9.3可积条件

9.3可积条件 《数学分析》教案 第九章 定积分 ?3 可积条件 教学目标:理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件( 教学内容:定积分的充分条件和必要条件;可积函数类 (1) 基本要求:掌握定积分的第一、二充要条件( (2) 较高要求:掌握定积分的第三充要条件( 教学建议: (1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握( (2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点(对较好学生可要求掌握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性( 教学过程: 一、可积的必要条件 定理9-2 若函数在上可积，则在上必有界。 f(x)[a,b]f(x)[a,b] fxab,ab,，，,,,,证: (反证法) 若函数在上无界，对于的任意分法 xaxxxb,,,,,,？,:012n fx[,]xx，，,,,{}ii,1k则至少存在一个子区间，不妨设为，在其上无界。对于任取的，注意到 nin,1 Sfxfxfxfx,,,,,，,，,,,()()()(),,,,,，，,,,kkiikkkkkkki,,,，111 in,1 fxfxfx()(()()),,,,,,，,,,,iikkkkkki,,，11 fxA,,,，，ii in,1 Afxfx,,，,()(),,,,kkkk,,[,]xxkkk,1kki,,，11其中。于是对于任意取定的， fx，，[,]xx，,,[,]xxkiin,,，1,2,,1,1,,？？M,0iii,1kk,1。因在上无界，对于任意给定，，使得 MA，,f,，，i,xk 1 《数学分析》教案 第九章 定积分 ab,，,,,{},,k,可见对于的任意分法，，使得 MA，,,,SfxAxAM,,,,,,,, ，，，，iii,xi S,,,fxab,，，，，,,可见积分和无界，从而函数在上不可积，此与假设相矛盾。 证明函数 例1、 1,,fx,，，01,,xx, ,0x,0, 在[0，1]上不可积。 k:,0,1,2,,,,,xkn？k,,,{}kn证: 将[0，1]区间n等分，即取分法;取，其中11kkk,1，，，，,,,,0,,,,1k4,,,,kn,2,3,,？nnnnn，，，，，，，此时，相应的积分和 n ,,,fx,，，,kkS,,,，，k,1 111111，，，,？nnn12n 4nnn 1111n，，，，,,()？(()0)d,,nn23 lim,S,,，，fx0,1，，,,d,,0，，故不存在，从而在上不可积。 注:该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是:有界函数不一定可积。 ,1,x当为有理数,D(x),例2、 证明狄利克雷函数在上有界但不可积。 [0,1],0,当x为无理数, 0,1,,证:对于的任意分法 xxxx,,,,,,01？,:012n 0,1,,根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在的没一个子区间上既有有理数，也有无理数。 ,,,{},[,]xxkkkk,1若取，且是上的有理数，则积分和 2 《数学分析》教案 第九章 定积分 nn Dxx,,,,,1，，,,kkkS,,,,，，,,11kk ,,,,,,,{}[,]xxkkkk,1若取，且是上的无理数，则积分和 nn ,Dxx,,,,,00 ，，,,kkk,S,,,,，，,,11kk ,lim,1S,,,lim,0S,,,，，，，Dx0,1，，,,d,,0d,,0，，，，从而，，根据定义3知，在上不可积。 二、 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设T={,x}为对[,b]的任一分割。由在[,b]上有界知，它在每个上,xaai,1,2,？,nf(x)ii n ,,.作和，存在上、下确界: M,supf(x)m,inff(x)i,1,2,？,nS(T),M,xii,iix,,xx,,xii,1i n ， s(T),m,x,ii,1i 分别称为关于分割T的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)任给，,,,xf(x)ii ，显然有s(T),f(,),x,S(T)。 i,1,2？,n,ii ,说明:与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点的取法无关。 