2015高考数学真
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
-陕西省文科、理科数学卷word版(有答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
文科数学
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
2 1、设集合M,{x|x,x}，N,{x|lgx?0}，则M?N,
(A)[0，1] (B)(0，1] (C)[0，1) (D)(,?，1] 2、某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数是
(A)93 (B)123 (C)137 (D)167
23、已知抛物线y,2px(p,0)的准线经过点(,1，1)，则该抛物线的焦点坐标为
(A)(,1，0) (B)(1，0) (C)(0，,1) (D)(0，1)
,1,0,,xx,4、设f(x),，则f(f(,2)), ,x2,0x,,,
113(A),1 (B) (C) (D) 4225、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
(A)3π (B)4π (C)2π，4 (D)3π，4
6、“sinα,cosα”是“cos2α,0”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 7、根据右边框图，当输入x为6时，输出的y,
(A)1 (B)2
(C)5 (D)10
8、对任意的平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是
(A)|a?b|?|a||b| (B)|a,b|?||a|,|b||
2222 (C)(a，b),|a，b| (D)(a，b)?(a,b),a,b
9、设f(x),x,sinx，则f(x)
(A)既是奇函数又是减函数
(B)既是奇函数又是增函数
(C)是有零点的减函数
(D)是没有零点的奇函数
1ab，ab10、设f(x),lnx，0,a,b，若p,f()，q,f()，r,(f(a)，f(b))，则下列关系式中正确的22
是
(A)q,r,p (B)q,r,p (C)p,r,q (D)p,r,q
B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的11、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，
可用限额如表所示.如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为
(A)12万元 (B)16万元 (C)17万元 (D)18万元
甲 乙 原料限额
A(吨) 3 2 12
B(吨) 1 2 8 12、设复数z,(x,1)，yi(x，y?R)，若|z |?1，则y?x的概率为
31111111，,，,(A) (B) (C) (D) ,,,,224242
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________
,j14、如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y,3sin(x，)，k，据此函数可6
知，这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.
x15、函数y,xe在其极值点处的切线方程为____________. 16、观察下列等式:
111, ,22
111111, ，,,，23434
111111111, ，,，,,，，23456456
„„„„
据此规律，第n个等式可为______________________. 三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤
新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤
(本大题共6小题，共70分) 17、(本小题满分12分)
3?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a，b)与n=(cosA，sinB)平行.
(I) 求A;
7(II) 若a=，b=2，求?ABC的面积.
18、(本小题满分12分)
,1如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC，22
与BE的交点，将?ABE沿BE折起到图2中?ABEABCDE,的位置，得到四棱锥 11
^(I)证明:CD平面AOC; 1
^2ABCDE,(II)当平面ABE 平面BCDE时，四棱锥的体积为36，求a的值. 11
19、(本小题满分12分)
随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 日
期
天晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 气
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日
期
天晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 气
(I) 在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率;
(II) 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨
的概率.
20、(本小题满分12分)
22xy2b，,1如图，椭圆E:(>>0)经过点A(0，-1)，且离心率为. a22ab2(I) 求椭圆E的方程;
(II) 经过点(1,1)且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均
异于点A)，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.
21、(本小题满分12分)
2n设fxxxxxnNn()1,0,,2.,，，,,,，,,,, n
'(I) 求fx(). n
n2112,,fx()aa(II) 证明:在(0，)内有且仅有一个零点(记为)，且0<-<. nnn,,3233,,
考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方涂框黑. 22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
O O如图，AB切于于点B，直线AO交于D,E两点，BCDE,垂足为C. ,
，,，CBDDBA(I) 证明:;
O(II) 若AD=3DC，BC=,求的直径. 2
23、(本小题满分10分)选修4-1，坐标系与参数方程
1,xt,，3,2,在直角坐标系Oy中，直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极x,3,yt,,,2
C点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为. x,,,23sin
C(I) 写出的直角坐标方程;
(II) P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.
24、(本小题满分10分)选修4-5，不等式选讲
xx|24,,已知关于的不等式| +a|
0,所以 c=3.
133D故 ABC的面积为 bcsinA= 22
72=,psinB解法二 由正弦定理，得 sin3
21从而 sinB=， 7
27又由a>b,知A>B,所以 cosB=， 7
骣p故 sinC=sin(A+B)=sin 琪B+琪3桫
pp321 =sinBcos+cosBsin=. 3314
133D所以ABC的面积为 abCsin=22
18.解 (I)在图1中，
1因为 AB=BC=AD=a,E是AD的中点 2
^ 即 在图2中，BEOC,
^ 从而 BE平面AOC 1
又CD//BE,
^ 所以 CD平面AOC. 1
^(III) 由已知，平面ABE平面BCDE 1
且平面ABE平面BCDE=BE, Ç1
^又 由(I)，AOBE, 1
^所以 AO平面BCDE, 1
即 AO是四棱锥A-BCE的高。 11
222 由图1知，AO=，平行四边形BCDE的面积S=BCAB=aABa=?122
从而 四棱锥A-BCDE的体积为 1
112233?S V=AO==, aaa???13322
232 由=36，得=6. aa6
19.(I)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不
13下雨的概率为。 15
(III) 称相邻的两个日期为“互临日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)。这样，在4月份
中，前一天为晴天的互临日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日
7不下雨的频率为。 8
7 以频率估计概率，运动会期间不会下雨的概率为 8
20.(本小题满分12分)
c2解 (I)由题设知==,1,b a2
222 结合 abca=+=,2.解得
2x2 所以 椭圆的方程式为 +=y12
2x2(II)由题设知，直线PQ的方程式为得 ykxky=-?=()()，代入1+1212
22 (12)4(1)2(2)0+--+-=kxkkxkk
由已知>0.
