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高等数学下册试卷及答案.doc

高等数学下册试卷及答案

李高飞
2017-09-26 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高等数学下册试卷及答案doc》,可适用于综合领域

高等数学下册试卷及答案高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题分共计分)z、=log(xy)(a,)的定义域为D=。a、二重积分的符号为。ln(xy)dxdy,,|x||y|,、由曲线及直线所围图形的面积用二重积分表示y,lnxxy,ey,为其值为。,x,(t),、设曲线L的参数方程表示为则弧长元素。ds,(,,x,,),,y,(t),,xy,、设曲面为介于及间的部分的外侧则z,z,。(xy)ds,,,,dyyy,tan、微分方程的通解为。dxxx()y,y,、方程的通解为。,、级数的和为。,n(n),n二、选择题(每小题分共计分)(x,y)、二元函数z,f(x,y)在处可微的充分条件是()(x,y)f(x,y)(A)在处连续,,f(x,y)(x,y)f(x,y)(B)在的某邻域内存在yx,,,z,f(x,y),x,f(x,y),y(C)当时是无穷小(,x)(,y),xy,,zfxyxfxyy,,(,),,(,),xylim,(D)。,,xxy(,)(,),,yxy,u,uu,yf()xf(),f、设其中具有二阶连续导数则等于()xyyx,x,yx(A)(B)(C)(D)。xyyxyz,,z,,、设:则三重积分等于(),I,zdV,,,,,,d,d,rsin,cos,dr(A),,,,,(B)d,d,rsin,dr,,,,,(C)d,d,rsin,cos,dr,,,,,(D)。d,d,rsin,cos,dr,,,xyz,axy,ax、球面与柱面所围成的立体体积V=(),cosa,(A)d,a,rdr,,,cosa,(B)d,ra,rdr,,,cosa,(C)d,ra,rdr,,,cosa,(D)。d,ra,rdr,,,,、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成L取正向函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数则PdxQdy,(),L,P,Q,Q,P()dxdy()dxdy,,(A)(B),,,,yxyx,,,,DD,P,Q,Q,P()dxdy()dxdy,,(C)(D)。,,,,xyxy,,,,DD、下列说法中错误的是(),,,,,xyyxy,(A)方程是三阶微分方程dydy(B)方程yx,ysinx是一阶微分方程dxdx(xxy)dx(yxy)dy,(C)方程是全微分方程dyyx,(D)方程是伯努利方程。dxxy,y(x)xy,y(x)、已知曲线经过原点且在原点处的切线与直线平行而,,,y,yy,满足微分方程则曲线的方程为()y,xxe(sinx,cosx)(A)(B),esinxxxe(cosx,sinx)(C)(D)。esinx,u、设,则()limnu,,nnn,,n,(A)收敛(B)发散(C)不一定(D)绝对收敛。三、求解下列问题(共计分)、(分)设均为连续可微函数。f,gu,f(x,xy),v,g(xxy),u,u,求。,x,yxt,u,u、(分)设求。,u(x,t),f(z)dz,x,t,x,t四、求解下列问题(共计分)。y,、计算。(分)I,dxedy,,xy,z,z,及z,x、计算其中是由所围成的空间,I,(xy)dV,,,,闭区域(分)。xdy,ydxI,五、(分)计算其中L是面上的任一条无重点且分段光滑不经过xoy,Lxy原点O(,)的封闭曲线的逆时针方向。f(x)f(y),f(xy),x,y,f(x)f()f(x)六、(分)设对任意满足方程且存在求。,f(x)f(y)n,(x,)n(,)七、(分)求级数的收敛区间。