高中数学经典解题技巧和方法：（等差数列、等比数列）
高中数学经典的解题技巧和方法(等差数列、等比数列)
【编者按】等差数列、等比数列是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型
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归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下等差数列、等比数列的经典解题技巧。
首先，解答等差数列、等比数列这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题:
1(数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)。
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2(等差数列、等比数列
(1)理解等差数列、等比数列的概念。
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。
好了，搞清楚了等差数列、等比数列的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。
一、有关等差数列的基本问题
考情聚焦:1(等差数列作为高考中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。
2(该类问题一般独立命题，考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n项公式，有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。
3(多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。
解题技巧:1(涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题;
2(等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题;有时利用数列的单调性(d,0,递增;d,0，递减);
3(证明数列{}为等差数列有如下方法:?定义法;证明(与n值无关的常数);?等aad,,annn，1
,差中项法:证明。 2(2,)aaannN,，,,nnn11,，
例1:(2010?浙江高考文科?,19)设a，d为实数，首项为a，公差为d的等差数列{a}的前n项11n和为S，满足+15=0。 SSn56
(?)若=5，求及a; SS156
(?)求d的取值范围。
【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及
分析
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问题解决
问题的能力。
【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n项和求解即可。
5105,ad，,,-151【
规范
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解答】(?)由题意知==-3, =-=-8。所以 SSSa665,6Sad，,,58.51,解得a=7，所以S= -3,a=7 161
22(?)方法一:因为SS+15=0, 所以(5a+10d)(6a+15d)+15=0,即2a+9da+10d+1=0. 561111
222故(4a+9d)=d-8. 所以d?8.[ 故d的取值范围为d?-2或d?2. 221
22方法二:因为SS+15=0, 所以(5a+10d)(6a+15d)+15=0,即2a+9da+10d+1=0. 561111
222看成关于的一元二次方程，因为有根，所以，解得或a,,,，,,,818(101)80dddd,,221
。 d,22
二、有关等比数列的基本问题
考情聚焦:1(等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。
2(该类问题有时单独命题，考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式;但更多的是与函数的
单调性、不等式结合在一起，在知识交汇点处命题。
3(选择、填空及解答题中都有可能出现，属中、高档题。
解题技巧:(1)证明数列{}为等比数列有如下方法: an
an，1?定义法:证明。 ,()与值无关的非零常数qnan
2,?等比中项法:。 aaannN,,,(2,)nnn,，11
(2)求一般数列{}通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。 an
例2:(2010?辽宁高考理科?,6)设{a}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知aa=1, Sn24nS,7,则( ) S,35
15313317(A) (B) (C) (D) 2442
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式
【思路点拨】列出关于a q 的方程组，解出a q 再利用前n项和公式求出 S115
【规范解答】选B。根据题意可得:
3,aqaq,1111,3 4,,,,aq,aq(1),112,7,1,q, 14(1()5),312？,,S5141,2
三、等差、等比数列综合问题
考情聚焦:1(等差、等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所体现。
2(单独考查等差数列或等比数列的问题较少，大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现，在两知识的交汇点处命题，同时考查其他数学知识、思想方法等。
3(多以解答题的形式出现，属中、高档题目。
例3:(2010?陕西高考理科?,,6)
已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列 aa,1aaa,,,,n1139
an2(?)求数列的通项公式，(?)求数列的前n项和 aS,,,,nn
【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前,项和公式的应用，考查考生的运算求解能力(
an【思路点拨】已知关于d的方程d2 aS,,,,,nn
【规范解答】 (1)由题设知公差d0,
12d18，，d由成等比数列得aaaa,,1,,,1139112，d
解得舍去)dd,,1,0(
故的通项aann,，,，,1(1)1 ,,nn
ann(2)2,由(1)知2,
n2(12),231nn，？,，，，，,,,S222222.n12,
【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
2(数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项，由S求通项，累加法、累乘法等 n
3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。 4(解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的
内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略(
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