专题：单调奇偶

专题：单调奇偶 一.知识 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称） (1) 为奇函数; 为偶函数; (2)奇函数 在原点有定义 (3)任一个定义域关于原点对称的函数 一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和 即 （奇） （偶）. 2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义) (1)定义:区间 上任意两个值 ,若 时有 ,称 为 上增函数,若 时有 ,称 为 上减函数. (2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则. 3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|. 二.例题精讲 【例1】已知定义域为 的函数 是奇函数. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若对任意的 ,不等式 恒成立,求 的取值范围. 解析：（Ⅰ）因为 是奇函数，所以 =0， 即 又由f（1）= -f（-1）知 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．又由题设条件得： ， 即　： ， 整理得　 上式对一切 均成立， 从而判别式 【例2】设函数 在 处取得极值－2,试用 表示 和 ,并求 的单调区间. 解：依题意有 而 故  解得   从而 。 令 ，得 或 。 由于 在 处取得极值， 故 ，即 。 （1）    若 ，即 ，则当 时， ； （2）    当 时， ；当 时， ； 从而 的单调增区间为 ； 单调减区间为 若 ，即 ，同上可得， 的单调增区间为 ；单调减区间为 【例3】(理)设函数 ,若对所有的 ,都有 成立,求实数 的取值范围. (文)讨论函数 的单调性  （理） 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，                (i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．  (ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，  又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．  解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，                当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，  所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．  （文）解：设 ， 则   ∵   ∴ ， ， ，    当 时， ，则 为增函数 当 时， ，则 为减函数 当 时， 为常量，无单调性 【例4】(理)已知函数 ,其中 为常数.  (Ⅰ)若 ,讨论函数 的单调性; (Ⅱ)若 ,且 =4,试证: . (文)已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，求 的表达式. （理） （文）解：∵ 为奇函数，  ∴   当 时，    ∵ 为奇函数  ∴     ∴ ∴      【例5】设函数 在 上满足 , ,且在闭区间［0，7］上,只有 .  (Ⅰ)试判断函数 的奇偶性;  (Ⅱ)试求方程 =0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论. 解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 的对称轴为 ,  从而知函数 不是奇函数,  由 , 从而知函数 的周期为 又 , 故函数 是非奇非偶函数; (II)由 (II) 又   故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解, 所以函数 在[-2005,2005]上有802个解. 【例6】 (理)已知 ,函数    (1)当 为何值时, 取得最小值？证明你的结论;(2)设 在[ -1，1]上是单调函数,求 的取值范围.  (文)已知 为偶函数且定义域为 , 的图象与 的图象关于直线 对称,当 时, , 为实常数,且 .   (1)求 的解析式;(2)求 的单调区间;(3)若 的最大值为12,求 . (理) 解：（I）对函数 求导数得 令 得［ +2(1－ ) －2 ］ =0从而 +2(1－ ) －2 =0 解得 当  变化时， 、 的变化如下表 + 0 － 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增             ∴ 在 = 处取得极大值，在 = 处取得极小值。 当 ≥0时， <－1, 在 上为减函数，在 上为增函数, 而当 时 = ， 当x=0时， . 所以当 时， 取得最小值 （II）当 ≥0时， 在 上为单调函数的充要条件是 ， 即 ，解得 ， 于是 在[-1，1]上为单调函数的充要条件是 ， 即 的取值范围是   (文)解: (1) 先求 在 上的解析式  设 是 上的一点,   则点 关于 的对称点为 且   所以 得 .  再根据偶函数的性质, 求当 上的解析式为   所以   (2) 当 时,   因 时, 所以   因 , 所以 , 所以 而 . 所以 在 上为减函数.  当 时,   因 , 所以   因 所以 , 所以 , 即   所以 在 上为增函数  (3) 由(2)知 在 上为增函数，在 上为减函数,  又因 为偶函数, 所以   所以 在 上的最大值   由 得 . 【例7】已知函数 的图象过点 （0,2）,且在点 处的切线方程为 .  (1) 求函数 的解析式;(2)求函数 的单调区间. 解：（Ⅰ）由 的图象经过P（0，2），知d=2， 所以   由在 处的切线方程是 ， 知 故所求的解析式是   （Ⅱ）   解得   当   当 故 内是增函数， 在 内是减函数，在 内是增函数.  【例8】已知向量 若函数 在区间（－1,1）上是增函数,求 的取值范围. 解法1：依定义   开口向上的抛物线， 故要使 在区间（－1，1）上恒成立   .  解法2：依定义   的图象是开口向下的抛物线，  【例9】(理)已知函数 , , .若 ,且 存在单调递减区间,求 的取值范围.  (文)已知函数 在区间 上是减函数,且在区间 上是增函数,求实数 的值. (理) 解： ，  则 因为函数h(x)存在单调递减区间， 所以 <0有解.又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.  ①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；  ②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；  则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1