,n,n高等数学(下册)考试试卷(二)一、填空题(每小题分共计分),z,z,sin(xy,z),xy,z、设则。,x,yxy,、。,limx,xyy,x、设交换积分次序后。I,I,dxf(x,y)dy,,x、设为可微函数且则。f(u)f(),,limf(xy)d,,,,,tt,,xytxy,、设L为取正向的圆周则曲线积分xx。y(ye)dx(ye,x)dy,,L,,,divA,、设则。A,(xyz)i(yxz)j(zxy)kx,xy,cece、通解为的微分方程是。,,,,,,x,a,、设则它的Fourier展开式中的。,f(x),n,,,x,,二、选择题(每小题分共计分)。,xy,xy,,xyf(x,y),、设函数,则在点()处(),,,xy,,(A)连续且偏导数存在(B)连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在(D)不连续且偏导数不存在。u(x,y)、设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数且满足,u,u,u,及,,x,y,x,y则()(A)最大值点和最小值点必定都在D的内部(B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上(C)最大值点在D的内部最小值点在D的边界上(D)最小值点在D的内部最大值点在D的边界上。(x,)(y,),、设平面区域D:若I,(xy)d,I,(xy)d,,,,,DD则有()I,II,II,I(A)(B)(C)(D)不能比较。z,xy,y,x,x,、设是由曲面及所围成的空间区域则,xyzdxdydzz,,,,,=()(A)(B)(C)(D)。,x,(t),f(x,y)(,,t,,)、设在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为,y,,(t),,,,(t),(t),其中在上具有一阶连续导数且则曲线积,(t),,(t),,,分()f(x,y)ds,,L,,,,(A)(B)f(,(t),,(t))dtf(,(t),,(t)),(t),(t)dt,,,,,,,,(C)(D)。f(,(t),,(t)),(t),(t)dtf(,(t),,(t))dt,,,,xyz,、设是取外侧的单位球面则曲面积分,=()xdydzydzdxzdxdy,,,,(A)(B)(C)(D)。,,、下列方程中设y,y是它的解可以推知yy也是它的解的方程是(),,,,(A)yp(x)yq(x),(B)yp(x)yq(x)y,,,,,,,(C)yp(x)yq(x)y,f(x)(D)yp(x)yq(x),。,a、设级数为一交错级数则(),nn,(A)该级数必收敛(B)该级数必发散a,(n,)(C)该级数可能收敛也可能发散(D)若则必收敛。n三、求解下列问题(共计分)、(分)求函数在点A()沿A指向点B()u,ln(xyz)的方向的方向导数。f(x,y),xy(,x,y)、(分)求函数在由直线xy,,y,,x,所围成的闭区域D上的最大值和最小值。四、求解下列问题(共计分)dvI,x,,y,,z,xyz,、(分)计算其中是由及,,,,(xyz),所围成的立体域。f(x)、(分)设为连续函数定义F(t),zf(xy)dv,,,,dF,,,,(x,y,z)|,z,h,xy,t其中求。dt五、求解下列问题(分)xxI,(esiny,my)dx(ecosy,m)dy、(分)求其中L是从A(a)经,L到O()的弧。y,ax,xxy,z(,z,a)、(分)计算其中是I,xdydzydzdxzdxdy,,,,的外侧。六、(分)设函数具有连续的二阶导数并使曲线积分,(x)x,,与路径无关求函数。,(x),,(x)xeydx,(x)dy,(x),L高等数学(下册)考试试卷(三)一、填空题(每小题分共计分)yz,ut、设则。,u,edt,xz,z、函数在点()处沿的方向导数f(x,y),xysin(xy)l,(,),f=。