河海大学2001年l2月 r+r2+:r+r 同理由式(1)前2式及第3式分别得 (一旦?)+r?:(旦).'+r r2+r2 2+:rl+r+ 其中r2+为+9截面上与ra2同向的剪应力. 上述分析表明:式(4)一(7)均为圆方程,其中由式 (4),(6)所作的圆即为奠尔圆,而由式(5),(7)所作的圆这 里约定为"辅助应力圆";当单元体旋转a角(:0)后, 由(4)式知:斜截面上的应力,ral对应莫尔圆上的一点; 由(5)式知:剪应力2对应"辅助应力圆"上的一点的纵 坐标(横坐标为2+). 证明如下: 由式(5)作"辅助应力圆"如图3所示,a点的坐标 r,r,单元体逆时转a角,"辅助应力圆"上0点也逆时 转a角(即曲弧所对的圆心角为a角),b点的纵坐标为 r2,横坐标为2+. Ob?sin(a+口):Oa?c0sOsina+Oa?sin0COSa: (5) (6) (7) ? t t 图3辅助应力圆 Fig.3Aid或r幅drd rye-BIl3.Gt+rc0sra2 Ob?c0s(+日):Oa?cos0cos—Oa?sin0sina: r,~cosa—rsin=ra2+90~ 同理式(6)所作莫尔圆上一点的坐标对应单元体旋转a,后斜截面上的应力d,rnl;式(7)所作"辅助应力 圆"上一点的纵坐标对应剪应力r2(横坐标为+).因此,可以通过莫尔圆和"辅助应力圆"的组合描述斜 截面上的应力分量.首先,通过式(4),(5)所作的莫尔圆和"辅助应力圆"求得,l,ra2+,再由式(6), (7)所作的莫尔圆和"辅助应力圆"便可求得斜截面上的应力,rnljr2. : 作图方法如图4所示 r_l ' 4 \\\c / 图4辅助应力圆和奠尔圆 Fig.4Aided.sllt'~drd嚣and^白td删鹤 a.由式(4)作奠尔圆(R)标出A点(,);以r为横坐标(坐标轴与d轴重台)和纵坐标由式(5)作"辅 助应力圆"(R),标出坐标点n(r,). b.莫尔圆(R)上从A点逆时转(为负时顺时转)2角至点B(t,1);同时"辅助应力圆"(R)上n点 逆时转(为负时顺时转)a角至点b(r~2+,2),则B点的坐标及6点的纵坐标,l,r2即为单元体旋转 第29卷增刊沈少峰,等三向应力状态分析的图解法 角(=0)斜截厩上的应力. e.过B点作轴的垂线与过b点作O-轴的平行线交于c点,其坐标为(,r2),以点c与坐标为(, 一2)的点c的连线为直径的圆即为由式(6)所作之莫尔圆(S);吐B点作d轴的平行 线与过b点作d轴的 垂线交于c点,以为半径的圆即为由式(7)所作之"辅助应力圆"(S). d.C点沿奠尔圆(S)逆时转(负时顺时转)2角的点D的坐标与c点沿"辅助应力圆"(S)逆时转( 负时顺时转)'f_角的点d的纵坐标即为斜截厩上的应力,r1,r. 作图时点在莫尔圆上与对应点在"辅助应力圆"上的旋转必须同向同步.即点A顺时转时点.顺时转; 点c顺时转时点c顺时转;点在奠尔圆上旋转的角度是对应点在"辅助应力圆"上的旋转角度的2倍.旋转角 度以逆时转为正,顺时转为负.奠尔圆和"辅助应力圆"的作图比例相同 2图解法确定主应力值和主方向方位角 根据斜截面上应力分量的作图法,如果由旋转角决定的c和c点正好处于这样一种位置:c点转至水 平轴(轴)上的角度等于c点同向转至水平轴(d轴)上角度的2倍,即D,d点同时处于轴上,则该斜截面 上的剪应力=0,rd:0,正应力就为单元体的主应力O-;旋转角,便为主方位角.为此,正确选择. 的值成为确定主应力O-,主方位角,的关键. 由于的选择需考虑到产生的奠尔圆(R)和"辅助应力圆"(R)上B,b的坐标值及由此产生的莫尔圆 (S)和"辅助应力圆"(S)上c,c的位置,故一般需经过试旋转(顺或逆)经分析比较后才能选定,因此,确定 主应力的方法可以说是一种逐渐逼近的方法.试凑的次数越多,得到的结果越精确.这样,单元体的三个主应 力和对应的主方位角均可通过逐渐逼近的方法获得.一般情况下,可采用如下的方法确定旋转角:设想在 点,点处分别铰接以点A,n为原点的正交直线(与O-轴平行和垂直),点4,点口同向同步旋转时,正交 直线作平动,两组正交直线的交点即为点c和c,考察c和c的变动结台的位置可比 较容易地观察到应取 的旋转角.. 例:图5(a)所示的单元体,用图解法求.=30,=55.斜截面上的应力及主应力值.