设P ()，xyyxx,,0Q(x)，?112212
4(1)2(2)kkkk--则 xxxx+==,1212221212++kk
从而直线AP,AQ的斜率之和
yykxkkxk+++-+-11221212 kk+=+=+APAQxxxx1212
11xx+12 =2(2)()2(2)kkkk+-+=+-xxxx1212
4(1)kk- = 2(2)22(1)2kkkk+-=--=2(2)kk-
21.(本小题满分12分)
n-1nnx解 (I)解法一 由题设„ fn'(2)(1)21=-+
'nn--21 所以 „+ ? f(2)122=+?(1)22nn-+
2nn-1 则 „ ? 2'(2)222f=+?(1)22,nn-+
nn-1222- n?-?得，„+ -=+++f'(2)122
n-12nn-?--nn2(1)21, = -12
n所以 fn'(2)(1)21=-+
n+1xx-1()1xfx?-时，解法二 当， n1-x
nn+1(1(1)(1)()-+-+-nxxxx 则 ， fx'()=2(1)-x
nn+1--++-(1(1)222nn可得 fn()'2=(1)21=-+2(1-2)
(II) 因为 <0， f(0)1=-
22n-(1())222233 >0， f=-=-闯- ()112()12()n2333-13
2 所以 fx在(0,内至少存在一个零点())n3
n-1 又 „>0， nxfxx'()12=++
2 所以 fx在(0,内单调递增 ())n3
2 因此 fxa在(0,)内有且只有一个零点 ()nn.3
n+1xx- 由于 ()1 fx=-n1-x
n+1aa-nn 所以 0= ()1,fa=-nn1-an
111n+1aa=+由此可得 >， nn222
12 故 <，< an23
121212n+1nn+1=a?(())所以 00c=3因为，所以.
133,故ABC的面积为. bcsinA=22
72,解法二:又正弦定理，得， ,,sinsin3
21从而sinB=， 7
27ab>AB>又由，知，所以. cosB=7
,,,321,,故 ,，,,，,，,sinCsinABsinsincoscossinBB，，,,33314,,
133,所以ABC的面积为bcsinA=. 22
18.(本小题满分12分)
(I)在图1中，
,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BE AC ,，2即在图2中，BE ，BE OC ,,OA1
从而BE平面 ,AOC1
又CDBE，所以CD平面. ,AOC 1
(II)由已知，平面平面BCDE，又由(1)知，BE , ，BE ,OC ABE,OA11
,，,AOC所以为二面角的平面角，所以. ，AOCABE--C1112
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系， 因为, AAB=E=BC=ED=1BCED 11
2222 所以B(,0,0),E(,0,0),A(0,0,),C(0,,0),-12222
,,,,,,,,,,,,,,,,,2222得 ，. BC(,,0),-AC(0,,)-CDBE(2,0,0)==-12222,,,,,
设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面ABCACDABCnxyz=(,,)nxyz=(,,)11111112222
,夹角为， ACD1,,,,,,,,,,，,xy0nBC,,0,,111则，得，取， n=(1,1,1),,,,,,,,1yz,,0nAC,,0,11,11,,,,,,,,,,,,x,0nCD,,0,,22，得，取， n,(0,1,1),,,,,,,,,2yz,,0,22nAC,,0,,21
,,,,,26从而， ,,，，,,cos|cos,|nn123，32
6ABCACD即平面与平面夹角的余弦值为. 11319.(本小题满分12分)
解:(I)由统计结果可得T的频率分步为
,分钟, 25 30 35 40 ,
频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T的分布列为
25 30 35 40 ,
0.2 0.3 0.4 0.1 ,
ET,，，，，，，，,250.2300.3350.4400.132从而 (分钟) (II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事TT,TT,1212
件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应
于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”. 解法一: PTTTTTT(A)P(70)P(25,45)P(30,40),，,,,,，,,121212
,，，，，，，，,10.210.30.90.40.50.10.91. ，,,，,,P(35,35)P(40,30)TTTT1212
解法二: +==P(40,40)TTPTTTTTT(A)P(70)P(35,40)P(40,35)=+>===+==12121212
,，，，，，,0.40.10.10.40.10.10.09
故. P(A)1P(A)0.91=-=
20.(本小题满分12分)
解:(I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为， bxcybc+-=0
bcbc则原点O到直线的距离， d,,22abc，
1c322dc=由，得，解得离心率. abac==-22=2a2
222(II)解法一:由(I)知，椭圆E的方程为. (1) xyb+=44依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且. |AB|10=易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得 ykx=++(2)1