(,),lz,,x,y,z,、设为曲面所围成的立体如果将三重积分,zx化为先对再对最后对三次积分则I=。I,f(x,y,z)dvy,,,,limf(x,y)d,,、设f(x,y)为连续函数则其中I,,,t,t,DD:xy,t。L:xy,a(xy)ds,、其中。,L、设是一空间有界区域其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成如果,,,P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z)函数在上具有一阶连续偏导数则三重积分与,第二型曲面积分之间有关系式:该关系式称为公式。*,,,y,yy,x,xy,、微分方程的特解可设为。n,,(,)、若级数发散则。p,pn,n二、选择题(每小题分共计分)fxabfaxb(,),(,,),f(a,b)、设存在则=()limxx,x,,,f(a,b)f(a,b)f(a,b)(A)(B)(C)(D)。xxxy、设z,x结论正确的是(),z,z,z,z,,,,(A)(B),x,y,y,x,x,y,y,x,z,z,z,z,,,,(C)(D)。,x,y,y,x,x,y,y,xx、若为关于的奇函数积分域D关于轴对称对称部分记为D,Df(x,y)f(x,y)y在D上连续则()f(x,y)d,,,,D(A)(B)(C)(D)。f(x,y)d,f(x,y)d,f(x,y)d,,,,,,,DDDxyz,R、设:则=(),(xy)dxdydz,,,,RR(A)(B)(C)(D)。,,,,RR、设在面内有一分布着质量的曲线L在点(x,y)处的线密度为,(x,y)则曲线xoyx弧,的重心的坐标x为()(,)=(B)=xx,(x,y)dsxx,(x,y)dx,,LLMM(C)=x,(x,y)ds(D)=,其中M为曲线弧,的质量。xxxds,,LLMxy,,、设为柱面和x,,y,,z,在第一卦限所围成部分的外侧则,曲面积分,()yzdxdyxzdydzxydxdz,,,,,,(A)(B)(C)(D)。,,,,y,y,f(x),、方程的特解可设为()xxf(x),ef(x),(A)若(B)Ae若Af(x),x,x(C)AxBxCxDxE若x(AsinxBcosx)f(x),sinx(D)若。,,,,,,x,a,、设则它的Fourier展开式中的等于(),f(x),n,,x,,n(A),,(B)(C)(D)。()n,n,n,三、(,,分)设为由方程确定的的函数其中具y,f(x,t),tF(x,y,t),f,Fx,ydy有一阶连续偏导数求。dxxy,四、(,分)在椭圆上求一点使其到直线的距离最短。xy,,xy,y五、(,分)求圆柱面被锥面和平面割下部分的面积,。z,xyz,xyz,其中为球面的部分六、(,,分)计算x,,y,I,xyzdxdy,,,,的外侧。df(cosx),sinx七、(分)设求。f(x)d(cosx)f(x),ln(xxx)x八、(分)将函数展开成的幂级数。高等数学(下册)考试试卷(四)一、填空题(每小题分共计分)、由方程所确定的隐函数z,z(x,y)在点()处xyzxyz,的全微分。dz,xyz,、椭球面在点()处的切平面方程是。y,x,y,x、设D是由曲线所围成则二重积分。I,(x)dxdy,,,Dxy,,z,,z,、设是由所围成的立体域则三重积分,=。I,(xy)dv,,,,z,,z,、设是曲面介于之间的部分则曲面积分z,xy,。I,(xy)ds,,,,xds,、。,,xyz,a,xyz,,y,y(x)x,y,y(x)、已知曲线上点M(,)处的切线垂直于直线且满足微,,,yyy,分方程则此曲线的方程是。f(x)f(x)、设是周期T=的函数则的Fourier系数为。,二、选择题(每小题分共计分)y、函数的定义域是()z,arcsinxyx(A)(B),,,,(x,y)|x,y,x,(x,y)|x,y,x,,,(C):(x,y)|x,y,,x,,,(x,y)|x,y,,x,,,,,(D)(x,y)|x,,y,:(x,y)|x,,y,。