i ,,,0，T定理9-3(可积准则) 函数在上可积对，，使得。 f(x)[a,b]S(T),s(T),,, f,,M,m,x设，并称为在上的振幅，有必要时记为。则有 f(x),iiiii n 。 S(T),s(T),,,x,ii,1i n ,3,,,0，T定理9- 函数f(x)在[a,b]上可积对，，使得。 ,,,x,,,iii,1 n S(T),s(T),,f(x)[a,b]不等式或的几何意义:若函数在上可积，则下图中包,,x,,,iii,1 3 《数学分析》教案 第九章 定积分 围曲线的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细;反之亦然。 y,f(x) 三、 可积函数类 定理9-4 若函数为上的连续函数，则在上可积。 f(x)[a,b]f(x)[a,b] ab,,,fx(),,,0，,,0证:根据在闭区间上连续函数性质，必在上一致连续，即，，对于 ,,,xx,,,,,,,,xxab,[,]，只要，有 ,,,,fxfx()(),,ba, ,,,ab,fxCxx(),,，,,,,,xx,,,,,,d(),,,kk,1kk,1,对于的任意分法，只要，注意到，，使得 ,,,mf(),Mf(),,,kkkk，，从而有 ,,,,,,,,,Mmff,,,，，，，kkkkkkn,1,2,,？ba, nn,,,,,xx,,,,kkkba,kk,,11所以 n lim0,,,x,kk,,0，，d,1k即 fxRab(),,,,,3由定理9-知，。 如果把定理9.4的函数连续性条件稍微放宽一点，还有如下结论: 定理9-5 若是区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积。 f(x)[a,b]f(x)[a,b] fxab,fxM(),,fxab,，，，，,,,,,,xab[,]，,M0证:由假设在有界，即，使，从而在上 ,,,,sup{()}inf{()}2fxfxMfxab,，，,,axb,,maxb,,的振幅。又已知在上有有限个间断点，不妨设有个 ab,,,,,,,？xaxxxxb,,,,,,,？,,,:12m0121nn,n间断点。对于的任意分法 ，在其分割成的 [,],[,],,[]xxxxxx？2m01121nn,个小区间中至多有个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分 n ,,,,,,,,,,，,,xxx,kkkkkkk,1 4 《数学分析》教案 第九章 定积分 ,,,,x,x,,,,2mkkkk,其中是相应于分法含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为项。 ,是相应于分法不含有间断点的那些小区间的振幅和。 ,,,，,,,,0,0,且，当d,,,,，，111,,x,,2mkk8mM因为的项数至多为项，故时，有 ,,,,,,,,,,,,xMxMmmM2224 ,,kkk182mM fx,,,x，，,,kk因为在对应的那些小区间上连续，从而必一致连续。故 , ,,，,,,,,,0,0,当d，，fx()2()ba,22时，在这些小区间的振幅都小于。于是 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,xxxba(),kkkk2()2()2()2bababa,,, ab,,,,,min{,},,d(),,,12,取，对于的任意分法，只要，有 n,,,,,,,,,，,,,，,xxx,,,,,kkkkkk22,1k n lim0,,,x,kk,,0，，d,1k即 fxRab(),,,,从而。 下面我们再介绍一类简单的可积函数，即单调函数。 定理9-6 若是区间上的单调函数，则在上可积。 f(x)[a,b]f(x)[a,b] fafb,fxfafbCab,,,,，，，，，，，，，，,,fx()证: 不妨设单调增加。若，则，从而由定 ,，,,fxRab(),,fafb,，，，，,,d(),,,fbfa()(),,,,0理9.4，。若，，对于满足的任意分,法，有 nn ,,,,,,,,,,xfxfxfbfa[()()][()()],,kkkk,,11kk fxRab(),,,,由此即推知。 注意:单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。 5 《数学分析》教案 第九章 定积分 0,x,0,,例3、试用两种方法证明函数在区间上可积。 111f(x),[0,1],,,x,,n,1,2,？,nn，1n, 证明:[方法1] 利用定理9-6。 ,3 [方法2] 利用定理9-和定理9-5。 作业:P212T2、T4。 6