导数常见题型与解题方法总结

导数题型 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。 例1：设函数 在区间D上的导数为 ， 在区间D上的导数为 ，若在区间D上， 恒成立，则称函数 在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若 在区间 上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数”，求 的最大值. 解:由函数 得 （1） 在区间 上为“凸函数”， 则 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法： ∵ 当 时, 恒成立, 当 时, 恒成立 等价于 的最大值（ ）恒成立， 而 （ ）是增函数，则 (2)∵当 时 在区间 上都为“凸函数” 则等价于当 时 恒成立          变更主元法 再等价于 在 恒成立（视为关于m的一次函数最值问题） 2 例2：设函数 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的 不等式 恒成立，求a的取值范围. 解：（Ⅰ） 3a a a 3a 令 得 的单调递增区间为（a,3a） 令 得 的单调递减区间为（－ ，a）和（3a，+ ）    ∴当x=a时， 极小值=     当x=3a时， 极大值=b.     （Ⅱ）由| |≤a，得：对任意的 恒成立① 则等价于 这个二次函数 的对称轴         （放缩法） 即定义域在对称轴的右边， 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 上是增函数.     （9分） ∴ 于是，对任意 ，不等式①恒成立，等价于 又 ∴ 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 例3：已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ， （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）当 时，求 的值域； （Ⅲ）当 时，不等式 恒成立，求实数t的取值范围。 解：（Ⅰ） ∴ ，  解得   （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减 又         ∴ 的值域是 （Ⅲ）令 思路1：要使 恒成立，只需 ，即 分离变量 思路2：二次函数区间最值 二、参数问题 1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1：转化为 在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m , n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a , b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例4：已知 ，函数 ． （Ⅰ）如果函数 是偶函数，求 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数 是 上的单调函数，求 的取值范围． 解： .                              （Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ .      此时 ， ， 令 ，解得： .                              列表如下： (－∞,－2 ) －2 (－2 ,2 ) 2 (2 ,+∞) + 0 － 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增             可知： 的极大值为 ，          的极小值为 .                        （Ⅱ）∵函数 是 上的单调函数， ∴ ，在给定区间R上恒成立判别式法 则     解得： .                                                综上， 的取值范围是 .                                例5、已知函数 （I）求 的单调区间； （II）若 在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想 解：（I） 1、 当且仅当 时取“=”号， 单调递增。  2、 单调增区间： 单调增区间： （II）当   则 是上述增区间的子集： 1、 时， 单调递增 符合题意 2、 ，     综上，a的取值范围是[0，1]。  2、题型二：根的个数问题 题1  函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点，即方程根的个数问题 解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可。 例6、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数． （1） 求实数 的取值范围； （2） 若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围． 解：（1）由题意 ∵ 在区间 上为增函数， ∴ 在区间 上恒成立（分离变量法） 即 恒成立，又 ，∴ ，故 ∴ 的取值范围为   （2）设 ， 令 得 或 由（1）知 ， ①当 时， ， 在R上递增，显然不合题意… ②当 时， ， 随 的变化情况如下表： — ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗             由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，故需 ，即 ∴ ，解得 综上，所求 的取值范围为 根的个数知道，部分根可求或已知。 例7、已知函数 （1）若 是 的极值点且 的图像过原点，求 的极值； （2）若 ，在（1）的条件下，是否存在实数 ，使得函数 的图像与函数 的图像恒有含 的三个不同交点？若存在，求出实数 的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网解：（1）∵ 的图像过原点，则         ， 又∵ 是 的极值点，则 （2）设函数 的图像与函数 的图像恒存在含 的三个不同交点， 等价于 有含 的三个根，即： 整理得： 即： 恒有含 的三个不等实根 有含 的根， 则 必可分解为 ，故用添项配凑法因式分解， 十字相乘法分解： 恒有含 的三个不等实根 等价于 有两个不等于-1的不等实根。 题2  切线的条数问题，即以切点 为未知数的方程的根的个数 例7、已知函数 在点 处取得极小值－4，使其导数 的 的取值范围为 ，求：（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围． （1）由题意得： ∴在 上 ；在 上 ；在 上 因此 在 处取得极小值 ∴ ①， ②， ③ 由①②③联立得： ，∴     （2）设切点Q ， 过 令 ， 求得： ，方程 有三个根。 需： 故： ；因此所求实数 的范围为： 题3  已知 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、 解：函数的定义域为 （Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x3－x2＋10x， ＝x2－7x＋10，令 ， 解得 或 . 令 ， 解得 可知函数f(x)的单调递增区间为 和（5，＋∞），单调递减区间为 ． （Ⅱ） ＝x2－(m＋3)x＋m＋6,        1 要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点, ＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布问题： 则 ， 解得m＞3 例9、已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）令 ＝ x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围． 解：（1）       当 时，令 解得 ，令 解得 ， 所以 的递增区间为 ，递减区间为 . 当 时，同理可得 的递增区间为 ，递减区间为 . （2） 有且仅有3个极值点 =0有3个根，则 或 ， 方程 有两个非零实根，所以 或 而当 或 时可证函数 有且仅有3个极值点 其它例题： 1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在 上的函数 在区间 上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 解：（Ⅰ） 令 =0,得         因为 ，所以可得下表： 0 + 0 - ↗ 极大 ↘         因此 必为最大值,∴ 因此 ， ， 即 ，∴ ，∴                           （Ⅱ）∵ ，∴ 等价于 ， 令 ，则问题就是 在 上恒成立时，求实数 的取值范围， 为此只需 ，即 ，  解得 ，所以所求实数 的取值范围是[0，1]. 2、（根分布与线性规划例子） 已知函数 (Ⅰ) 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行, 求 的解析式； (Ⅱ) 当 在 取得极大值且在 取得极小值时, 设点 所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程. 解： (Ⅰ). 由 , 函数 在 时有极值 , ∴                                 ∵     ∴                                又∵ 在 处的切线与直线 平行, ∴   故                          ∴                           ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值, ∴         即         令 ,    则         ∴   ∴   故点 所在平面区域S为如图△ABC, 易得 , ,  ,  ,  ,  同时DE为△ABC的中位线,  ∴  所求一条直线L的方程为:                           另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为 ,它与AC,BC分别交于F、G,  则 , 由   得点F的横坐标为: 由   得点G的横坐标为:           ∴ 即 解得:   或    (舍去)  故这时直线方程为:   综上,所求直线方程为: 或                         .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二:  由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,