z,,x,y、已知曲面在点P处的切平面平行于平面则点xyz,,P的坐标是()(A)()(B)()(C)()(D)()。y,xy,,x、若积分域D是由曲线及所围成则=()f(x,y)d,,,D,xx(A)(B)dxf(x,y)dydxf(x,y)dy,,,,,,,xxy,x(C)(D)。dyf(x,y)dxdyf(x,y)dx,,,,,y,x,:xyz,R,z,,:xyz,R,x,,y,,z,、设则有()(A)(B)xdv,xdvydv,ydv,,,,,,,,,,,,,,,,(C)(D)。xyzdv,xyzdvzdv,zdv,,,,,,,,,,,,,,,,、设为由曲面及平面所围成的立体的表面则曲面积分z,xyz,,=()(xy)ds,,,,,,(A)(B)(C)(D)。xyz,a,、设是球面表面外侧则曲面积分,,()xdydzydzdxzdxdy,,,,,,,,aaaa(A)(B)(C)(D)。xlnxk,,M(x,y),、一曲线过点(e,)且在此曲线上任一点的法线斜率则xylnx此曲线方程为()xx(A)(B)y,xln(lnx)y,xlnxeex(C)(D)。y,exxln(lnx)y,ln(lnx)e,n(n)x,、幂级数的收敛区间为(),,n(A)()(B)(C)()(D)。(,,,,)xyu,yf()xg()三、(,,分)已知函数其中具有二阶连续导数求f,gyx,u,uxy的值。,x,y,xxyz,c(c,)四、(,,分)证明:曲面上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。,,z,xy五、(,,分)求抛物面的切平面使得与该抛物面间并介于柱面(x,)y,内部的部分的体积为最小。xx六、(,,分)计算I,(esinyy)dx(ecosy,x)dy其中,为y,,,x,L由,(,,)至,(,,,)的那一弧段。,,,yy七、(,分)求解微分方程=。,yn,xS(x)八、(,分)求幂级数的和函数。,nn,高等数学(下册)考试试卷(五)一、填空题(每小题分共计分)z,y,xz,y,xxe,z,f(x,y)、设是由方程所确定的二元函数则。dz,,,,xyzx,、曲线在点(,,,)处的切线方程是。,,,,xyz,zxyz,,、设是由则三重积分,。,edv,,,,ay()ma,xf(x),、设为连续函数是常数且将二次积分a,mdye,f(x)dxa,,,化为定积分为。,、曲线积分与积分路径无关的充要条件为。PdxQdyL(AB),L(AB),、设为则。z,a,x,y(xyz)ds,,,,,x,yy,e,、方程的通解为。,,,ab(ab),、设级数收敛发散则级数必是。,,,nnnnn,n,,n二、选择题(每小题分共计分),xy,(x,y),(,),f(x,y),,、设在点(,,)处xy,,,(x,y),(,),下列结论()成立。(,)有极限且极限不为(,)不连续,,f(,),f(,),(,)(,)可微。xy,f,f(x,),x,、设函数z,f(x,y)有且f(x,),则f(x,y)=(),y,y,xyyxyy,xyyxyy(,)(,)(,)(,)。,xy,,、设,:f在D上连续则在极坐标系中等f(xy)d,,,D于()(,)(,),rf(r)dr,rf(r)dr,,(,)(,)。,rf(r)dr,rf(r)dr,rf(r)dr,rf(r)dr,,,,x,,y,,z,xyz,,、设是由及所围成则三重积分,xf(x,y,z)dv,(),,,,,y,x,y(,)dxdzxf(x,y,z)dy,,,,x,y(,)dxdyxf(x,y,z)dz,,,,x,x,ydxdyxf(x,y,z)dz(,),,,(,)。dxdyxf(x,y,z)dz,,,是由所围立体表面的外侧则曲面积分,、设x,,y,,z,,x,y,,z,,xdydzydzdxzdxdy,(),,,(,)(,)(,)(,)。,、以下四结论正确的是()(,)()xyzdv,,a,,,xyz,a(,)xyzds,,a,,xyz,a(,)(xyz)dxdy,,a,,xyz,a外侧(,)以上三结论均错误。