本例采用AuLoCAD R14图形软件求解: a.根据斜截面上应力的作图法作莫尔圆(),(s),"辅助应力圆"(R),(S)(图5(b)),可得=30~, = 55~斜截面上的应力=一28.4334,r=40.3029,以=一39.3963. b.求某一主应力:本例由于位于圆()的左侧,不管A点顺时转还是逆时转,产生的圆(S)上的点c 转至轴正向的角的绝对值均小于90.,因此 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 圆(S)上对应的c同向转至水平轴(d轴)的角的绝对值小 于45~:根据前述确定旋转角的一般方法,通过观察可以发现:顺转时如果转角过小(取.=一45~),则C点转 至轴正向的角度必大于2倍的c点转至水平轴(O-轴)的角度,反之转角过大(取=一60~)C点转至d轴 正向的角度必小于2倍的点转至水平轴的角度,这样转角必在一45~,一60~之间;现取.=一50~,这时c 点转至轴正向的角度(一449699.)基本上等于2倍c点转至c轴正向的角度(一22.803),如图5(c)所 示,据此可得圆(s)与O-轴的交点D的横坐标68.8824为某一主应力值,:一50~,=一225.就为该主平 面上的方位角. 求得一个主应力后,单元体处于图5(d)的"简单三向应力状态"(单元体上只有一个剪应力),因此只要 在剪应力所在的平面内旋转单元体就可求出其余2个主应力值,而不必重复上述逼近过程. c.在圆(s)上过D点的相对点D,在圆(R)上过B点的相对点作d轴的垂线,过圆(S) 和垂直r轴 的交点作轴的平行线,分别交于点E,,以E为直径所作的圆()与轴的2个交点的坐标值140.779 6,一49.662即为另二个主应力值(图5(c)).这样,3个主应力分别为1=140.7796,2= 鹋.8824,3= 一 49662O. 本例用代数三次方程求根计算得1=140.6115,2=68.152O,3=一49.7635.由比较可见,图懈法可以 获得相当的精确度. 3结束语 用方位角描述斜截面的方位后,可使用莫尔圆与"辅助应力圆"的组台求得任意斜截面的应力,并且作图 河海大学2?1年12月 过程简单;求主应力时,可通过试旋转观察,分析逐渐逼近获得,同时可得对应的方位角例题说明,采用计算 机图形软件进行图解时即使选定的.角使C,c点转至一轴的角度有一定误差,得到的主应力值仍有相当的 精度,完全能够满足工程要求.如进一步逼近,精度就进一步提高. 参考文献: [1]周仲甫 [2]沈少峰 ' 1 (S) /——c ' \\/ 【r) ,一 — (S)\; f{ \/\ —————— 一一 图5图解法实例 Fig.5Exanil~0fapcm甜d 三维应力时求主应力的图解法[J.力学与实践,1986,(6):37,41 一 点应力的一种表述及计算[J].强度与环境.2001,(3):51—54 GraphicMethodforStateAnalysisofThreeDimensionalStress SHENShao-feng,WANGNan-gin,WANGJian?feng (WuxiRadioIndus.,School,Wmzi214061,Ch/na) Abstract:Onthebasisoftheformulaforcalculationofstresscomponentscninclinesections,acoeptofaided.stress circleispmw~d.Basedonthecombinationofaided— strasscircleandMohrcircle,adiscussionismadeonthegrap~cal methodf0ranalysisofstresscomponentsonm~oiu-aryinclinesectionsundertheactionofthreedimensionalstre~s. Methodsf0rcalc~afionoftheprincipalsuessandtheprincipaIazimuthalareaIealsostudied. Keywords:aided— stresscircle;Molarcircle;rotationin$alTledirectionandwithfixedstep;approxinration