2222 (14)8(21)4(21)40+++++-=kxkkxkb
228(21)4(21)4kkkb++-设则 xxxx+=-=-,.Axx(,y),B(,y),11221212221414++kk
8(21)kk+1k=由-=-4,，得解得. xx+=-4122214+k
2从而. xxb=-8212
2152,,2|AB|1||410(2),，,,，,,,xxxxxxb于是. ，，,,12121222,,
2210(2)10b-=b=3由，得，解得. |AB|10=
22xy+=1故椭圆E的方程为. 123
222解法二:由(I)知，椭圆E的方程为. (2) xyb+=44依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且. |AB|10=
222222Axx(,y),B(,y),设则，， xyb+=44xyb+=4411221122
-4()80xxyy-+-=xxy+=-+=4,y2,两式相减并结合得. )(12121212
yy-112xx,易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率 k.==AB12xx-212
122xxb++-=4820.yx=++(2)1因此AB直线方程为，代入(2)得 2
2xx+=-4所以xxb=-82，. 1212
2152,,2于是. |AB|1||410(2),，,,，,,,xxxxxxb，，,,12121222,,
22由，得10(2)10b-=，解得. b=3|AB|10=
22xy故椭圆E的方程为. +=1123
21.(本小题满分12分)
2n解:(I)则 Fn(1)10,=->Fxfxxxx()()212,=-=+++-？nnnn，11,,1,2n,,111112,,,,,,F()1220,,，，，,,,,,,？ n,,,,n122222,,,,1,2
1,,所以在内至少存在一个零点. Fx()x,1nn,,2,,
1,,n,1,Fxxnx()120,，，,？又，故在内单调递增， ,1n,,2,,
1,,所以在内有且仅有一个零点. Fx()x,1nn,,2,,
n+11-x11n+1nxx=+是的零点，所以，即，故. 因为xFx()Fx()=0-=20nnnnnn221-xn
nnx++11)(()(II)解法一:由题设， gx().=n2
nnx++11)(()2n设 hxfxgxxxxx()()()1,0.=-=+++->？nn2x=1当时, fxgx()()=nn
n,1nnx，1，，n,1x,1,当时, hxxnx()12.,，，,？2
nn，1nnnn++11，，()()nnnn,,,,1111nn--11,01<1若,hxxxnxx()2,，，,？=-=xx0. 222
所以在上递增，在上递减， hx()(0,1)(1,)，,
fxgx()()<所以，即. hxh()(1)0<=nn
x=1x,1fxgx()()=fxgx()()<综上所述，当时, ;当时 nnnn
nnx++11)(()2n解法二 由题设， fxxxxgxx()1,(),0.=+++=>？nn2x=1fxgx()()=当时, nn
x,1fxgx()()<当时, 用数学归纳法可以证明. nn
12n=2fxgxx()()(1)0,-=--，，，，k)(k
,01<1当,,在上递增. hx()0,hx()(1,)，,kk
kk+1211xkxk++++)(所以，从而 hxh()(1)0>=gx()>kkk+12
nk=+1故.即，不等式也成立. fxgx()()10nk,，,11而，所以，.
nk-+1,01<1x>1当,,, mx()0,k
从而mx()在上递减,mx()在上递增.所以mxm()(1)0>=， (0,1)(1,)，,kkkk所以当xxabkn,,,,,01(2),且时,又ab=,ab=，故fxgx()()< kknn++11nn11
x=1x,1综上所述，当时, fxgx()()=;当时fxgx()()< nnnn
请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分(作答时用2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑( 22.(本小题满分10分)
,，，，,BEDEDB90解:(I)因为DE为圆O的直径，则，
,又BCDE，所以CBD+EDB=90?，从而CBD=BED. ，，，，又AB切圆O于点B，得DAB=BED，所以CBD=DBA. ，，，，
BAAD=3=BC=2AB=32(II)由(I)知BD平分CBA，则,又，从而， ，BCCD
22AD=3ACABBC=-=4所以，所以.
2AB2AE=ABAE=AD×由切割线定理得，即=6， AD故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.
23. (本小题满分10分)
2解:(I)由， ,,,,,,,23sin,23sin得
2222从而有. xyyxy+23,+33,,,所以，，
22,,1313,,2(II)设,则， P(3t,t),C(0,3)+又|PC|3312,，，,,，ttt,,,,,,2222,,,,故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为(3，0). 24. (本小题满分10分)
--<<-baxba解:(I)由，得 ||xab+<
,,,ba2,,a=-3b=1则解得, ,ba,,4,,
2222，，，，(II) ,,,，,，，,，3+12+34314tttttt，，，，，，,,,,，，，，
=-+=244tt
4-ttt=1当且仅当，即时等号成立， =13
-=3+12+4tt故. ()max
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