,、设具有一阶连续导数。并设曲线积分yg(x)tanxdx,g(x)dyg(x)g(),,L,,(,)与积分路径无关则yg(x)tanxdx,g(x)dy,(),(,),,,,,,(,)(,)(,)(,)。n,,,(),、级数的和等于(),,n,n(,)(,)(,)(,)。三、求解下列问题(共计,,分)z,u,u,uy,,、(,分)设求。u,x,,x,y,zxyu,f(,)f,、(,分)设具有连续偏导数求。duyz四、求解下列问题(共计,,分)()()afxbfyD:xy,RI,d,,、(,分)计算其中。,,()()fxfyD,:xyz,R,、(,分)计算其中。I,(xyz)dv,,,,五、(,,分)确定常数使得在右半平面上,x,,,与积分路径无关并求其一个原函数。xy(xy)dx,x(xy)dyu(x,y),Lxx六、(,分)将函数展开为的幂级数。f(x),(,x),,,七、(,分)求解方程。y,yy,高等数学(下册)考试试卷(一)参考答案,xy,xy,一、、当时当时,a,a,ey,,,、负号、、,(t),(t)dtd,,dydxy,,,,eDy,、、sin,Cxxx,x、、y,CcosxCsinxCeCe二、、D、D、C、B、D、B、A、C,u,u,,,,xg(xxy)三、、,fyf,y,x,u,u、,f(xt),f(x,t),f(xt)f(x,t),x,ty,y,y,y,四、、dxedy,dyedx,yedy,(,e),,,,,x柱面坐标,,I,,ddrrdzd,drrdz,,、,,,,,,r,Py,x,QyxP,,,Q,(x,y),(,)五、令则,,xyxy,y,x(xy),P,Q,于是当L所围成的区域D中不含O()时在D内连续。所以由Green,y,x,P,Q,公式得:I=当L所围成的区域D中含O()时在D内除O(,y,x*xy,,(,,,)D)外都连续此时作曲线l为逆时针方向并假设为,L及l所围成区域则,Q,PI,,,Green公式(,)dxdy,,,,,,,,,,,LllLll,x,y*Dxy,,六、由所给条件易得:f()f(),,f(),,f()fxf,x()(),fx()fx,x,fx,fxf,x()()()(),fx,=又lim()lim,x,,x,,x,xf(x)f(,x),f(),lim,,,f()f(x),x,,f(x)f(,x),x,f(x),,f()即f(x),,?arctanf(x),f(),xc即f(x),tanf()xc,又f(),即c,k,,k,Z?f(x),tan(f()x)n,tn(,)七、令考虑级数x,,t,n,nntn?,limtnn,,tn?当即时亦即时所给级数绝对收敛t,t,,x,当即或时原级数发散t,x,x,,n(,)当即时级数收敛t,,x,,n,n,n(,)当即时级数收敛t,x,,n,n?级数的半径为R=收敛区间为。高等数学(下册)考试试卷(二)参考答案y,f()一、、、、、dyf(x,y)dxdyf(x,y)dx,,,,yy,,,(xyz)yy,y,、、、、,,二、、C、B、A、D、C、D、B、C三、、函数在点A()处可微且u,ln(xyz),u,,A(,,),xxyz,uy,,,A(,,),yxyzyz,uz,,,A(,,),zxyzyz,l,AB而所以,故在A点沿方向导数为:l,(,,,)l,AB,(,,,),,uu,,u,u,cos,,cos,,,cos,AAAA,yl,x,z,,,,(,),,,,(,,)(,),fxyxyxy,x,M(,),、由得D内的驻点为且f(,),,f,x(,x,y),,y,又f(,y),,f(x,),f(x,y),x,x(,x,)而当xy,,x,,y,时,(x,x),x,,x,令得y,,y,f(,),,f(,),,于是相应且?f(x,y)f(,),f(,),,在D上的最大值为最小值为,x,,,,:,y,x,四、、的联立不等式组为,,,,z,,x,y,,,xy,xdzI,dxdy所以,,,(xyz),x,dx,dy,,(xy)x,()dxln,,,,,x、在柱面坐标系中t,thF(t),d,drzf(r)rdz,,hf(r)rhrdr,,,,所以dF,,hf(t)tht,,htf(t)hdt,五、、连接由公式得:OAGreenI,,,,,,,,,LOAOALOAOAGreen公式xx(ecosy,ecosym)dxdy,,,xy,ax,y,ma,,,za,、作辅助曲面上侧则由Gauss公式得:,:,,xya,=,,I,,,,,,,,,,,,,,,,,=(xyz)dxdydz,adxdy,,,,,xa,y,z,,z,axyadzzdxdy,,a=,,,,xyzazdzaa,,,,,,,,x,,,,(x),,(x)xe,,(x)六、由题意得:x,,,,(x),,(x),(x),xe即r,,r,特征方程r,r,特征根xxy,cece对应齐次方程的通解为:*xy,x(AxB)e又因为是特征根。故其特解可设为:,,A,,B,,代入方程并整理得:*xy,x(x,)e即xxx,(x),cecex(x,)e故所求函数为:高等数学(下册)考试试卷(三)参考答案,,,xxyyzxz一、、、、dxdyf(x,y,z)dzye,xe,,,,,,x,P,Q,Rf(,)、,a()dv,PdydzQdzdxRdxdy、、,,,,,,x,y,z,,,公式、、。AxBxCGaussP,二、、C、B、A、C、A、D、B、B,,,,,FdxFdyFdt,dy,f(x,t)dxf(x,t)dt三、由于xytxt,,,,f,F,fFdyxttx由上两式消去即得:,dt,,,dxFfFttyxy,四、设为椭圆上任一点则该点到直线的距离为(x,y)xy,,,x,yL,(,x,y),(xy,)d,令于是由:,,Lxyx,,(,,),x,Lxyy,,(,,),,,y,Lxy,,,,,得条件驻点:M(,),M(,,),M(,,,),M(,,),,xy依题意椭圆到直线一定有最短距离存在其中即为所求。,,dminM,z,xy,五、曲线在面上的yoz,,xy,y,,,(,,)zyyz投影为,x,,于是所割下部分在面上的投影域为:yoz,y,,,D:y,yz,z,y,,由图形的对称性所求面积为第一卦限部分的两倍。,,xx,xA()()d,,,,,yzDyzydydzdzdy,,,,,,,yyyy,,Dyz六、将分为上半部分和下半部分,:z,,x,y,:z,,,x,y,,,,在面上的投影域都为:xoyD:xy,,x,,y,,xyxyzdxdy,,x,ydxdy于是:,,,,,Dxy极坐标,sincos,d,,,,,,,,,d,,,,()()xyzdxdy,xy,,x,y,dxdy,,,,,,Dxy=?I,,,,,,,df(cosx),,,sinxf(cosx),sinx七、因为即d(cosx),f(x),,x()所以?fx,x,xc?f(x),ln(x)(x),ln(x)ln(x)八、n,,(,)nln(u),u,u,(,,又,nn,nn,,,,(,)(,)nnf(x),xx,x,(,,?,,nnnn,,n,,(,)nn,x(x),x,(,,,nn,高等数学(下册)考试试卷(四)参考答案dx,dy,xyz,一、、、、、、,,xy,(x)e,、a、,,a,f(x)dxa,f(x)coskxdxk,,,?n,?、k,,,,,,,,,b,f(x)sinkxdxk,,,?n,?k,,,,二、、C、C、A、D、A、B、A、C,uxyyy,,?,f()g(),g()三、,xyxxx,uxyyyyyy,,,,,,?,f(),g()g()()gyyxx,xxxxxxyy,,,,f()()g,yyxxyy,uxxyy,,,,,,,g(),,fg,g()()()xx,x,yyxxxxyyyxx,,,,(),g,,f()yyxx,u,uxy,故,x,y,xxyz,cM(x,y,z)F,xyz,c,四、设是曲面上的任意点则在该点处的法向量为:ccc,,,(yz,zx,xy),c(,,)n,(F,F,F),,(,,)xyzMxyzxyz(x,x)(y,y)(z,z)于是曲面在点处的切平面方程为:=Mxyzxyz即=xyz因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为:V,x,y,z,xyz,c这是一个定值故命题得证。z,xy(x,)y,五、由于介于抛物面柱面及平面之间的立体体积z,,(x,)y,为定值所以只要介于切平面柱面及平面之间的立体体积z,V为最大即可。,z,xyP(x,y,z),设与切于点则的法向量为且n,(x,y,,)x(x,x)y(y,y),(z,z),切平面方程为:z,xyz,xxyy,x,y即,于是V,zd,极坐标,(x,cos,y,sin,,x,y)d,,,,,,xy,,(),,(x,x,y),V,,,(,x),,,x,则由得驻点(),,V,,y,,,,y,且V,,,z,(,)由于实际问题有解而驻点唯一所以当切点为()时题中所求体积为最小。,此时的切平面为:z,xBABA六、联接并设由L及所围成的区域为D则xxI,,,,Green公式,(ecosy,,ecosy,)dxdy,,,,,,,,LBABALBABAD,,,,,,dzdz,,,zz,y,z七、令y,z(y)则于是原方程可化为:dydy,y,dydz,,y,即其通解为z,ce,c(y,)dy,ydydycdx,?,c(y,)即(y,)dxy,,故原方程通解为:cxc(,,)八、易求得该幂级数的收敛区间为nn,,,xx,n,,(),(),()SxSx,x,,x,(,,)令则,,,nn,x,,nnn,xxdx,S(),?S(x),S(x)dx,,,ln(,x)注意到,,,x高等数学(下册)考试试卷(五)参考答案z,y,xax,y,z,dx(xe)dy()ma,x一、、、,,、、ef(x)(a,x)dx,z,y,x,xe,,P,Q,、对任意闭曲线或或使得u(x,y),du,PdxQdyPdxQdy,l,l,y,x,xx、、,、发散ycee,a二、、C、B、A、C、C、B、D、Azzz,u,u,uyz,zy,zy,xyzlnx三、、,yx,yxlnx,lny,y,x,z,u,ux,uy,,,,、?,f,,ff,,f,xy,yz,zyz,u,u,uxy,,,,?du,dxdydz,fdx(,ff)dy,fdz。,x,y,zyzyz四、、因为积分域D关于对称所以y,x()()()()afxbfyafybfx,,Id,d,,,,,()()()()fxfyfyfxDDaf(x)bf(y)af(y)bf(x),Id,d,故,,,,f(x)f(y)f(y)f(x)DD(ab)d,,(ab),R=,,D、I,(xyz)dVx(yz)dVyzdV,,,,,,,,,,,,ydVzdVdV,,,,,,,,,,,,xy,yz,zx,x,y,z因为关于三个坐标轴都对称而都(至少)关于某个变,量为奇函数故以这些项为被积函数的三重积分都等于。于是:,,zdVRI,(xyz)dVdV,,,,,,,,,,,,R。,dzzdxdy,R,,R(R),,,xy,R,z,,P,xy(xy),Q,,x(xy)五、令,P,,,,x(xy),xy(xy)则,y,Q,,,,,x(xy),,x(xy),x,Q,P,(xy)(,),由已知条件得即有所以,,,,x,y所求的一个原函数为:(x,y)xyxuxydxdy(,),,,(,)xyxyxyxydxdy,,,,arctan,,xyxx,(,x),,,六、易知(,x)(,x)(,x)(,x),n,x(,,x,)又,,xn,,n,,?,(),nx,,x(,x)n,,,nn,,,,(),n(n,)x,(n)nx,,(,x)(,x)nn,,,,,xn,,nn,,nxnx?,(n)nx,(,,x,)其中,,,(,x)n,n,n,r,r,七、方程的特征方程为:其特征根为r,r,xy,(ccx)e故方程的通解为:

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高等数学下册试卷及答案

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